高考数学一轮复习点点练28直线、平面的平行与垂直关系

点点练28__直线、平面的平行与垂直关系一基础小题练透篇1．给出以下命题(其中a，b表示不同的直线，α表示平面)：①若a∥α，b∥α，则a∥b；②若a∥b，b∥α，则a∥α；③若a∥α，b⊂α，则a∥b；④若α的同侧有两点A，B到平面α的距离相等，则AB∥α.其中正确命题的个数是()A．0B．1C．2D．32.[2023·湖北省襄阳市部分学校期中试题]某正方体的平面展开图如图所示，在这个正方体中，下列结论正确的是()A．AF∥平面BCEB．AD⊥平面BCEC．AE∥BCD．BF⊥CE3．如图，在四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是AB1，BC1的中点，则下列结论中正确的是()A.EF⊥BB1B．EF⊥平面BCC1B1C．EF∥平面D1BCD．EF∥平面ACC1A14.[2023·陕西省质量检测]如图，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝1，AA1＝eq\r(3)，点D是侧棱BB1的中点，则直线C1D与平面ABC所成角的正弦值为()A．eq\f(\r(3),2)B．eq\f(\r(21),7)C．eq\f(\r(7),7)D．eq\f(2\r(7),7)5.[2023·邯郸市摸底]如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E是棱AB的中点，F是四边形AA1D1D内一点(包含边界).EF∥平面BB1D1D，当线段EF长度最大时，EF与平面ABCD所成角的余弦值为()A．eq\f(\r(2),4)B．eq\f(\r(3),3)C．eq\f(\r(3),4)D．eq\f(\r(3),6)6．在正四面体ABCD中，E，F分别为△BCD，△ACD的中心，则下列说法中不正确的是()A．EF∥ABB．CD⊥平面ABEFC．异面直线AB，CD所成的角为90°D．AE＝eq\f(1,3)EF7．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝2，E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则EF＝________．二能力小题提升篇1.[2023·陕西省西安市模拟]已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，给出下列命题中正确的是()①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β.A．①②③B．②③④C．②④D．①③2．[2023·辽宁省实验中学期中]已知m，n为两条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，则下列命题正确的是()A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若α⊥β，γ⊥β，且α∩γ＝m，则m⊥βC．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥βD．若m⊥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n

3.[2023·四川省成都市月考]如图，已知正三棱柱ABC­A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，N是AB1的中点，则()A．A1N∥C1AB．A1N∥平面BAMC．AB1⊥平面ABMD．BM⊥AB14.[2023·山西省临汾市联考]如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠BAC＝90°，AC＝AB＝eq\f(1,2)AA1＝1，设D，E分别是棱CC1上的两个动点，且满足DE＝1，则下列结论错误的是()A．平面ABC⊥平面B1DEB．A1A∥平面B1DEC．AB1⊥平面ADED．三棱锥A­B1DE体积为定值5.如图所示，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)6．[2023·聊城模拟]如图，矩形ABCD中，AB＝2AD，E为AB的中点，将△ADE沿DE翻折至△A1DE(A1∉平面ABCD)，若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻折的过程中，下列结论正确的是________．(写出所有正确结论的序号)①VA­A1DE∶VA1­BCDE＝1∶3；②存在某个位置，使DE⊥A1C；③总有BM∥平面A1DE；④线段BM的长为定值．三高考小题重现篇1.[2019·全国卷Ⅱ]设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是()A．α内有无数条直线与β平行B．α内有两条相交直线与β平行C．α，β平行于同一条直线D．α，β垂直于同一平面2．[全国卷Ⅰ]如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是()ABCD3．[全国卷Ⅲ]在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则()A．A1E⊥DC1B．A1E⊥BDC．A1E⊥BC1D．A1E⊥AC4．[2022·新高考Ⅰ卷](多选)已知正方体ABCD­A1B1C1D1，则()A．直线BC1与DA1所成的角为90°B．直线BC1与CA1所成的角为90°C．直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45°D．直线BC1与平面ABCD所成的角为45°5．[全国卷]α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β.④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．其中正确的命题有______.(填写所有正确命题的编号)6．[2019·全国卷Ⅰ]已知∠ACB＝90°，P为平面ABC外一点，PC＝2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为eq\r(3)，那么P到平面ABC的距离为________．四经典大题强化篇1.在如图所示的空间几何体中，AC⊥BC，四边形DCBE为矩形，点F，M分别为AB，CD的中点．求证：(1)FM∥平面ADE；(2)平面ACD⊥平面ADE.2.如图，四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，且CE∥AB.(1)求证：CE⊥平面PAD；(2)若PA＝AB＝1，AD＝3，CD＝eq\r(2)，∠CDA＝45°，求四棱锥P­ABCD的体积．3．如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝2CD，DE⊥AB，沿DE将△AED折起到△A1ED的位置，连接A1B，A1C，M，N分别为A1C，BE的中点，如图2.(1)求证：DE⊥A1B；(2)求证：MN∥平面A1ED；(3)在棱A1B上是否存在一点G，使得EG⊥平面A1BC？若存在，求出eq\f(A1G,GB)的值；若不存在，说明理由．点点练28直线、平面的平行与垂直关系一基础小题练透篇1．答案：B解析：如图，在长方体ABCD­A′B′C′D′中，A′B′∥平面ABCD，B′C′∥平面ABCD，但A′B′与B′C′相交，故①错误；AB∥A′B′，A′B′∥平面ABCD，但AB⊂平面ABCD，故②错误；A′B′∥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，但A′B′与BC异面，故③错误；④显然正确．2．答案：B解析：由题意可知，如图所示，对于A，由图可知，AF与平面BCE不平行，故A错误；对于B，易知BC⊥平面AFDE，AD⊂平面AFDE，所以BC⊥AD，同理EC⊥AD，BC∩EC＝C，BC，EC⊂平面BCE，所以AD⊥平面BCE，故B正确．对于C，在正方形BDCF中，FD⊥BC，易知四边形AFDE为平行四边形，所以AE∥FD，所以AE⊥BC，故C错误．对于D，在正方形BDCF中，BF∥DC，所以∠DCE为异面直线BF与CE所成角，易知∠DCE＝45°，所以BF与CE不垂直，故D错误．故选B.3．答案：D解析：题中未涉及垂直条件，故排除A，B；连接BA1，CD1，则BA1与AB1交于点E，所以直线EF与平面CBA1D1相交，即直线EF与平面D1BC相交，故排除C；连接B1C交BC1于点F，由于平行四边形BCC1B1的对角线互相平分，故F是B1C的中点．因为E是AB1的中点，所以EF是三角形B1AC的中位线，故EF∥AC.又AC⊂平面ACC1A1，所以EF∥平面ACC1A1.故选D.4．答案：B解析：∵BB1⊥平面A1B1C1，∴C1D与平面A1B1C1所成的角为∠DC1B1.又B1C1＝1，B1D＝eq\f(\r(3),2)，可得C1D＝eq\f(\r(7),2)，而平面A1B1C1∥平面ABC，∴C1D与平面ABC所成角的正弦值为eq\f(B1D,C1D)＝eq\f(\r(21),7).5．答案：B解析：设正方体的棱长为a，如图，取AD的中点G，连接EG，过G作GH∥DD1，与A1D1交于点H，则点F∈GH，且HG⊥平面ABCD，则∠FEG即为EF与平面ABCD所成角，当EF长度最大时，点F与点H重合，EG＝eq\f(\r(2),2)a，EH＝eq\r(a2＋\f(1,2)a2)＝eq\f(\r(6),2)a，得cos∠HEG＝eq\f(\f(\r(2),2)a,\f(\r(6),2)a)＝eq\f(\r(3),3).6．答案：D解析：取CD的中点O，连接AO、BO，如图所示：对于A，点A、F、O和点B、E、O分别共线，因为点E、F分别为△BCD和△ACD的中心，所以eq\f(AF,FO)＝eq\f(BE,EO)＝2，所以EF∥AB，所以选项A正确；对于B，因为AO⊥CD，BO⊥CD，AO，BO⊂平面ABO，且AO∩BO＝O，所以CD⊥平面ABO，即CD⊥平面ABEF，选项B正确；对于C，因为AB⊂平面ABO，所以CD⊥AB，选项C正确；对于D，因为EF∥AB，设AB＝1，所以EF＝eq\f(1,3)，易知BO＝eq\f(\r(3),2)，在Rt△AEB中，BE＝eq\f(2,3)BO＝eq\f(2,3)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),3)，所以AE＝eq\r(AB2－BE2)＝eq\r(1－（\f(\r(3),3)）2)＝eq\f(\r(6),3)，AE≠eq\f(1,3)EF，选项D错误．7．答案：eq\r(2)解析：根据题意，因为EF∥平面AB1C，所以EF∥AC.又E是AD的中点，所以F是CD的中点．因为在Rt△DEF中，DE＝DF＝1，故EF＝eq\r(2).二能力小题提升篇1．答案：D解析：①，由直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，若α∥β⇒l⊥β⇒l⊥m，故①正确；②，若α⊥β⇒l∥m或l、m异面或l、m相交，故②错误；③，利用面面垂直的判定，若l∥m⇒α⊥β，故③正确；④，若l⊥m⇒α∥β或α、β相交或α、β垂直，故④错误．所以①③正确．2．答案：B解析：对于选项A，若m∥α，n∥α，则m与n可以平行，相交，或为异面直线，因此不正确；对于选项B，若α⊥β，γ⊥β且α∩γ＝m，则m⊥β，因此正确；对于选项C，若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α与β不一定平行，因此不正确；对于选项D，若m⊥α，n∥β，α⊥β，则m与n不一定垂直，因此不正确．综上，正确的命题是B.故选B.3．答案：D解析：因为A1N与C1A异面，所以A项错误；因为A1N的延长线必过点B，则直线A1N与平面BAM相交，所以B项错误；因为AB1与AB不垂直，所以AB1不垂直于平面ABM，所以C项错误；取BC的中点P，连接PB1，在正方形BCC1B1中，△B1BP与△BCM全等，可得BM⊥B1P，连接AP，则AP⊥BC，又平面BCC1B1⊥底面ABC，平面BCC1B1∩底面ABC＝BC，所以AP⊥平面BCC1B1，因为BM⊂平面BCC1B1，所以BM⊥AP，又AP∩B1P＝P，AP，B1P⊂平面B1AP，所以BM⊥平面B1AP，因为B1A⊂平面B1AP，所以BM⊥AB1.故选D.4．答案：C解析：A选项，过A作AF⊥BC，垂足为F，根据直三棱柱的性质可知BB1⊥平面ABC，由于AF⊂平面ABC，所以BB1⊥AF，由于BC∩BB1＝B，BC，BB1⊂平面BCC1B1，所以AF⊥平面BCC1B1，即AF⊥平面B1DE，由于AF⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面B1DE，A选项正确．B选项，根据三棱柱的性质可知A1A∥CC1，即A1A∥DE，由于A1A⊄平面B1DE，DE⊂平面B1DE，所以A1A∥平面B1DE，B选项正确．C选项，若AB1⊥平面ADE，即AB1⊥平面AA1C1C，由于A1A⊂平面AA1C1C，所以AB1⊥A1A，这与已知AB1，A1A不垂直矛盾，C选项错误．D选项，VA­B1DE＝VB1­ADE，由于三角形ADE的面积为定值、B1到平面AA1C1C的距离为定值，所以VA­B1DE＝VB1­ADE为定值，所以D选项正确．故选C.5．答案：DM⊥PC（或BM⊥PC）解析：连接AC，BD，则AC⊥BD，∵PA⊥底面ABCD，BD⊂底面ABCD，∴PA⊥BD.又PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC.∴当DM⊥PC（或BM⊥PC）时，即有PC⊥平面MBD.而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.6．答案：①③④解析：①设A1到平面EBCD的距离为h，D到AB的距离为h′，则VA－A1DE∶VA1－BCDE＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)×S△ADE×h))∶eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)×S梯形EBCD×h))＝S△ADE∶S梯形EBCD＝（eq\f(1,2)×AE×h′）∶eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(CD＋BE,2)×h′))＝1∶3，故①正确；②A1C在平面ABCD中的射影在AC上，AC与DE不垂直，∴DE与A1C不垂直，故②错误；③取CD的中点F，连接MF，BF，则MF∥A1D且MF＝eq\f(1,2)A1D，FB∥ED且FB＝ED，可得平面MBF∥平面A1DE，∴总有BM∥平面A1DE，故③正确；易知∠MFB＝∠A1DE，由余弦定理可得MB2＝MF2＋FB2－2MF·FB·cos∠MFB是定值，故④正确．三高考小题重现篇1．答案：B解析：对于A，α内有无数条直线与β平行，当这无数条直线互相平行时，α与β可能相交，所以A不正确；对于B，根据两平面平行的判定定理与性质知，B正确；对于C，平行于同一条直线的两个平面可能相交，也可能平行，所以C不正确；对于D，垂直于同一平面的两个平面可能相交，也可能平行，如长方体的相邻两个侧面都垂直于底面，但它们是相交的，所以D不正确．综上可知选B.2．答案：A解析：A项，作如图①所示的辅助线，其中D为BC的中点，则QD∥AB.∵QD∩平面MNQ＝Q，∴QD与平面MNQ相交，∴直线AB与平面MNQ相交．B项，作如图②所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥MQ，∴AB∥MQ.又AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，∴AB∥平面MNQ.①②③④C项，作如图③所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥MQ，∴AB∥MQ，又AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，∴AB∥平面MNQ.D项，作如图④所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥NQ，∴AB∥NQ.又AB⊄平面MNQ，NQ⊂平面MNQ，∴AB∥平面MNQ.3．答案：C解析：如图，∵A1E在平面ABCD上的射影为AE，而AE不与AC，BD垂直，∴B，D错；∵A1E在平面BCC1B1上的射影为B1C，且B1C⊥BC1，∴A1E⊥BC1（证明：由条件易知，BC1⊥B1C，BC1⊥CE，又CE∩B1C＝C，∴BC1⊥平面CEA1B1.又A1E⊂平面CEA1B1，∴A1E⊥BC1），故C正确；∵A1E在平面DCC1D1上的射影为D1E，而D1E不与DC1垂直，故A错．4．答案：ABD解析：如图（1），连接B1C.因为DA1∥CB1，BC1⊥CB1，所以直线BC1与DA1所成的角为90°，所以A正确．如图（2），连接B1C.因为BC1⊥B1C，BC1⊥A1B1，B1C∩A1B1＝B1，B1C，A1B1⊂平面A1B1C，所以BC1⊥平面A1B1C，所以BC1⊥CA1，所以B正确，如图（3），连接A1C1，交B1D1于点O，连接BO，A1B.易证A1C1⊥平面BDD1B1，所以∠C1BO为直线C1B与平面BDD1B1所成的角，∠C1BO＝30°，所以C错误．如图（4），因为C1C⊥平面ABCD，所以∠C1BC为直线BC1与平面ABCD所成的角，且∠C1BC＝45°，所以D正确．故选ABD.5．答案：②③④解析：若m⊥n，m⊥α，则n∥α或n⊂α，又n∥β，则α，β可能相交或平行，所以①错误；若m⊥α，n∥α，则m⊥n，所以②正确；若α∥β，m⊂α，由面面平行的性质可得m∥β，③正确；由线面所成角的定义可得④正确．故正确命题是②③④.6．答案：eq\r(2)解析：设PO⊥平面ABC于O，PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，连接OE、OF、OC，∵PO⊥平面ABC，∴PO⊥AC，又PO∩PE＝P，PO，PE⊂平面POE，∴AC⊥平面POE，OE⊂平面POE，∴AC⊥OE，同理有BC⊥OF，∴四边形OECF为矩形，∵PC＝PC且PE＝PF，∴Rt△PEC≌Rt△PFC，∴EC＝FC＝eq\r(PC2－PE2)＝1，∴四边形OECF是边长为1的正方形，∴OC＝eq\r(2)，在Rt△POC中，PO＝eq\r(PC2－OC2)＝eq\r(2).四经典大题强化篇1．证明：（1）取BE的中点N，连接MN，FN，因为F，M，N分别为AB，CD，BE的中点，所以MN∥DE，FN∥AE.又因为AE，DE⊂平面ADE，FN，MN⊄平面ADE，所以MN∥平面ADE，FN∥平面ADE.又MN∩FN＝N，所以平面ADE∥平面FMN.又FM⊂平面FMN，所以FM∥平面ADE.（2）因为四边形DCBE为矩形，所以BC⊥DC.又AC⊥BC，AC∩DC＝C，所以BC⊥平面A