上海市控江中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

控江2023学年第二学期高二年级数学期中2024.04一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）

1．已知，则________．2．抛物线的焦点到准线的距离为________．3．椭圆的离心率为________．4．双曲线的渐近线斜率的绝对值是________．5．已知正方形边长为1，把该正方形绕着它的一条边旋转一周所形成的几何体的体积为________．6．设椭圆上一点到左焦点的距离为3，记为的中点，为坐标原点，则________．7．已知点在椭圆上运动，则的取值范围是________．8．已知抛物线的焦点是，点，若抛物线上存在一点使得最小，则点的横坐标为________．9．过点的直线被圆截得的弦长为，则直线的方程为________．10．已知，在拋物线上存在两个不同的点关于直线对称，则的取值范围是________．11．已知实数，曲线与曲线的公共点个数为，对于不同的，所有可能的值的集合为________．12．在一个阳光明媚的周末，市射击俱乐部举办了一场盛大的射击比赛，来自各地的射击爱好者纷纷报名参加，甲乙作为一个组合报名参加了射击小组赛．该项比赛规则为：每个小组2人，每人每轮依次射击一次，共有2轮．若两人合计射中靶心次数不少于3次，则称这组为“神枪手组合”．已知甲、乙射中靶心的概率分别为和，若，那么甲乙小组最后获得“神枪手组合”称号的最大可能性为________（假设所有选手每次射击都互相独立）.二、选择题（本大题满分18分）本大题共4题，第13-14题各4分，第15-16题各5分13．直线与直线相交，直线也与直线相交，则直线与直线的位置关系是（）．A．相交 B．平行 C．异面 D．以上都有可能14．已知点，曲线的方程，曲线的方程，则“点在曲线上”是“点在曲线上”的（）．A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件15．圆上到直线的距离为1的点有（）．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个16．已知双曲线和直线，是双曲线的左，右顶点，是双曲线上异于两点的任意一点，直线分别交直线于两点，设的外接圆面积分别为，则的最小值为（）．A． B．C． D．三、简答题（本大题满分78分）本大题共有5题17．（本题共14分，第（1）题6分，第（2）题8分）如图，在棱长均为1的正三棱柱中，点在棱上，且．记，，．（1）用表示、．（2）求直线与直线所成角的大小．18．（本题共14分，第（1）题6分，第（2）题8分）冬奥组委会启动志愿者全球招募，仅一个月内报名人数便突破60万，其中青年学生约有50万人．现从过50万青年学生志愿者中，按男女分层抽样随机选取20人进行英语水平测试（满分100分），所得成绩（单位：分）统计结果用茎叶图记录如图：（1）试估计在这50万青年学生志愿者中，英语测试成绩在80分以上的女生人数．（2）分别求出样本数据中男生成绩的平均数和方差，女生成绩的平均数和方差，并根据所得数据对比男生与女生在这次测验中的表现．（结果精确到0.1）

19．（本题共14分，第（1）题6分，第（2）题8分）已知，直线与双曲线相交于不同的点．（1）若点分别在双曲线的左、右两支上，求的取值范围．（2）若以线段为直径的圆，经过坐标原点，求的值．20．（本题共18分，第（1）题4分，第（2）题6分，第（3）题8分）已知正四面体的棱长为3，点在棱上，点在线段上，且．（1）如图1，若点在棱的中点处，求证：平面．（2）如图2，若，求三棱锥的体积．（3）如图3，当点在棱上移动时，求线段长度的最小值．图1图2图321．（本题共18分，第（1）题4分，第（2）题6分，第（3）题8分）已知，椭圆，点是该椭圆的右焦点，过点的直线与椭圆交于不同的两点．（1）当且的斜率为1时，求．（2）当时，求的取值范围．（3）是否存在实数，使得对于任意的直线、都不是直角三角形．若存在，求出所有满足条件的；若不存在，请说明理由． 参考答案一、填空题1.；2.；3.；4.；5.；6.；7.；8.；9.或；10.；11.12..二、选择题13.D14.A15.B