高一数学课堂抄重点讲义(人教A版2019必修第二册)7.1复数的概念(讲义+例题+小练)(原卷版+解析)

7.1复数的概念（讲义+例题+小练）数系的扩充和复数的概念1.复数的定义：设为方程的根，称为虚数单位，形如的数，称为复数.所有复数构成的集合称复数集,通常用来表示.a为实部，b为虚部2．复数集例1（1）．（2021·浙江·绍兴市柯桥区教师发展中心模拟预测）已知，若复数（是虚数单位）是纯虚数，则（

）A．0 B．1 C． D．2举一反三（1）．（2021·广东佛山·模拟预测）在复数范围内方程的解为（

）A． B． C． D．（2）．（2021·全国·模拟预测（文））设复数，则复数的虚部为（

）A．0 B．1 C． D．-1（3）．（2021·福建泉州·一模）已知i是虚数单位，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件二．复数的几何意义1.复平面在直角坐标系里，点z的横坐标是，纵坐标是，复数可用点来表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴为实轴，y轴出去原点的部分称为虚轴．2.复数的坐标表示点3.复数的向量表示向量．4.复数的模在复平面内，复数对应点，点Z到原点的距离叫做复数z的模，记作．由定义知，．复数复数复平面内的点Z（a,b）平面向量例2（1）．（2021·四川自贡·一模（理））复数（，为虚数单位），在复平面内所对应的点在上，则（

）A． B． C． D．（2）．（2021·浙江·模拟预测）复数i(其中i为虚数单位)在复平面内对应的点在直线上，则=（

）A．1 B．C．1或 D．0（3）．（2021·全国·模拟预测）已知是虚数单位，复数的共轭复数在复平面中对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限（4）．（2021·陕西·宝鸡市陈仓区教育体育局教学研究室一模（文））复数z＝3+4i对应的点Z关于原点的对称点为Z1，则对应的向量为（

）A．﹣3﹣4i B．4+3i C．﹣4﹣3i D．﹣3+4i举一反三．（山东省大教育联盟学校2021-2022学年高三下学期收心考试（开学考试）数学试题）已知，若在复平面内复数与对应的两点之间的距离为4，则（

）．A．4 B．5 C．6 D．81（2）．（2022·河南濮阳·高三开学考试（理））已知复数z满足，则（

）A．1 B． C． D．5（3）．（2022·上海市崇明区横沙中学高一期末）若复数在复平面上对应的点在第四象限，则的取值范围是__．(4)．（2022·湖南·高一课时练习）把复数在复平面内对应的点向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到点，把所得向量绕点按逆时针方向旋转90°，得到向量，则点对应的复数为____________．(5)．（2022·江西上饶·高二期末（文））已知复数，其中i是虚数单位，m为实数．(1)当复数z为纯虚数时，求m的值；(2)当复数在复平面内对应的点位于第三象限时，求m的取值范围．三．两个复数相等的定义：且（其中）特别地，.例3（2022·浙江·模拟预测）设（i为虚数单位），则a＝（

）A．－1 B．0 C．1 D．1或－1举一反三(1)．（2021江苏无锡·模拟预测）已知，且，则的值分别为（）A． B． C． D．（2）（2021·河南·模拟预测（文））已知、，，则（

）A． B． C． D．四．共轭复数若两个复数的实部相等，而虚部是互为相反数时，这两个复数叫互为共轭复数；特别地，虚部不为的两个共轭复数也叫做共轭虚数；【注：两个共轭复数之差是纯虚数.（×）[之差可能为零，此时两个复数是相等的]】若z=a+bi，则的共轭复数记作；例4.（2019·全国·高考真题（理））设z=-3+2i，则在复平面内对应的点位于A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限举一反三(1)．（2021·浙江·模拟预测）复数（为虚数单位）的共轭复数在复平面中对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限(2)．（2021·黑龙江·哈九中模拟预测（理））满足条件的复数的共轭复数在复平面上对应的点所在象限是（

）A．一 B．二 C．三 D．四巩固提升一、单选题1．（2022·湖南·高一课时练习）下列命题正确的是（

）A．实数集与复数集的交集是空集B．任何两个复数都不能比较大小C．任何复数的平方均非负D．虚数集与实数集的并集为复数集2．（2022·浙江省龙游中学高二期末）已知是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．（2022·山西·临汾第一中学校高二期末）设，则“”是“复数为纯虚数”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4．（2021·北京·高二学业考试）若复数，则（

）A．3 B．4 C．5 D．75．（2021·广东·深圳市龙岗区德琳学校高一阶段练习）已知x，y∈R，i为虚数单位，若（x-1）+（y+1）i=2+i，则x，y的值为（

）A．3，0 B．2，1 C．1，2 D．1，-16．（2021·湖南·高二期中）已知复平面内向量（O为坐标原点）的坐标为（-2，1），则向量对应的复数为（

）A． B． C． D．二、多选题7．（2021·辽宁·建平县实验中学高二期中）已知复数（其中i是虚数单位），则下列命题中正确的为（

）A． B．z的虚部是4C．是纯虚数 D．z在复平面上对应点在第四象限8．（2021·山东莱西·高一期末）设复数，为虚数单位，，则下列结论正确的为（

）A．当时，则复数在复平面上对应的点位于第四象限B．若复数在复平面上对应的点位于直线上，则C．若复数是纯虚数，则D．在复平面上，复数对应的点为，为原点，若，则三、填空题9．（2021·湖北·高一期末）已知，复平面内表示复数的点在虚轴上，则m=_____________．10．（2021·山东乳山·高二期中）已知复数（为虚数单位）为纯虚数，则实数_______．四、解答题11．（2021·全国·高一课时练习）已知复数和．(1)在复平面内作出与这两个复数对应的向量和；(2)写出向量和表示的复数．12．（2019·贵州·沿河民族中学高二开学考试（理））已知复数（i是虚数单位）(1)复数z是实数，求实数m的值；(2)复数z是虚数，求实数m的取值范围；(3)复数z是纯虚数，求实数m的值.7.1复数的概念（讲义+例题+小练）数系的扩充和复数的概念1.复数的定义：设为方程的根，称为虚数单位，形如的数，称为复数.所有复数构成的集合称复数集,通常用来表示.a为实部，b为虚部2．复数集例1（1）．（2021·浙江·绍兴市柯桥区教师发展中心模拟预测）已知，若复数（是虚数单位）是纯虚数，则（

）A．0 B．1 C． D．2【答案】C【解析】【分析】根据实部为零，虚部不为零得到方程（不等式）组，解得即可；【详解】解：是纯虚数，则，解得，故选：C.（2）．（2021·全国·模拟预测）设i是虚数单位，则下列是虚数的是（

）A．f B．g C．h D．i【答案】D【解析】【分析】由复数的定义可得答案.【详解】由复数的定义可得答案，故选：D.举一反三（1）．（2021·广东佛山·模拟预测）在复数范围内方程的解为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】方程，即，开方即可求解．【详解】解：方程，即，开方得，故选：C．（2）．（2021·全国·模拟预测（文））设复数，则复数的虚部为（

）A．0 B．1 C． D．-1【答案】B【解析】【分析】根据复数概念求解.【详解】因为复数所以虚部为1，故选：B（3）．（2021·福建泉州·一模）已知i是虚数单位，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据复数定义，求得命题逻辑关系.【详解】i是虚数单位，则，“”是“”的充分条件；由，得，故“”是“”的不必要条件；故“”是“”的充分不必要条件，故选：A二．复数的几何意义1.复平面在直角坐标系里，点z的横坐标是，纵坐标是，复数可用点来表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴为实轴，y轴出去原点的部分称为虚轴．2.复数的坐标表示点3.复数的向量表示向量．4.复数的模在复平面内，复数对应点，点Z到原点的距离叫做复数z的模，记作．由定义知，．复数复数复平面内的点Z（a,b）平面向量例2（1）．（2021·四川自贡·一模（理））复数（，为虚数单位），在复平面内所对应的点在上，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】求出复数在复平面内所对应的点的坐标，代入，求得，再根据复数的模的公式即可得解.【详解】解：复数在复平面内所对应的点的坐标为，因为点在上，所以，解得，所以，所以.故选：B.（2）．（2021·浙江·模拟预测）复数i(其中i为虚数单位)在复平面内对应的点在直线上，则=（

）A．1 B．C．1或 D．0【答案】A【解析】【分析】先求出复数在得平面内对应的点，再将点的坐标代入中可求出答案【详解】复数在复平面内对应的点为，因为复数i(其中i为虚数单位)在复平面内对应的点在直线上，所以，故选：A.（3）．（2021·全国·模拟预测）已知是虚数单位，复数的共轭复数在复平面中对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【解析】【分析】化简复数，求出共轭复数，即可得到答案；【详解】，，对应的点位于第一象限，故选：A（4）．（2021·陕西·宝鸡市陈仓区教育体育局教学研究室一模（文））复数z＝3+4i对应的点Z关于原点的对称点为Z1，则对应的向量为（

）A．﹣3﹣4i B．4+3i C．﹣4﹣3i D．﹣3+4i【答案】A【解析】【分析】根据复数的代数形式，写出复数对应的点的坐标，写出这个点关于原点对应的点的坐标，把点的坐标形式写成复数的代数形式，得到结果．【详解】解：∵复数z＝3+4i对应的点Z（3，4）∴Z关于原点的对称点为Z1（﹣3，﹣4）对应的向量＝﹣3﹣4i故选：A．举一反三．（山东省大教育联盟学校2021-2022学年高三下学期收心考试（开学考试）数学试题）已知，若在复平面内复数与对应的两点之间的距离为4，则（

）．A．4 B．5 C．6 D．8【答案】B【解析】【分析】根据题意求得，结合，列出方程，即可求解.【详解】由题意，复数与，可得，即，解得.故选：B.1（2）．（2022·河南濮阳·高三开学考试（理））已知复数z满足，则（

）A．1 B． C． D．5【答案】B【解析】【分析】将等式两边同时取模可求解.【详解】将等式两边同时取模，有，即，所以.故选：B（3）．（2022·上海市崇明区横沙中学高一期末）若复数在复平面上对应的点在第四象限，则的取值范围是__．【答案】【解析】【分析】根据复数的代数形式及对应点在第四象限有，即可得m的范围.【详解】由题设，，可得.故答案为：.(4)．（2022·湖南·高一课时练习）把复数在复平面内对应的点向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到点，把所得向量绕点按逆时针方向旋转90°，得到向量，则点对应的复数为____________．【答案】【解析】【分析】根据条件先得出点的坐标，然后得出点的坐标即可.【详解】复数在复平面内对应的点为，将其向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到点，所以所以，即点对应的复数为故答案为：(5)．（2022·江西上饶·高二期末（文））已知复数，其中i是虚数单位，m为实数．(1)当复数z为纯虚数时，求m的值；(2)当复数在复平面内对应的点位于第三象限时，求m的取值范围．【答案】(1)4(2)【解析】【分析】（1）根据纯虚数，实部为零，虚部不为零列式即可；（2）根据第三象限，实部小于零，虚部小于零，列式即可.(1)因为为纯虚数,所以解得或，且且综上可得,当为纯虚数时;(2)因为在复平面内对应的点位于第三象限,解得或，且即,故的取值范围为.三．两个复数相等的定义：且（其中）特别地，.例3（2022·浙江·模拟预测）设（i为虚数单位），则a＝（

）A．－1 B．0 C．1 D．1或－1【答案】C【解析】【分析】根据复数相等，即可求得a的值.【详解】因为，所以有，即，故选：C.举一反三(1)．（2021江苏无锡·模拟预测）已知，且，则的值分别为（）A． B． C． D．9．C【分析】由复数相等可求出的值.【详解】解：由题意知，，解得，故选:C.【点睛】本题考查了由复数相等求参数的值，属于基础题.（2）（2021·河南·模拟预测（文））已知、，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】利用复数相等可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得解.【详解】因为，所以，解得，故.故选：A.四．共轭复数若两个复数的实部相等，而虚部是互为相反数时，这两个复数叫互为共轭复数；特别地，虚部不为的两个共轭复数也叫做共轭虚数；【注：两个共轭复数之差是纯虚数.（×）[之差可能为零，此时两个复数是相等的]】若z=a+bi，则的共轭复数记作；例4.（2019·全国·高考真题（理））设z=-3+2i，则在复平面内对应的点位于A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】C【解析】【分析】先求出共轭复数再判断结果.【详解】由得则对应点（-3，-2）位于第三象限．故选C．【点睛】本题考点为共轭复数，为基础题目．举一反三(1)．（2021·浙江·模拟预测）复数（为虚数单位）的共轭复数在复平面中对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】【分析】求出复数的共轭复数，进而得出对应的点位于的象限.【详解】复数的共轭复数为，其在复平面中对应的点的坐标为，位于第四象限故选：D(2)．（2021·黑龙江·哈九中模拟预测（理））满足条件的复数的共轭复数在复平面上对应的点所在象限是（

）A．一 B．二 C．三 D．四【答案】D【解析】【分析】根据复数模的运算法则求出，再求其共轭复数为，在根据复数的几何意义知其对应的点为，显然在第四象限.【详解】，的复数的共轭复数在复平面上对应的点所在象限是第四象限.故选：D巩固提升一、单选题1．（2022·湖南·高一课时练习）下列命题正确的是（

）A．实数集与复数集的交集是空集B．任何两个复数都不能比较大小C．任何复数的平方均非负D．虚数集与实数集的并集为复数集【答案】D【解析】【分析】利用复数的基本概念与性质，结合反例判断选项的正误即可．【详解】解：实数集与复数集的交集是实数集，所以A不正确；任何两个复数都不能比较大小，不正确，当两个复数是实数时，可以比较大小，所以B不正确；任何复数的平方均非负，反例，所以C不正确；虚数集与实数集的并集为复数集，所以D正确故选：D．2．（2022·浙江省龙游中学高二期末）已知是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】【分析】根据复数的几何意义即可确定复数所在象限【详解】复数在复平面内对应的点为则复数在复平面内对应的点位于第四象限故选：D3．（2022·山西·临汾第一中学校高二期末）设，则“”是“复数为纯虚数”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】求出为纯虚数时的值，再利用充分条件、必要条件的定义判断.【详解】复数为纯虚数，则，解得：，所以“”是“复数为纯虚数”的充分而不必要条件.故选：A.4．（2021·北京·高二学业考试）若复数，则（

）A．3 B．4 C．5 D．7【答案】C【解析】【分析】直接根据复数的模的计算公式计算即可的出答案.【详解】因为，所以.故选：C.5．（2021·广东·深圳市龙岗区德琳学校高一阶段练习）已知x，y∈R，i为虚数单位，若（x-1）+（y+1）i=2+i，则x，y的值为（

）A．3，0 B．2，1 C．1，2 D．1，-1【答案】A【解析】【分析】根据复数相等的定义即可求解.【详解】解：因为（x-1）+（y+1）i=2+i，所以，解得，故选：A.6．（2021·湖南·高二期中）已知复平面内向量（O为坐标原点）的坐标为（-2，1），则向量对应的复数为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】复数对应的点为（-2，1），即得解.【详解】解：复数对应的点为（-2，1），又向量（O为坐标原点）的坐标为（-2，1），故选：.二、多选题7．（2021·辽宁·建平县实验中学高二期中）已知复数（其中i是虚数单位），则下列命题中正确的为（

）A． B．z的虚部是4C．是纯虚数 D．z在复平面上对应点在第四象限【答案】AD【解析】【分析】根据复数模的定义、复数虚部的定义，结合纯虚数的定义、复数在复平面对应点的特征逐一判断即可.【详解】复数，则，故A正确；的虚部是，故B错误；，是实数，故C错误；z在复平面上对应点的坐标为，在第四象限，故D正确.故选：AD8．（2021·山东莱西·高一期末）设复数，为虚数单位，，则下列结论正确的为（

）A．当时，则复数在复平面上对应的点位于第四象限B．若复数在复平面上对应的点位于直线上，则C．若复数是纯虚数