2025版高考数学一轮总复习考点突破第九章概率与统计9.3两个计数原理排列与组合

第九章概率与统计9.3两个计数原理、排列与组合考点一分类加法计数原理与分步乘法计数原理例1（1）满足a，b∈{−1，0，1，2}，且关于x的方程ax2解：当a=0时，b的值可以是−1，0，1，2，故a,b的个数为4；当a≠0时，要使方程ax2+2x+b=0有实数解，需使Δ=4−4ab≥0，即ab≤1.若a=−1，则b的值可以是（2）某旅游景区有如图所示A至H共8个停车位，现有2辆不同的白色车和2辆不同的黑色车，要求相同颜色的车不停在同一行也不停在同一列，则不同的停车方法总数为（B）ABCDEFGHA.288 B.336 C.576 D.1680解：第一步,排白车.第一行选一个位置,则其次行有三个位置可选,由于车是不相同的,故白车的停法有4×3×2=24（种）.其次步,排黑车.若白车选AF,则黑车有BE,BG,BH,CE,CH,DE,DG共7种选择,黑车是不相同的,故黑车的停法有【点拨】解答计数应用问题的总体思路是先分类再分步,留意以下计数方法的应用：①枚举法,将各种状况一一列举出来.②转换法,转换问题的角度或转换成其他已知问题.③间接法,先计算其反面情形，再用总数减去即得.变式1（1）【多选题】现有4个爱好小组，第一、二、三、四组分别有6人、7人、8人、9人，则下列说法正确的是（ABC）A.选1人为负责人的选法有30种B.每组选1名组长的选法有3024种C.若推选2人发言，这2人需来自不同的小组，则不同的选法有335种D.若另有3名学生加入这4个小组，可自由选择小组，且第一组必有人选，则不同的选法有35种解：对于A，选1人为负责人的选法有6+7+对于B，每组选1名组长的选法有6×7×对于C，2人需来自不同的小组的选法有6×7+对于D，若不考虑限制，每个人有4种选择，共有43种选择；若第一组没有人选，每个人有3种选择，共有33种选择.所以不同的选法有43故选ABC.（2）某学校有东、南、西、北四个校门.翻新改造期间，学校对进入四个校门做出如下规定：学生只能从东门或西门进入校内，老师只能从南门或北门进入校内.现有3名老师和4名学生要进入校内（不分先后依次），请问进入校内的方式共有128种（用数字作答）.解：因为学生只能从东门或西门进入校内，所以4名学生进入校内的方式共24=16（种）.因为老师只能从南门或北门进入校内，所以3名老师进入校内的方式共有2考点二排列、组合的基本问题例2【多选题】某学院学生会的3名男生和2名女生在社区参加志愿者活动，结束后这5名同学排成一排合影留念，则下列说法正确的是（BCD）A.若让其中的男生甲排在两端，则这5名同学共有24种不同的排法B.若要求其中的2名女生相邻，则这5名同学共有48种不同的排法C.若要求其中的2名女生不相邻，则这5名同学共有72种不同的排法D.若要求其中的1名男生排在中间，则这5名同学共有72种不同的排法解：对于A，男生甲排在两端，共有2A44对于B，2名女生相邻，共有A22A对于C，2名女生不相邻，共有A33A对于D，要求1名男生排在中间，则这5名同学共有3A44=72【点拨】有约束条件的排列问题一般有以下几种基本类型与方法：①特别元素优先考虑；②对于相邻问题接受“捆绑法”，整体参加排序后，再考虑“捆绑”部分的排序；③对于不相邻问题，接受“插空”法，先排其他元素，再将不相邻元素插入空档.组合问题的两种基本题型及解法.题型解法“含有”或“不含有”某些元素的组合“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取“至少”或“至多”含有几个元素的组合解这类题必需特别重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用干脆法分类困难时，通常考虑逆向思维，用间接法处理变式2【多选题】为响应政府部门号召，某红十字会支配甲、乙、丙、丁四名志愿者奔赴A，B，C三地参加健康教化工作，则下列说法正确的是（BCD）A.不同的支配方法共有64种B.若恰有一地无人去，则不同的支配方法共有42种C.若甲必需去A地，且每地均有人去，则不同的支配方法共有12种D.若甲、乙两人都不能去A地，且每地均有人去，则不同的支配方法共有14种解：四人到三地去，一人只能去一地，方法数为34=81若恰有一地无人去，则不同的支配方法数是C31C若甲必需去A地，且每地均有人去，则不同的支配方法数为A33+若甲、乙两人都不能去A地，且每地均有人去，分甲、乙去同一个地方和不去同一个地方，则不同的支配方法数为2×5+2A考点三排列、组合的综合问题命题角度1定序问题例3公元5世纪，数学家祖冲之估计圆周率π的值的范围是3.1415926<π<3.1415927，为纪念祖冲之在圆周率的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的宏大成就.某小学老师为帮助同学们了解“祖率”，让同学们把小数点后的7位数字1，4，1，5，9，2，6进行随机排列，整数部分3不变，那么可以得到大于3.14的不同数字有（A.2280个 B.2120个 C.1440个 D.720个解：由于1，4，1，5，9，2，6这7位数字中有2个相同的数字1，故进行随机排列，可以得到的数字有A77A22个.而只有小数点前两位为1，1或1，2时，排列后得到的数字不大于3.14，故小于3.14的数字有2【点拨】定序问题消序（倍缩）处理,n个元素中有k个元素依次确定,则总排列数为An变式3某班10名同学一起参加数学竞赛，赛后老师为这10名同学拍合影留念，前排站4人后排站6人，后来老师确定从后排6人中抽出两名同学站到前排，其他同学的相对依次不变，则调整方法种数为（C）A.150 B.300 C.450 D.225解：先从后排6人中抽出两名同学，有C62种方法.然后与前排4人排列，有A66种排法.因为其他同学的相对依次不变，所以前排4人不再排，所以共有命题角度2分组支配问题例4[2024年全国乙卷]将5名北京冬奥会志愿者支配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训,每名志愿者只支配到1个项目,每个项目至少支配1名志愿者,则不同的支配方案共有（C）A.60种 B.120种 C.240种 D.480种解：依据题意,有一个项目中支配2名志愿者,其余各项目中支配1名志愿者,可以先从5名志愿者中任选2人,组成一个小组,有C52种选法；然后连同其余3人,看成4个元素,4个项目看成4个不同的位置,4个不同的元素在4个不同的位置的排列方法数有A44种.依据乘法原理,完成这件事,共有【点拨】平均支配给不同人的分法等于平均分堆的分法乘堆数的全排列.分堆到位相当于分堆后各堆再全排列，平均分堆不到指定位置，其分法数为：平均分堆到指定位置堆数的阶乘.对于分堆与支配问题应留意：①处理支配问题要留意先分堆再支配；②被支配的元素是不同的（如“名额”等则是相同元素，不适用），位置也应是不同的（如不同的“盒子”）；③分堆时要留意是否匀整，如6分成2,2,2变式4【多选题】2024年北京冬奥会祥瑞物“冰墩墩”有着可爱的外表和丰富的寓意，现有5个不同造型的“冰墩墩”，则下列说法正确的是（BCD）A.把这5个“冰墩墩”装入3个不同的盒内，共有129种不同的装法B.从这5个“冰墩墩”中选出3个分别送给3位志愿者，每人1个，共有60种选法C.从这5个“冰墩墩”中随机取出3个，共有10种不同的取法D.把这5个“冰墩墩”装入3个不同的盒内，每盒至少装一个，共有150种不同的装法解：对于A，每个“冰墩墩”可选择3个盒子中的随意一个，依据分步乘法原理共有35=243对于B，共有C53A对于C，共有C53=对于D，若3个盒子中“冰墩墩”的数量为1，1，3，则有C53C31A22=60（种）不同的装法；若3个盒子中“冰墩墩命题角度3有条件限制的选派问题例5某校从8名青年老师中选派4名分别作为四个学生社团的指导老师，每个社团各派去1名老师，其中老师甲和乙不能同时参加，甲和丙只能都参加或都不参加，则不同的选派方案有（C）A.360种 B.480种 C.600种 D.720种解：若甲参加，乙不参加，则丙参加，只需从剩余5人中选出2人，再支配即可，此时有C52A44=240（种）方案.若甲不参加，乙不参加，则丙不参加，只需从剩余5人中选出4人，再支配即可，此时有C【点拨】常见的“在”与“不在”有限制条件的排列问题就是典型的特别元素或特别位置问题，解题原则是谁“特别”谁优先.一是以元素为主解题，二是以位置为主解题，三是用间接法解题.变式5某班上午