河北省石家庄十五中2023-2024学年高二下学期期中数学试题(解析版)

高二数学考试注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第二册至选择性必修第三册第七章7.4.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某天从甲地到乙地的高铁有8班，动车有2班，其他列车有4班．小红想在这一天坐火车从甲地到乙地，则不同的选择方案共有（）A.10种 B.14种 C.32种 D.64种【答案】B【解析】【分析】利用分类加法计数原理计算即可.【详解】由分类加法计数原理，得从甲地到乙地不同的方案数为，故选：B.2.已知等比数列的公比为，，则（）A.9 B.6 C.12 D.8【答案】A【解析】【分析】由等比数列的通项公式可求.【详解】因为等比数列的公比为，，则.故选：A3.小明参与答题竞赛，需要从a，b两道试题中选一道进行回答，回答正确即可晋级．若小明选择a，b试题的概率分别为0.8，0.2，答对a，b试题的概率分别为0.8，0.6，则小明晋级的概率为（）A.0.64 B.0.68 C.0.72 D.0.76【答案】D【解析】【分析】用分别表示小明选择试题，用表示小明晋级，可得，，利用全概率公式可求小明晋级的概率.【详解】用分别表示小明选择试题，用表示小明晋级，由题意可得，，所以由全概率公式得.故选：D.4.已知定义在上的函数的导函数为，且在上的图象如图所示，则（）A.1是的极小值点 B.1是的极大值点C.是的极小值点 D.是的极大值点【答案】D【解析】【分析】根据导数大于0和小于0确定的单调性，结合极值点的定义，即可得到答案.【详解】由图象可知，定义域，当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以是的极大值点，无极小值点，故选：D.5.某单位五一放假，安排甲、乙等五人值班五天，每人值班一天.若甲、乙都至少需要三天的连休假期，则不同的值班安排共有（）A.60种 B.66种 C.72种 D.78种【答案】C【解析】【分析】因甲乙都至少需要三天的连休假期，故采用“特优法”分步计数，先排好甲和乙，再考虑安排其他三人即得.【详解】由题意可知甲、乙都不能安排第三天值班，故可以分步完成：第一步，在除了第三天之外的四天中选两天给甲乙，有种方法；第二步，在剩下的三个位置上安排另外三个人，有种方法.由分步乘法计数原理，不同的值班安排共有种．故选：C.6.若随机变量X的分布列为（）X2310P0.20.20.6则（）A.5 B.7 C.13.6 D.14.6【答案】C【解析】【分析】利用数学期望的计算公式可求，进而利用差公式可求得.【详解】由题意得，所以.故选：C.7.若函数是上的减函数，则a的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】对原函数化简，，结合减函数，则在上恒成立，换元求出最小值，即得答案.【详解】，则，因为是上的减函数，则恒成立，即恒成立，即，令，，令，，则在对称轴时，，所以，故选：A.8.今天是星期天，则天后是（）A.星期五 B.星期六 C.星期天 D.星期一【答案】B【解析】【分析】利用二项式定理即可求解.【详解】因为，所以除以7的余数为6，所以天后是星期六．故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列命题是真命题的是（）A.若，则A与B相互独立B.若，则C.若，则可能为0.15D.若X服从两点分布，且，则【答案】AD【解析】【分析】根据事件独立性的定义判断A；根据条件概率的概率公式判断B，C；根据两点分布特征判断D.【详解】对于A，根据事件独立性的定义，若，则A与B相互独立，A正确；对于B，，，得，B错误；对于C，，所以，C错误；对于D，，D正确，故选：AD.10.已知随机变量服从二项分布，，下列判断正确的是（）A.若，则 B.C.若，则 D.的最大值为【答案】ABD【解析】【分析】根据二项分布的期望方差公式判断A、C，根据二项分布的概率公式判断B，由，令，利用导数求出函数的最大值，即可判断D.【详解】因为，由，解得，所以，故A正确．，故B正确．由，解得或，所以或，故C错误．，设函数，则．当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，所以的最大值为，故D正确．故选：ABD11.边长为2个单位长度的正方形如图1所示.将正方形向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到正方形，正方形和的组合图形如图2所示.将正方形向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到正方形，正方形，和的组合图形如图3所示.依此类推，得到图，则（）A.图3中矩形的个数为11B.图4中矩形的个数为19C.图10中矩形的个数为81D.图1至图20中所有知形的个数之和为1732【答案】ACD【解析】【分析】由图3可得A正确，图4可得B错误；由图推理从第三项开始，该数列成公差为10的等差数列，求出通项，再求出图10中矩形的个数可得C正确；由等差数列的前项和公式可得D正确.【详解】A：在图3的正方形EFGH中，有9个矩形，再加上正方形ABCD，CIJK，所以图3中矩形的个数为11，故A正确；B：如图4，在图4的正方形CIJK中，有9个矩形，与图3中的矩形相比，重合了矩形CQGR，CIJK，多了矩形OISH，PFTK，再加上正方形GLMN，所以图4中矩形的个数为，故B错误；C：依此类推，可知从图3开始，往后的每个图形中的矩形都比前一个图形中的矩形多10个，设图1，图2，图3，…，图中的矩形个数分别为，则从第三项开始，该数列成公差为10的等差数列．易得，则，所以，故C正确；D：，所以图1至图20中所有矩形的个数之和为，故D正确；故选：ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.12.在二项式的展开式中，常数项是第__________项．【答案】11【解析】【分析】求出通项，找到常数项，然后确定第几项即可.【详解】的通项公式为，常数项时，则，所以常数项是第11项，故答案为：1113.有一个摸奖游戏，在一个口袋中装有7个红球和3个白球，这些球除颜色外完全相同，一次性从中摸出6个球，至少摸到2个白球就中奖，则中奖的概率为__________．【答案】【解析】【分析】根据超几何分布概率公式，即可求解.【详解】记中奖为事件，概率为，所以中奖的概率为，故答案为：.14.做一个容积为的圆柱形封闭容器，要求所用材料最省，则该容器的底面半径为______，表面积为______.【答案】①.5②.【解析】【分析】根据已知得到条件等式，然后将圆柱的表面积表示为的函数，利用导数即可求解.【详解】设该容器的底面半径为，高为，表面积为．由，得．所用材料最省即该容器表面积最小，则．令函数，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，要使所用材料最省，则该容器的底面半径为，表面积为．故答案为：5；.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知（1）求；（2）求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出通项公式，根据通项公式求出，即得结果；（2）赋值，结合，即得结果.【小问1详解】的通项公式为，所以，，所以.【小问2详解】令，得，所以.16.3月29日，“本草健康”展览在国家自然博物馆开展．“本草健康”展览共分为“本草释义”“本草传奇”“本草养生”“本草拾趣”四个单元．已知甲、乙计划依次参观该展览的四个单元．（1）若甲、乙参观的第一个单元均为“本草拾趣”，试问共有多少种不同的参观方案？（2）若甲参观“本草释义”与“本草传奇”单元的顺序相邻，且甲参观的第一个单元与乙参观的第四个单元不相同，试问共有多少种不同的参观方案？【答案】（1）36（2）216【解析】【分析】（1）利用分步计数原理可求总的方法数；（2）利用分步计数原理可求总的方法数.【小问1详解】第一步，排甲的参观顺序有种不同的参观方案，第二步按排乙的参观顺序有种不同的参观方案，故共有种不同的参观方案.【小问2详解】第一步，排甲的参观顺序有种不同的参观方案，第二步按排乙的参观顺序有种不同的参观方案，故共有种不同的参观方案.17.已知数列的前项和为，，，且.（1）证明：数列是等差数列.（2）求的通项公式.（3）若，数列的前项和为，证明：.【答案】（1）证明见解析（2）（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据条件，利用等差数列的定义证明所给数列是等差数列.（2）根据（1）的结论，转化成由与的关系求通项公式.（3）利用裂项求和法求，再比较与的大小.【小问1详解】证明：将两边同时除以，得．当时，，所以是以1为首项，为公差的等差数列．【小问2详解】由（1）得，则．①当时，．②①-②，得，整理得，则，也符合，所以．【小问3详解】证明：由（2）得，所以因为，所以18.京剧被誉为中国文化的瑰宝.每个脸谱都有其独特的象征意义，是京剧中不可或缺的一个组成部分.某商店售卖的京剧脸谱娃娃共有三种款式，有直接购买和盲盒购买两种方式.若直接购买京剧脸谱娃娃，则每个京剧脸谱娃娃售价54元，可选定款式；若盲盒购买京剧脸谱娃娃，则每个盲盒售价27元，盲盒中的一款京剧脸谱娃娃是随机的.（1）甲采用盲盒购买的方式，每次购买一个盲盒并打开，若买到的京剧脸谱娃娃中出现相同款式，则停止购买.用表示甲购买盲盒的个数，求的分布列.（2）乙计划收集一套京剧脸谱娃娃（三种款式各一个），先购买盲盒，每次购买一个盲盒并打开（乙最多购买3个盲盒），若未集齐一套京剧脸谱娃娃，再直接购买没买到的款式，以购买费用的期望值为决策依据，问乙应购买多少个盲盒?【答案】（1）答案见解析；（2）2个.【解析】【分析】（1）求出可能取值及其对应的概率，即可求出的分布列.（2）分别求出三种方案总费用的期望值，比较它们的大小，即可得出答案.【小问1详解】由题意可知，的取值可能是则，，，的分布列为234【小问2详解】设乙购买个盲盒，集齐一套京剧脸谱娃娃所需总费用为（单位：元），则的取值可能是1，2，3.方案一：购买1个盲盒，直接购买另外两款京剧脸谱娃娃，则总费用元．方案二：购买2个盲盒，当盲盒中的京剧脸谱娃娃的款式相同时，直接购买另外两款京剧脸谱娃娃，总费用元，概率为；当盲盒中的京剧脸谱娃娃的款式不相同时，直接购买第三款京剧脸谱娃娃，总费用元，概率为．所以购买2个盲盒的总费用的期望值为元．方案三：购买3个盲盒，当3个盲盒中的京剧脸谱娃娃款式均相同时，直接购买另外两款京剧脸谱娃娃，总费用元，概率为；当3个盲盒中的京剧脸谱娃娃恰有两个款式相同时，直接购买第三款京剧脸谱娃娃，总费用元，概率为；当3个盲盒中的京剧脸谱娃娃款式均不相同时，总费用元，概率为．所以购买3个盲盒的总费用的期望值为元．因为方案二购买费用的期望值最小，所以乙应购买2个盲盒．19.已知函数（，），且曲线在点处的切线经过点.（1）求；（2）求的单调区间；（3）若，，证明：.【答案】（1）（2）的单调递减区间为，单调递增区间为（3）证明见解析【解析】【分析】（1）对求导，