2025版新教材高中数学第1章空间向量与立体几何1.1空间向量及其运算1.1.1空间向量及其线性运算素养作业新人教A版选择性必修第一册

A组·基础自测一、选择题1．空间随意四个点A，B，C，D，则eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))等于(D)A.eq\o(DB,\s\up6(→)) B．eq\o(AC,\s\up6(→))C．eq\o(AB,\s\up6(→)) D．eq\o(BA,\s\up6(→))[解析]eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝(eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→)))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→)).2．有下列四个命题：①已知A，B，C，D是空间随意四点，则eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝0；②若两个非零向量eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(CD,\s\up6(→))满足eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝0，则eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(CD,\s\up6(→))；③若表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面对量；④对于空间的随意一点O和不共线的三点A，B，C，若eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))(x，y，z∈R)，则P，A，B，C四点共面．其中正确命题的个数是(B)A．3 B．2C．1 D．0[解析]依据向量加法的三角形法则，可得eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝0，故①正确；若两个非零向量eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(CD,\s\up6(→))满足eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝0，则eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(CD,\s\up6(→))互为相反向量，则eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(CD,\s\up6(→))，故②正确；空间随意两个向量均为共面对量，故③错误；对于空间的随意一点O和不共线的三点A，B，C，若eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))(x，y，z∈R)，当且仅当x＋y＋z＝1时，P，A，B，C四点共面，故④错误．故正确的命题共有2个，故选B.3．已知三棱锥O－ABC，点M，N分别为AB，OC的中点，且eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，用a，b，c表示eq\o(MN,\s\up6(→))，则eq\o(MN,\s\up6(→))等于(D)A.eq\f(1,2)(b＋c－a) B．eq\f(1,2)(a＋b＋c)C.eq\f(1,2)(a－b＋c) D．eq\f(1,2)(c－a－b)[解析]∵点M为AB的中点，∴eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b，∵点N为OC的中点，∴eq\o(ON,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)c，∴eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(ON,\s\up6(→))－eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)c－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＝eq\f(1,2)(c－a－b)．故选D.4．已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，设M，G分别是BC，CD的中点，则eq\o(MG,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))等于(B)A.eq\f(3,2)eq\o(DB,\s\up6(→)) B．3eq\o(MG,\s\up6(→))C．3eq\o(GM,\s\up6(→)) D．2eq\o(MG,\s\up6(→))[解析]eq\o(MG,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(MG,\s\up6(→))－(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))＝eq\o(MG,\s\up6(→))－eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\o(MG,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(MG,\s\up6(→))＋2eq\o(MG,\s\up6(→))＝3eq\o(MG,\s\up6(→)).5．在下列条件中，使M与A，B，C确定共面的是(C)A.eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))B.eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,5)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up6(→))C.eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＝0D.eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0[解析]在C项中，由eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＝0，得eq\o(MA,\s\up6(→))＝－eq\o(MB,\s\up6(→))－eq\o(MC,\s\up6(→))，则eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))为共面对量，即M，A，B，C四点共面；对于A项，由eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))，得1－1－1＝－1≠1，不能得出M，A，B，C四点共面；对于B项，由eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,5)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up6(→))，得eq\f(1,5)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,2)≠1，所以M，A，B，C四点不共面；对于D项，由eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，得eq\o(OM,\s\up6(→))＝－(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))，其系数和不为1，所以M，A，B，C四点不共面，故选C.二、填空题6．空间随意四个点A，B，C，D，则eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))＋2eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→)).[解析]eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))＋2eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→))＋2eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→))＋2eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→))＋2eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→)).7．设e1，e2是空间中两个不共线的向量，已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝2e1＋ke2，eq\o(CB,\s\up6(→))＝e1＋3e2，eq\o(CD,\s\up6(→))＝2e1－e2，且A，B，D三点共线，则k的值为_－8__.[解析]因为eq\o(CB,\s\up6(→))＝e1＋3e2，eq\o(CD,\s\up6(→))＝2e1－e2，所以eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2.因为A，B，D三点共线，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(BD,\s\up6(→))，所以2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)＝λe1－4λe2.因为e1，e2是空间中两个不共线的向量，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2＝λ，,k＝－4λ，))所以k＝－8.8．如图，在四面体ABCD中，E，G分别是CD，BE的中点，若eq\o(AG,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AD,\s\up6(→))＋zeq\o(AC,\s\up6(→))，则x＝eq\f(1,2)，y＝eq\f(1,4)，z＝eq\f(1,4).[解析]如题图，在四面体ABCD中，E，G分别是CD，BE的中点，eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BG,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)×eq\f(1,2)(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→)).∵eq\o(AG,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AD,\s\up6(→))＋zeq\o(AC,\s\up6(→))，∴x＝eq\f(1,2)，y＝eq\f(1,4)，z＝eq\f(1,4).三、解答题9．已知平行六面体ABCD－A′B′C′D′，点E在AC′上，且AEEC′＝12，点F、G分别是B′D′和BD′的中点，求下列各式中的x、y、z的值．(1)eq\o(AE,\s\up6(→))＝xeq\o(AA′,\s\up6(→))＋yeq\o(AB,\s\up6(→))＋zeq\o(AD,\s\up6(→))；(2)eq\o(BF,\s\up6(→))＝xeq\o(BB′,\s\up6(→))＋yeq\o(BA,\s\up6(→))＋zeq\o(BC,\s\up6(→))；(3)eq\o(GF,\s\up6(→))＝xeq\o(BB′,\s\up6(→))＋yeq\o(BA,\s\up6(→))＋zeq\o(BC,\s\up6(→)).[解析](1)∵AEEC′＝12，∴eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC′,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CC′,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA′,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))，∴x＝eq\f(1,3)，y＝eq\f(1,3)，z＝eq\f(1,3).(2)∵F为B′D′的中点，∴eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BB′,\s\up6(→))＋eq\o(BD′,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(BB′,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\o(A′D′,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(2eq\o(BB′,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\o(BB′,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))，∴x＝1，y＝eq\f(1,2)，z＝eq\f(1,2).(3)∵G、F分别为BD′、B′D′的中点，∴eq\o(GF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BB′,\s\up6(→))，∴x＝eq\f(1,2)，y＝0，z＝0.B组·素养提升一、选择题1．(多选题)下列命题正确的是(AC)A．若p＝xa＋yb，则p与a，b共面B．若p与a，b共面，则p＝xa＋ybC．若eq\o(MN,\s\up6(→))＝xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→))，则M，N，A，B四点共面D．若M，N，A，B四点共面，则eq\o(MN,\s\up6(→))＝xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→))[解析]在A中，若p＝xa＋yb，则由平面对量基本定理得p与a，b确定在同一平面内，故A正确；在B中，p与a，b共面，但假如a，b共线，p就不愿定能用a，b来表示，故B错误；在C中，若eq\o(MN,\s\up6(→))＝xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→))，则eq\o(MN,\s\up6(→))，eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))三向量在同一平面内，所以M，N，A，B四点共面，故C正确；在D中，若M，N，A，B四点共面，其中M，A，B共线，N与M，A，B不共线，则不存在x，y使eq\o(MN,\s\up6(→))＝xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→))定成立，故D错误，故选AC.2．如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设eq\o(AA1,\s\up6(→))＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，eq\o(AD,\s\up6(→))＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，则eq\o(MP,\s\up6(→))＋eq\o(NC1,\s\up6(→))＝(A)A.eq\f(3,2)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(3,2)c B．a＋eq\f(1,2)cC.eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c D.eq\f(3,2)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c[解析]eq\o(MP,\s\up6(→))＋eq\o(NC1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(3,2)c，故选A.3．如图，M是三棱锥P－ABC的底面△ABC的重心，若eq\o(PM,\s\up6(→))＝xeq\o(AP,\s\up6(→))＋yeq\o(AB,\s\up6(→))＋zeq\o(AC,\s\up6(→))(x，y，z∈R)，则x＋y＋z的值为(A)A．－eq\f(1,3) B．－eq\f(1,2)C.eq\f(2,3) D．1[解析]如图，连接AM，∵M是三棱锥P－ABC的底面△ABC的重心，∴eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，∴eq\o(PM,\s\up6(→))＝eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(AM,\s\up6(→))＝－eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，∵eq\o(PM,\s\up6(→))＝xeq\o(AP,\s\up6(→))＋yeq\o(AB,\s\up6(→))＋zeq\o(AC,\s\up6(→))(x，y，z∈R)，∴x＋y＋z＝－1＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)＝－eq\f(1,3).故选A.二、填空题4．已知a，b，c是空间三个不共面的向量，下列各组向量中不共面的是_①③__.①la，mb，nc(lmn≠0)；②a＋2b,2b＋3c，－9c＋3a；③a＋2b，b＋2c，c＋2a.[解析]对于①，∵a，b，c是空间三个不共面的向量，∴la，mb，nc(lmn≠0)是不共面的向量，故①正确；对于②，a＋2b,2b＋3c，－9c＋3a，假设存在实数s，t，使得－9c＋3a＝s(a＋2b)＋t(2b＋3c)＝sa＋(2s＋2t)b＋3tc，则s＝3,2s＋2t＝0,3t＝－9，解得：s＝3，t＝－3，∴假设成立，因此a＋2b,2b＋3c，－9c＋3a共面，故②不正确．对于③，假设存在实数s，t，使得a＋2b＝s(b＋2c)＋t(c＋2a)＝2ta＋sb＋(2s＋t)c，则2t＝1，s＝2,2s＋t＝0，无解，∴假设不成立，因此a＋2b，b＋2c，c＋2a不共面，故③正确．故答案为①③.5．如图所示，已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，M、N分别为PC、PD上的点，且PMMC＝21，N为PD中点，则满足eq\o(MN,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AD,\s\up6(→))＋zeq\o(AP,\s\up6(→))的实数x＝－eq\f(2,3)，y＝－eq\f(1,6)，z＝eq\f(1,6).[解析]在PD上取一点F，使PFFD＝21，连接MF，则eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MF,\s\up6(→))＋eq\o(FN,\s\up6(→))，∵eq\o(FN,\s\up6(→))＝eq\o(DN,\s\up6(→))－eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DP,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(DP,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)eq\o(DP,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)(eq\o(AP,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))，eq\o(MF,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BA,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，∴eq\o(MN,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,6)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AP,\s\up6(→))，∴x＝－eq\f(2,3)，y＝－eq\f(1,6)，z＝eq\f(1,6).三、解答题6．如图，点M，N分别是四面体ABCD的棱AB和CD的中点，求证：eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))．[证明]由题意可得，eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DN,\s\up6(→))，①eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CN,\s\up6(→))，②因为M，N分别为棱AB和CD的中点，所以eq\o(MA,\s\up6(→))＝－eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(DN,\s\up6(→))＝－eq\o(CN,\s\up6(→))，①＋②得2eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))，即eq\o(M