高中数学讲义：函数的单调性与最值

高中数学讲义：函数的单调性与最值

最新课程标准学科核心素养

1理.解函数单调性的定义及相关概念，理解

1借.助函数图象，会用符函数最大（小）值的定义.（数学抽象）

号语言表达函数的单调性.2.能用单调性的定义证明函数的单调性.（逻

2.理解单调性的作用和实辑推理）

际意义.3.会利用函数的单调性求函数的最大（小）

值.（数学运算）

目录

1.预习........................................................................1

1.1.教材要点.................................................................1

1.1.1.要点一函数最大（小）值..............................................1

1.1.2.要点二增函数与减函数的定义......................................2

1.2.基础自测.................................................................2

2.课堂讲解.....................................................................3

2.1.题型1利用图象求函数的单调区间........................................3

2.2.方法归纳.................................................................4

2.3.题型2函数的单调性判断与证明..........................................5

2.4.方法归纳.................................................................5

2.5.题型3函数单调性的应用................................................6

2.6.方法归纳.................................................................7

2.7.角度4求函数的最值...................................................7

2.8.方法归纳...............................................................8

3.易错辨析忽视函数的定义...................................................9

4.函数的单调性与最值答案....................................................11

1.习

1.1.教材要点

1.1.1.要点一函数最大（小）值

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设D是函数f(x)的定义域，I是D的一个非空的子集.

⑴如果有a€D,使得不等式f(x)vf(a)对一切x€D成立，就说f(x)在x=a

处取到最大值M=f(a),称M为f(x)的最大值，a为f(x)的最大值点；

(2)如果有aeD,使得不等式f(x)4(a)对一切XCD成立，就说f(x)在x=a

处取到最小值M=f(a),称M为f(x)的最小值，a为f(x)的最小值点.

状元随笔最大(小)值必须是一个函数值，是值域中的一个元素，如函数y

=-x2(xCR)的最大值是0,有f(0)=0.

1.1.2.要点二增函数与减函数的定义

|增函数卜~~-I减函数|

状元随笔定义中的xl,x2有以下3个特征

(1)任意性，即"任意取xl,x2"中“任意"二字绝不能去掉，证明时不能以特

殊代替一般；

(2)有大小,通常规定xlVx2；

(3)属于同一个单调区间.

要点三单调性与单调区间

如果函数y=f(x)在区间I上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这

一区间上具有(严格的)，区间I叫作y=f(x)的.

状元随笔一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“U"连接,

而应该用"和"连接.如函数y=:在(-8,0)和(0,+8)上单调递减，却不能表

述为：函数y=:在(一8,0)u(0,+8)上单调递减.

1.2.基础自测

1.思考辨析(正确的画错误的画"X")

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(1)函数f(X)41恒成立，则f(X)的最大值是1.(］

(2)函数y=f(x)在［1,+8)上是增函数，则函数的单调递增区间是［1,+

8).()

(3)函数y=：的单调递减区间是(一8,0)U(0,+°°).()

(4)如果函数y=f(x)在区间［a,b］上单调递减，在区间［b,c］上单调递增,

则函数y=f(x)在区间［a,c］上在x=b处有最小值f(b).()

2.函数y=-2x2+3x的单调递减区间是()

A.［0,+8)B.(—8,0)

C.(-8,|］D,［|,+8)

3.(多选)如果函数f(x)在［a,b］上是增函数，对于任意xl,x2e［a,b］(xlHx2),

则下列结论中正确的是()

A..)二f3>0

Xl-X2

B.(xl-x2)［f(xl)-f(x2)］>0

C.f(a)<f(xl)<f(x2)<f(b］

D.f(xl)>f(x2)

4.函数f(x)在［-2,2］上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分

别是.

2.课堂讲解

2.1.题型1利用图象求函数的单调区间

例1已知函数f(x)=x2—4|x|+3,xeR.

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(1)将函数写成分段函数的形式;

(2)画出函数的图象；

(3)根据图象写出它的单调区间.

2.2.方法归纳

(1)求函数单调区间时，若所给函数是常见的一次函数、二次函数、反比例

函数等，可根据其单调性写出函数的单调区间，若函数不是上述函数且函数图

象容易作出，可作出其图象，根据图象写出其单调区间.

(2)一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用"U"连接两个单调区

间，而要用“和”或“，”连接.

跟踪训练1(1)已知函数y=f(x)的图象如图所示，则该函数的减区间为

()

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A.[-3,1)U(1,4)

B.(—5,3)U(-1,1)

C.(—3,—1)，(1，4)

D.(15,—3),(—1,1)

(2)函数y=—x2+2|x|+3的单调递增区间是,递减区间是

2.3.题型2函数的单调性判断与证明

例2用定义证明函数f(x)=x+：(k>0)在(0,+8)上的单调性.

2.4.方法归纳

利用定义证明函数单调性的步骤

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注：作差变形是解题关键.

跟踪训练2已知函数1^)=品，判断并用定义证明f(x)在(0,+8)上的

单调性.

2.5.题型3函数单调性的应用

角度1比较大小

例3已知函数y=f(x)在[0,+8)上是减函数，则()

A.f(|)>f(a2-a+l]B.fQ)<f(a2-a+l]

C.fQ)>f(a2-a+l]D.fg)<f(a2-a+l)

状元随笔利用单调性比较函数值或自变量的大小时，要注意将对应的自

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变量转化到同一个单调区间上.

角度2解不等式

例4f(x)是定义在(一2,2)上的减函数，若——则实数

m的取值范围是(]

3

A.m>0B.0<m<-

2

12

C.-l<m<3D.--<m<-

22

状元随笔利用单调性解不等式，就是根据单调性去掉函数的对应法则，

构造不等式(不等式组)求解，注意函数的定义域，所有自变量都必须在函数的定

义域内.

角度3利用函数的单调性求参数的取值范围

例5若f(x)=-x2+4mx与g(x)=M■在区间[2,4]上都是减函数，则m

的取值范围是()

A.(-00,0JU(0,1]B.(-1,0)U(0,1]

C.(0,+oo)D.(0,1]

2.6.方法归纳

"函数的单调区间为I"与"函数在区间I上单调”的区别

单调区间是一个整体概念，说函数的单调递减区间是1,指的是函数递减的

最大范围为区间I,而函数在某一区间上单调，则指此区间是相应单调区间的子

区间.所以我们在解决函数的单调性问题时，一定要仔细读题，明确条件含义.

2.7.角度4求函数的最值

例6已知函数1^)=告俳日2,6]),求函数的最大值和最小值.

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2.8.方法归纳

1.利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤

(1)判断函数的单调性.

(2)利用单调性求出最大(小)值.

2.函数的最大(小)值与单调性的关系

(1)若函数f(x)在区间［a,b］上是增(减)函数，则f(x)在区间［a,b］上的最小(大)

值是f(a),最大(小)值是f(b).

(2)若函数f(x)在区间［a,b］上是增。或)函数，在区间［b,c］上是减(增)函数，

则f(x)在区间［a,c］上的最大(小)值是f(b),最小(大)值是f(a)与f©中较小(大)

的一个.

跟踪训练3(1)已知函数f(x)=x2+bx+c图象的对称轴为直线x=2,则

下列关系式正确的是(］

A.f(-l)<f(l)<f(2)B.f(l)<f(2)<f(-l)

C.f(2)<f(l)<f(-l)D.f(l)<f(-l)<f(2)

(2)函数y=f(x)在R上为增函数，且f(2m)>f(—m+9),则实数m的取值

范围是()

A.(—8,—3)B.［0,+oo)

C.［3,+oo)D.(-00,-3)U(3,+8)

(3)已知函数［刈=|2*—2］的单调递增区间是［3,+8),则2的值为.

(4)已知函数f(x)=总，求函数f(x)在［1,5］上的最值.

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3.易错辨析忽视函数的定义

-x2—ax-5(x<1),

例7已知函数f(x)=是R上的增函数，则a的取

21)，

值范围是()

A.—3<a<0B.a<—2

C.a<0D.—3<a<-2

—x2—ax—5(x<1),

解析:函数f(x)=是R上的增函数，则f(x)=-x2

21)，

—ax—5(x41)单调递增，故它的对称轴一台1,即av—2,此时也

单调递增，所以aVO,要保证在R上是增函数.还需在x=l处满足一12—axl

—5<p即az—3.综上所述，-3wa4-2.

答案：D

易错警示

易错原因纠错心得

只考虑f(x)=—x2—ax—5(xwl)单

调递增与f(x)=：(x>l)单调递增，即分段函数如果都能单调递增还需保

证断点左侧的值小于或等于右侧的值.

产1

[a<0本题中:-12-axl-5<p

・•.aw—2,忽视增函数的定义出错.

课堂十分钟

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1.(多选)如图所示的是定义在区间［-5,5］上的函数y=f(x)的图象，则下

列关于函数f(x)的说法正确的是()

A.函数在区间［-5,—3］上单调递增

B.函数在区间［1,4］上单调递增

C.函数在区间［-3,1］U［4,5］上单调递减

D.函数在区间［—5,5］上没有单调性

2.函数y=W的单调减区间是()

A.(—co,1),(1,+oo)B.(—co,l)U(1,+oo)

C{xeR|x^l}D.R

3.函数丫=看在［2,3］上的最小值为()

1

A.1B.-

3

C.-D.-

32

4.设关于x的函数y=(k—2)x+l是R上的增函数，则实数k的取值范围

是.

5.已知f(x)是定义在［-1,1］上的增函数，且x),求x的取

值范围.

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4.函数的单调性与最值答案

新知初探•课前预习

要点二

f(xl)<f(x2)f(xl)>f(x2)增函数减函数

要点三

单调性单调区间

［基础自测］

1.答案：(l)x(2)X(3)x(4)V

2.解析：借助图象得y=-2x2+3x的单调减区间是E，+oo).

答案：D

3.解析：由函数单调性的定义可知，若函数y=f(x)在给定的区间上是增函

数，则xl—x2与—f(x2)同号，由此可知，选项A,B正确；对于C,D,

因为xl,x2的大小关系无法判断，则f(xl)与f(x2)的大小关系也无法判断，故

C、D不正确.故选AB.

答案：AB

4.解析：由图象知点(1,2)是最高点，点(一2,—1)是最低点，

•,.ymax=2,ymin=—1.

答案：一1，2

题型探究•课堂解透

例1解析：(l)f(x)=x2-4|x|+3=fX-4X+3,X-0,

Ix2+4x+3,x<0.

(2)如图.

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^/1()\

I__-jl

(3)由图象可知单调递增区间为[-2,0),[2,+8),单调递减区间为(一8,

-2),[0,2).

跟踪训练1解析：(1)在某个区间上，若函数y=f(x)的图象是上升的，则

该区间为增区间，若是下降的，则该区间为减区间，故该函数的减区间为(一3,

T),[1,4).

+2x+3,x>0,

(2)y=—x2+2|x|+3=

!—2x+3,x<0.

画出函数图象如图，由图可知函数y=—x2+2|x|+3的单调递增区间是:

(—8,—1],(0,1].递减区间是：[—1,0],[1,+oo).

答案：(1)C(2)(—8,—1],[0,1][-1,0],[1,+8)

例2证明：设xl,x2e(0,+oo),且xl<x2,

则f(xl)-f(x2)=(x1+§-&+§=(xl-x2)+/g)=(xl-x2)+

因为0vxlvx2,所以xl—x2<0,xlx2>0.

当xl,x2e(0,时,xlx2-k<0=>f(xl)-f(x2)>0,此时函数f(x)为减函

当xl,x2e(Vk-+8)时，xlx2—k>0=>f(xl)—f(x2)<0,此时函数f(x)为增

函数.

综上，函数f(x)=x+：(k>0)在区间(0,上为减函数，在区间(正，+oo)

上为增函数.

跟踪训练2解析：f(x)在(0,2)上单调递增，在(2,+8)上单调递减.

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证明如下：Vxl,x2£(0,+00),且xlvx2,

，

eIIX1JRX/J―布而区+4)(X.+4)(x2+4)(xi+4)

因为0vxlvx2,所以X2—Xi>0,(x：+4)(x；+4)>0.

当x>2时，X1X2—4>0,(富端含,>0,f(xl)_f(x2)>0,即f(xl)>f(x2),

此时f(x)单调递减.

当0<x<2时，XjX-4<0,牛割臀U<°，f(xl)-f(x2)<0,即

1/2(x?+4)(x|+4)1，1J

f(xl)<f(x2),此时f(x)单调递增.

所以，f(x)在(0,2)上单调递增，在(2,+8)上单调递减.

例3解析：ra2—a+l=(a-J+12|.又：函数y=f(x)在［0,+8)是减

函数，“92—a+l)wf(J).故选C.

答案：C

—2<m—1<2,

例4解析：由题意知,一2<2m—1<2,解得0<m<*

、m—1V2m-1,

故选B.

答案：B

例5解析：函数f(x)=-x2+4mx的图象开口向下，且以直线x=2m为

对称轴，若在区间［2,4］上是减函数，则2mw2,解得mvl,g(x)=答的图象由

y=智的图象向左平移一个单位长度得到的，若在区间［2,4］上是减函数，则

2m>0,解得m>0,综上可得m的取值范围是(0,1］.故选D.

答案：D

例6解析：Vxl,x2G［2,6］,且xl<x2,则

f(xl)-f(x2)=-------J=半2二呼金胃=7邈%*

IJI'Xj-lX2-l(X1-l)(x2-l)(Xi-l)(X2-l)

由2<xl<x2<6,得x2—xl>0,(xl—1)(x2—1)>0,

于是f(xl)—f(x2)>0,

即f(xl)>f(x2).

所以，函数1^)=三在区间［2,6］上单调递减.

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因此，函数f(x)=*在区间［2,6］的两个端点处分别取得最大值与最小值.在

x=2时取得最大值，最大值是2；在x=6时取得最小值，最小值是0.4.

跟踪训练3解析：(1)因为该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x

=2,所以f(x)在(-8,2］上单调递减，因为—所以f(2)vf⑴vf(—1).故

选C.

(2)因为函数y=f(x)在R上为增函数，且f(2m)>f(—m+9),所以2m>—m

+9,即m>3,故选C.