2025版高考数学一轮总复习考点突破第4章三角函数解三角形第6讲解三角形考点2判断三角形的形状

推断三角形的形态1．(2024·开封调研)已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，则△ABC的形态是(D)A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形[解析]解法一(转化为三角函数)：已知等式可化为a2[sin(A－B)－sin(A＋B)]＝b2[－sin(A＋B)－sin(A－B)]，∴2a2cosAsinB＝2b2cosBsinA．由正弦定理知上式可化为sin2AcosAsinB＝sin2BcosBsinA，∴sin2A＝sin2B，由0<2A<2π，0<2B<2π，得2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＝eq\f(π,2)－B，∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．故选D．解法二(转化为边)：同解法一可得2a2cosAsinB＝2b2sinAcosB．a2b·eq\f(c2＋b2－a2,2bc)＝b2a·eq\f(a2＋c2－b2,2ac)，∴a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)，即(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，∴a＝b或a2＋b2＝c2，∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．故选D．2．(2024·长春调研)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcosC－2ccosB＝a，且B＝2C，则△ABC的形态是(B)A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形[解析]因为2bcosC－2ccosB＝a，所以2sinBcosC－2sinCcosB＝sinA＝sin(B＋C)，即sinBcosC＝3cosBsinC，所以tanB＝3tanC，又B＝2C，所以eq\f(2tanC,1－tan2C)＝3tanC，得tanC＝eq\f(\r(3),3)，C＝eq\f(π,6)，B＝2C＝eq\f(π,3)，A＝eq\f(π,2)，故△ABC为直角三角形．故选B．名师点拨：推断三角形形态的2种途径【变式训练】1．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2＋b2－c2＝ab，且2cosAsinB＝sinC，则△ABC的形态为(A)A．等边三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．不确定[解析]∵a2＋b2－c2＝ab，∴cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(1,2)，又0<C<π，∴C＝eq\f(π,3)，由2cosAsinB＝sinC，得sin(B－A)＝0，∴A＝B，故△ABC为等边三角形．2．在△ABC中，eq\f(c－a,2c)＝sin2eq\f(B,2)(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形态为(A)A．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形[解析]由cosB＝1－2sin2eq\f(B,2)，得sin2eq\f(B,2)＝eq\f(1－cosB,2)，所以eq\f(c－a,2c)＝eq\f(1－cosB,2)，即cosB＝eq\f(a,c).方法一：由余弦定理得eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(a,c)，即a2＋c2－b2＝2a2，所以a2＋b2＝c2.所以△ABC为直角三角形，无法推断两直角边是否相等．方法二：由正弦定理得cosB＝eq\f(sinA,sinC)，又sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC．所以cosBsinC＝sinBcosC＋cosB