高中数学-概率

17.电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表:

电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类

电影部数14050300200800510

好评率0.40.20.150.250.20.1

好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.

假设所有电影是否获得好评相互独立.

(I)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概

率；

(II)从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；

(ill)假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“Q=「‘表

示第&类电影得到人们喜欢，表示第左类电影没有得到人们喜欢

g,2,3,4,5,6).写出方差D(吟吟,%%D之的大小关系.

【答案】(1)概率为0.025

⑵概率估计为0.35

(3)D^>D^>D§2=D^>D^>D^6

【解析】分析：(1)先根据频数计算是第四类电影的频率，再乘以第四类电影好评率得所求概率，(2)

恰有1部获得好评为第四类电影获得好评第五类电影没获得好评和第四类电影没获得好评第五类电影获

得好评这两个互斥事件，先利用独立事件概率乘法公式分别求两个互斥事件的概率，再相加得结果，

(3)《服从0T分布，因此口短=Pd-P),即得D5>D%>Dt2=DE5>D，3>D，6-

详解：解：(I)由题意知，样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2000,

第四类电影中获得好评的电影部数是200x0.25=50.

故所求概率为史-=0.025.

2000

(II)设事件A为“从第四类电影中随机选出的电影获得好评”，

事件8为“从第五类电影中随机选出的电影获得好评”.

故所求概率为P(AB+AB)=P(AB)+P(AB)

=P(A)(1-P(B))+(1-P(A))P(B).

由题意知：P(A)估计为0.25,P(B)估计为0.2.

故所求概率估计为0.25x0.8+0.75x0.2=0.35.

(Ill)D0>D0>D&2=D&5>D&3>D基.

点睛：互斥事件概率加法公式：若A,B互斥，则P(A+B)=P(A)+P(B),独立事件概率乘法公

式:若A.B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B).

小题满分13分)

为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位

顾客从

一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和

为该顾客所获的奖励额.

(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求

①顾客所获的奖励额为60元的概率

②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；

(2)商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元

和

50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾

客得到的奖励

总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋

中的4个球

的面值给出一个合适的设计，并说明理由.

［试题来源］2014高考真题理科数学(福建卷)

【答案解析】

：（IWW客/期.罗喈％

（i>fKif.e.P'\=（/））E—4r~

J

年叙各所茯的奖励蹲力60元的也率为*.・澧！1且

（ii）伍跄0,用:g”有可/型信为20.6（；

।'d।

/*（Vx6＜）＜e—,/»!\:"，=尸=三.

即'的分布外力

所以就学随位的发册1#的期货为£（X）=20x0.5*60，Q5=401元h

＜II）的据商场的偿算•福卜京客的平均黄励他为60元所或,无？代期望为60元的仄境方案

0I面值由I。元加50元退成的情迷.如里也"10.10.10,50）的方案,因为60元是面值

之和的弟，、仅,所以斯里不可提为60元I,里也捧（SO.50.50.I。的方翠.因为60元是无

值之附的依小俏.所一阚堂也不那徒为3元.因此可能的方案是（10・10.50.50）.正为方

案I.

MF面曲由20元卬40元母取的怙士同理可林除：20.20.20.4（）;如40.40.4（1.”）的方

零.所。可媲的方案23）.20.4（）.44））.已为方案2

以下足将出$方案的分析：

（本小题满分13分）一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字

是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3,从盒中任取3张卡片.

（1）求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；

（2）X表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X的分布列与数学期望（注：若三

个数a»,c满足aW&Wc,则称占为这三个数的中位数）.

【试题来源】2014年高考真题理科数学（重庆卷）

【答案解析】

5

(I)84(II)

A/3+715

8

(I)

Q♦只♦7

...9中取决有需=三止种,3个完全相同共有C：+或=5,

・•.所求事件上的概率P⑷=且岁=含•5=/

所以取3个完全不同卡片的概率是之

84

(II)

中位就何以取1,2,3

•.•当星=1时，如⑴(1)(1,2§,心=1)=.管丹=券监,

Upo44N

en_uXC\cl+clclcl++clcl43

当X=2时，如(1,2)(2)(2,3),p(X=2)=^~~■~士,

C9o4

C】c271

当£=封，如(1,2)(3)(3),p{X=2)=--2=--—>

UgIN

X的分布列如下:

X123

171

P43

4212

84

一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上

的产量具有随机性，且互不影响,其具体情况如下表:

作物产量Ckg)300500作物市场价格(元/kg)610

概率0.50.5概率0.40.6

(1)设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求x的分布列；

(2)若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于

2000元

的概率.

【试题来源】2014年高考真题理科数学(陕西卷)

【答案解析】

(1)(800,0.2)(2000,0.5)(4000,0.3)(2)0.896

(1)

利润产量*价格-成本,考虑产量和价格，利润£可以取300*6-1000=800,

300*10-1000=2000,500*6-1000=2000,500*10-1000=4000,即800,2000,4000三个.

p(星二800)=05*0.4=0.2,

p(X=2000)=0,5*06+0.5*04:0.5,

p(星二4000)=0.5*06=0.3

X的分布列如下表：

X80020004000

P0.20.50.3

（2）

利润X=产量*价格-成本考虑产量和价格，利润X可以取300*6-1000=800,

由⑴知，一季利润不少于2000的概率0.5+0.3=0.8.

则建中至少有2季的利润不少于2000的概率

33

P-C；p“l-p）+C^p（l-p）=3*00*0,2+0.8=0,896

所以，建中至少有2季的利润不少于2000的概率是0.896

8.（本小题满分12分）

某人在如图4所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横的交叉点

记忆三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物。根据历年的种植经验，一株该种作

物的年收获量Y（单位：kg）与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：

X1234

Y51484542

这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米。

（I）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概

率；

（II）从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望。

【试题来源】2013年高考真题一一理科数学湖南卷

【答案解析】

解（I）所种作物总株数N=1+2+3+4+5=15,其中三角形地块内部的作物株数

为3.边界上的作物株数为12.从三角形地块的内部和边界上分别随机送取一株的

不同结果仃CR=36种,选取的两株作物恰好"相近”的不同结果有'3+3+2=8

种.

故从三角形地块的内部和边界上分别航机选取i株作物•它们恰好“相近”的概率

（II）先求从所种作物中随机选取的一株作物的年收获量f的分布歹山

因为

?=51)=F(X=I),P(>,'=48)=P(AT=2),

p(f=45)=P(X=3).〃(y=42)=P(X=4),

所以只需求出尸（*=女）（七=123.4）即可•

记〃，为其"相近”作物恰有上株的作物株数（*=1,2.3.4），则

4=2,%=4,%=6，%=3•

由尸（*=〃）=普得

尸（X=1）=看P（，¥=2）=青，尸（工=3）=却P（X=4）T

故所求的分布列为

242

r155

所求的数学期望为

/■：(r)=51z^+48xA+45x^+42x1=2£ifil±5Q±42=46.

J'I〉A》。

某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为3,中奖可以获得2分;

方案乙的中奖率为5，中奖可以获得3分；未中奖则不得分。每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖

与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品。

（1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为工，求X43的概率；

（2）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的

数学期望较大？

［试题来源］2013年高考真题一一理科数学福建卷

【答案解析】

本疝8主要考查古典微型、离收蟹修机变俄的分布列'数学期里等基通知R考香数据处理能力、珞算

求解熊力、应用意识.考有必然与或然思想属分13分・

惧法一*I)由已知得.小明中奖的被率为■1•.小红中奖的微率为套，且两人中奖与否互不影晌•

记"这2人的累计得分x<3”的事件为人

则事件4的对立事件为“X-5J

四为代8=5).告*9■=台.所UIP(A)・l-P(X-5)«-||,

即这2人的累计得分XW3的概率为1|.

(n)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为士熙鸳%蟋2教忽匕再：，人选

肄方案甲抽奖累计得分的数学期里为以站，)，送鼻方案乙抽奖累计得分的数学期里为£。&).

由巳知可得.M-8(2,年),％-8(2,春).

所以£(X,)n2x1"二年.£(J^)a2x-J-=-y,

从而£(2X,).2£(X,).-8-,E(3X,)=3E(%)=学.

因为£(2X,)>E(3X,).

所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大.

解法二:(I)由巳知得，小明中奖的微率为g■,小红中奖的摄率为季,且两人中奖与否互不影响.

记“这2人的累计掰分XW3”的事件为A.

则事件4包含有“X=0"."X"2"."X=3.三个两两互斥的事件，

因为P(X=OA0T)x(1高p(x・2)哼中旬■告,F(X-3)-p-J-)jc1--^,

所以44)=P(X=0)+/>(>=2)+/

知这2人的累计得分XC3的低率为］

(II)设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为为，郡选择方案乙所我得的累计得分为3,则

哲・西的分布列如下：

X,024036

44

PJLIp9124

9T252525

所以%・0*卜2哈+4彳=-|".E(玉)=Ox合3*音*啥=竽.

因为£(%)>E(X,),

所以他们都选界方案甲进行抽奖时,累计得分的数学期5B较大.

_1aoe_W*w■,aM«»Me»4---

9.(本题满分14分)已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2

分，取出一个黑球得1分。现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球,

记随机变量X为取出此3球所得分数之和。

(1)求X的分布列；

(2)求X的数学期望E(X)。

［试题来源］2013年高考真题--理科数学浙江卷

【答案解析】

本通王要等二1机事件的摄率和随机变量的分布列、数学期望、数学方差等概念,同村送蹙抽象盛括、运算

求解能力和应用意识。濡分M分。

(1)由题盍得

故

w3x3I

°C■何=4,

而冲日y

，；2HHC2

IO

5)普+

所以f的分布列为

245

1V------XT7

39

q，&______

£⑴)5

a.6"o."29.6.小3.

〃(正《l-丹・岳”2-抖.

2a-6-4c=0.

<if4fc-|IesQ.

解得”2c.故

n：A,34

本小题满分12分)

甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比

J

赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为5'各局比赛

的结果都相互独立，第1局甲当裁判.

(1)求第4局甲当裁判的概率;

(II)又表示前4局中乙当裁判的次数，求X的数学期望.

【试题来源］2013年普通高等学校招生全国统一考试数学(理科)

【答案解析】

…一,-—―tNMia***,*114V

（20〃”小■・分"分）・

“乙..人.〃.七域.J.・f人比■•用一人）收6..

&方侵**••约为+,务马比•的储■■*■文・■i■平守.邦.

(■)X鱼小・<M*4iftRMftft.jtX■■学■■.

••<i>eA»■示-friBz■■■»♦■・・

・A・Ai•At.

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%>号乙•■咏：叶骷音唱

・KX-S"F・0.9、)•5诏1内%>向，珥•.

KX-1)-八瓦・9»)・K瓦沙(岛…

KXT.I-POmKX・力,1一十一+・年

-TO分

IX-O*F(X»O>r：・FCX-Ofl*RX»i>-4*.一一］］介

经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出It该产品获利润500元，未售出

的产品，每It亏损300元。根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直

方图，如右图所示。经销商为下一个销售季度购进了130e该农产品。以x（单位：t,

1OO0W15O）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润。

O.UJO

0024

()020

()015

()010

（I）将T表示为x的函数

（II）根据直方图估计利润T,不少于57000元的概率；

（III）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，

需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若xC［l0°，110））

则取x=105,且产105的概率等于需求量落入［10°，"°）的利润T的数学期望。

［试题来源］2013年普通高等学校招生全国统•考试（新课标II卷）数学（理科）

【答案解析】

(19)M：

(I)当*w"OO.I30)N・

r-500X-300(130-X)

・800X-39000.

当XcflJO.I刻时.

7・$00xl30»65000.

J800*-39000.100WX<130.

’7"(65000,I3O<X<I5O.

(II)^(!)知利词r不少于5708元骂且仅当

I2O<JT<I3O.

由R方图知需求量XG【12O.15O)的妣率为0.7,所以下一个的售季度内的利润7不

4>rS7000元的概率的估计值为0.7.

,心,7曷3可得史理为_______________________________.

T45000S300U610006500)

P0.10.20.30.4

所以£T-45000x0.1♦53000x0.2*61000x03*65000x0.4

-59400.

【¥.八；工二】人小flt二二—:「•'均/、城■分。0方

域中朽《月・考仃刊学门分，泊匕。”次何事的04.

（本小题满分12分）

505560657075体重

图4为了解今年某校高三毕业班准备报考飞行

员学生的体重（单位：千克）情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方

图（如图4）,已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3,其中第

2小组的频数为120

⑴求该校报考飞行员的总人数；

⑵以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据，若从全省报考飞行员的同

学中任选三人，

设X表示体重超过60千克的学生人数，求X的分布列和数学期望。

【试题来源】广东省深圳市松岗中学2012届高三理科数学模拟考试卷（2）

【答案解析】

解：⑴设报考飞行员的人数为巴前三小组的频率分别为小、。2、Pz,则

%=2Pl

P3=3Pl

4-(0,0375+0,0125)x5=1...3分

Pi+p2+解得

均=0.125

2=025

外=0.375...彳分

因为

P2=025=—

n所以

力=48...6分

⑵由⑴可得，一个报考学生体重超过60公斤的概率为

p=p3+(0.0375+0,0125)x5=18分

所以

了~(3,?)

O8分

p(X=4=C，g邙7

所以OO上=0,1,2,39分

X0123随机变量X的分布列为

P27135225125

512512512512

...11分

”八27,135、225。1251515

EX=0x--4-1x---+2x---+3x---=—EX=3x-=

则5125125125128(或:8彳)12

分

某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图

如图4所示，其中成绩分组区间是：

[40,50][50,60][60,70][70,80][80,90][90,100]。

（1）求图中x的值；

（2）从成绩不低于8。分的学生中随机选取2人，

该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为九

求4的数学期望。

【试题来源】2012年普通高等学校招生全国统♦考试福建理数

【答案解析】

（1）0.006xlOx3+0,01X10+0.054X10+xx10=1<^>%=0.018

（2）成绩不低于80分的学生有（0018+0.006）x10x50=12人,

其中成绩在90分以上（含90分）

的人数为0.06x10x50=3

随机变量4可取°工2

尸("0)=昌（，产6=1）=警=之，产6=0）=11

22

lx±2xl=J

E^=Ox—++

1122222

答：（1）x=0.018

（2）岁的数学期望为5

某单位招聘面试，每次从试题库随机调用一道试题，若调用的是月类型试题,

则使用后

该试题回库，并增补一道工类试题和一道B类型试题入库，此次调题工

作结束；若调用

的是B类型试题，则使用后该试题回库，此次调题工作结束。试题库中现

共有?3+加道

试题，其中有正道力类型试题和搐道B类型试题，以X表示两次调题工

作完成后，试

题库中另类试题的数量。

(I)求丫=%+2的概率；

(II)设雁=%,求X的分布列和均值(数学期望)。

【试题来源】2012年普通高等学校招生全国统一考试安徽理数

【答案解析】

n%+1

(I)X=〃+2表示两次调题均为人类型试题，概率为嬴G*冽+市+2

(II)演=%时，每次调用的是乂类型试题的概率为0=5

随机变量X可取乩%+1/+2

,11°1

P{X=n)=(y-p'f=-F(X=%+D=2p(l-p)=lF(X=%+2)=p2=±

4,2,4

Xn照+1n+2

111

P

424

=

EXX--4-(力4-1)X—4~(44~2)X—=%+1

n力+1

----x-------

答：(I)X=%+2的概率为演+阀加+q+2

(II)求X的均值为M+1

某大型水果超市每天以10元/千克的价格从水果基地购进若干A水果，然后以15元/千

克的价格出售，若有剩余，则将剩余的水果以8元/千克的价格退回水果基地，为了确

定进货数量，该超市记录了A水果最近50天的日需求量(单位：千克)整理得下表：

日需求量140150160170180190200

频数51088775

以50天记录的各日需求量的频率代替各日需求量的概率.

(1)若该超市一天购进A水果150千克，记超市当天A水果获得的利润为X(单位：

元)，求X的分布列及其数学期望；

(2)若该超市计划一天购进A水果150千克或16()千克，请以当天A水果获得的利润

的期望值为决策依据，在150千克与160千克之中选其一,应选哪一个？若受市场影响，

剩余的水果以7元/千克的价格退回水果基地，又该选哪一个？

【试题来源】福建省百校2018届高三下学期临考冲刺数学(理)试题

【答案解析】

(1)若d水果日需求量为140千克，则

X=140x(15-10)-(150-140)x(10-8)=680元

P(JT=680)=—=0.1

且50,若4水果日需求量不小于150千克，

贝X=150x(15-10)=750元||=750)=1-0,1=0.9

故X的分布列为：

X680750

P0.10.9

典司=680x01+750x09=743元

(2)设该超市一天购进d水果160千克，当天的利润为丫(单位：元)

则F的可能取值为l**5-20x4150x5-10x2160x5,即660,730,800

?的分布列为:

Y660730800

P0.10.20.7

£(7)=660x0.1+730x0:2+800x0.7=772

因为772>743,所以该超市应购进160F克，

若剩余的水果以7元/千克的价格退回水果基地，同理可得乂P的分布列分别为:

X670750

P0.10.9

Y640720800

P0.10.2().7

因为670x01+750x02)<640x0.1+720x0J2+800x0.7,

所以该超市还是应购进160千克.

2015年11月27日至28日，中共中央扶贫开发工作会议在北京召开，为确保到2020

年所有贫困地区和贫困人口一道迈入全面小康社会.黄山市深入学习贯彻习近平总书记

关于扶贫开发工作的重要论述及系列指示精神，认真落实省委、省政府一系列决策部署，

精准扶贫、精准施策，各项政策措施落到实处，脱贫攻坚各项工作顺利推进，成效明显.

贫困户杨老汉就是扶贫政策受益人之一.据了解，为了帮助杨老汉早日脱贫，负责杨老汉

家的扶贫队长、扶贫副队长和帮扶责任人经常到他家走访，其中扶贫队长每天到杨老汉家

走访的概率为

11

4，扶贫副队长每天到杨老汉家走访的概率为3，帮扶责任人每天到杨老汉家走访的概率为

2.

（I）求帮扶责任人连续四天到杨老汉家走访的概率；

（II）设扶贫队长、副队长、帮扶责任人三人某天到杨老汉家走访的人数为X,求X的分

布列；

（III）杨老汉对三位帮扶人员非常满意，他对别人说产他家平均每天至少有1人走访

请问：他说的是真的吗？

【试题来源】安徽省黄山市2019届高三第一次质量检测（•模）数学（理）试题

【答案解析】

解：（I）设帮扶责任人连续四天到杨老汉家走访的事件为A；

.•.帮扶责任人连续四天到杨老汉家走访的概率为16..................................