备考2025届高考数学一轮复习强化训练第八章平面解析几何第7讲抛物线

第7讲抛物线1.[命题点1/北京高考]设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l，P是抛物线上异于O的一点，过P作PQ⊥l于Q，则线段FQ的垂直平分线（B）A.经过点O B.经过点PC.平行于直线OP D.垂直于直线OP解析连接PF，由抛物线的定义可知｜PQ｜＝｜FP｜，故线段FQ的垂直平分线经过点P.2.[命题点2]在平面直角坐标系xOy中，动点M到定点F（1，0）的距离比到y轴的距离大1，则动点M的轨迹方程为y2=4解析由题意知，当x≥0时，动点M到定点F（1，0）的距离等于到直线x＝－1的距离，轨迹为抛物线.设抛物线方程为y2＝2px（p＞0），则p2＝1，p＝2，所以抛物线方程为y2＝4x当x＜0时，y＝0也满意条件.（易忽视点在定直线上的状况）综上，动点M的轨迹方程为y3.[命题点2/2024陕西渭南二模]将抛物线y2＝mx绕其顶点顺时针旋转90°之后，正好与抛物线y＝2x2重合，则m＝（A）A.－12 B.12 C.－2 解析易知抛物线y2＝mx的焦点坐标为（m4，0），抛物线y＝2x2的标准方程为x2＝12y，其焦点坐标为（0，1易知（m4，0）绕原点顺时针旋转90°之后得到（0，18），则m4＝－18，解得m4.[命题点3/2024长沙市适应性考试]已知O为坐标原点，F为抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点，过点F且倾斜角为60°的直线与抛物线交于A，B两点（其中点A在第一象限）.若直线AO与抛物线的准线l交于点D，设△AOF，△ADB的面积分别为S1，S2，则S1S2＝9解析如图，设A（xA，yA），B（xB，yB），依据抛物线的定义知，｜AF｜＝xA＋p2①，因为∠AFx＝60°，所以xA＝p2＋｜AF｜·cos60°由①②得，｜AF｜＝p1－cos60°＝2p，同理得｜BF｜＝p1+cos60°＝2p3解法一由点D在准线l上可知，其横坐标xD＝－p2，易知｜AF｜｜AB｜＝｜AF｜｜AF｜＋｜BF｜＝34，｜AO｜｜AD｜=xAx解法二则yA＝3p，yB＝－33p直线AO的方程为y＝233将x＝－p2代入上式，得y＝－33即D（－p2，－33p），则yB＝y所以｜DB｜＝xB－xD＝23p又｜OF｜＝p2所以S1＝12｜OF｜·yA＝34pS2＝12｜DB｜·（yA－yB）＝439p2，可得S5.[思维帮/多选/2024济南模拟]在平面直角坐标系xOy中，由直线x＝－4上任一点P向椭圆x24＋y23＝1作切线，切点分别为A，B，点A在x轴的上方，则（A.∠APB恒为锐角B.当AB垂直于x轴时，直线AP的斜率为1C.｜AP｜的最小值为4D.存在点P，使得（PA＋PO）·OA＝0解析设P（－4，t），则直线AB的方程为－4x4＋ty即3（x＋1）－ty＝0，则直线AB恒过点（－1，0）.如图，设圆x24＋y24＝1，即x2＋y2＝4，由点P（－4，t）向圆x2＋y2＝4作切线，切点分别记为A'，B'，明显∠A'PB'＞∠APB，易知sin∠A'PB'2＝2｜PO｜，所以当OP与直线x＝－所以（sin∠A'PB'2）max＝24＝12，即（所以∠APB＜∠A'PB'≤60°，所以∠APB恒为锐角，所以选项A正确；当直线AB垂直于x轴时，由对称性可知，此时点P在x轴上，所以P（－4，0），直线AB的方程为x＝－1，又点A在x轴上方，所以A（－1，32），所以此时直线AP的斜率为32－1+4＝当直线AB垂直于x轴时，｜AP｜＝（－4+1）2＋（0－32）2＝352＜4，所以选项C错误；假设存在点P，使得（PA＋PO）·OA＝0，则（PA＋PO）·（PA－PO）＝PA2－PO2＝0，即｜PA｜＝｜PO｜，设A（x0，y0），－2＜x0＜2，则切线PA的方程为x0x4＋y0y3＝1，则P（－4，3（1+x0）y0），设M为AO的中点，则M（x02，y02），连接PM，因为｜PA