北师大版（2019）高一数学必修第一册1.4小结4-一元二次函数与一元二次不等式 讲义（知识点+基础巩固检测）【新教材】

1.4小结4--一元二次函数与一元二次不等式知识点与基础巩固检测题解不等式1、一元二次不等式的解法一元二次不等式的解集：设相应的一元二次方程的两根为，，则不等式的解的各种情况如下表：二次函数（）的图象一元二次方程有两相异实根有两相等实根无实根R2、简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；（3）根据曲线显现的符号变化规律，写出不等式的解集。3、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。4、不等式的恒成立问题：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上基础巩固检测题一、单选题1．不等式的解集是（）A． B．或C． D．或2．不等式的解集为（）A． B． C． D．3．函数f(x)＝x2－4x＋1在[1，5]上的最大值和最小值分别是（）A．f（1），f（2） B．f（2），f（5）C．f（1），f（5） D．f（5），f（2）4．函数在区间(2，4)上（）A．单调递增 B．单调递减C．先减后增 D．先增后减5．下列函数图象中，顶点不在坐标轴上的是（）A．y＝2x2 B．y＝2x2－4x＋2 C．y＝2x2－1 D．y＝2x2－4x6．函数在区间（1，2）内的函数值为（）A．大于等于0 B．等于0 C．大于0 D．小于07．函数的单调递减区间是（）A． B．C． D．8．已知函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则（）A．16 B． C．8 D．9．在上的定义运算，则满足的解集为（）A． B． C． D．10．若的解集是，则（）．A．B．C．D．11．已知二次函数的图象开口向下，且过点A(1，1)，B(3，1)，C，D，E，则，，的大小关系是（）A．<< B．<<C．<< D．<<12．若相异两实数x，y满足，则之值为（）A．3 B．4 C．5 D．6二、填空题13．若关于的不等式的解集为，则实数________．14．若关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围为__________．15．函数的图象总在轴上方，则的取值范围是________16．若关于的不等式的解集为，不等式的解集是，且中，，则不等式的解集为____________.三、解答题17．（1）解不等式.（2）若不等式的解集为，求实数，的值；18．已知函数.（1）当，时，求函数的值域.（2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围.19．已知.（1）当时，求关于的不等式大于0的解集；（2）若不等式的解集为，求实数，的值.20．已知函数（1）若，求a的值；（2）当时，的解集为M，求M21．已知不等式的解集为.（1）求实数，的值；（2）解关于的不等式：（为常数，且）.22．已知关于x的不等式．（1）当时，解关于x的不等式；（2）当时，不等式恒成立，求x的取值范围．参考答案1．A【分析】利用“三个二次”的关系解二次不等式.【详解】解不等式得.故选：A.【点睛】方法点睛：二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．2．D【分析】将分式不等式等价转化为二次不等式即可求解.【详解】原不等式可化为，解得．故选：D．3．D【分析】利用导数求函数的最值即可.【详解】f′(x)＝2x－4＝0，解得x＝2，当x<2时，f′(x)<0；当x>2时，f′(x)>0，∴x＝2是极小值点，f（2）＝－3．又f（1）＝－2，f(5)＝6，∴最大值是f(5)，最小值是f（2）．故选：D4．C【分析】根据二次函数的单调性可得结果.【详解】函数图象的对称轴为直线x=3，此函数在区间(2，3)上单调递减，在区间(3，4)上单调递增.故选：C5．D【分析】分别求二次函数的顶点，判断选项.【详解】A.的顶点是，B.的顶点是，C.的顶点是，D.的顶点是，综上可知，顶点不在坐标轴上的是D.故选：D6．D【分析】将因式分解，根据x的范围，可得的正负，即可得答案.【详解】由已知得f（x）＝x2﹣3x+2＝（x﹣1）（x﹣2），因为1＜x＜2，所以x﹣1＞0，x﹣2＜0，所以f（x）＜0，即f（x）＝x2﹣3x+2在区间（1，2）内的函数值小于0；故选：D．7．C【分析】根据二次函数的开口和对称轴可得结果.【详解】∵，∴其对称轴为直线，图象开口向上，∴函数的单调递减区间是，故选：C.8．B【分析】由二次函数的对称轴是可得．【详解】由题意，．故选：B．9．B【分析】根据运算的定义可得关于的不等式，从而可求不等式的解集.【详解】即为，整理得到，故，故选：B．10．D【分析】由题得方程的根为和，利用韦达定理可得答案．【详解】由的解集是，得方程的根为和，则，得．故选：D．11．A【分析】先求出抛物线的对称轴方程为，再根据二次函数的图象和性质分析得解.【详解】因为抛物线经过A(1，1)，B(3，1)，所以抛物线的对称轴方程为，因为二次函数的图象开口向下，，所以<<.故选：A【点睛】方法点睛：对于二次函数的有关问题，一般通过数形结合分析解答.二次函数是初中，也是高中一种很重要的函数.要理解熟练掌握它的图象和性质.12．D【分析】根据已知条件求得，由此求得所求表达式的值.【详解】两式作差消元得：，反代回去得：，同理可得：，由同构及韦达定理有：继而有：.故选：D13．【分析】由二次不等式的解集可得相应一元二次方程的根，利用根与系数的关系求解即可.【详解】因为不等式的解集是，所以方程的根为，所以，解得：，.故答案为：.14．【分析】将关于x的不等式恒成立转化为，解不等式即可得出结果.【详解】由题意有，可得．故答案为：.15．【分析】由二次函数的图像和性质列不等式求解即可.【详解】解：因为函数的图像总在轴上方，，解得.故答案为：.【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，是基础题.16．【分析】不等式的解集是，不等式的解集为R，原不等式等价于与同号，从而等价于的解集.【详解】由题意知：不等式的解集是，所以不等式的解集是，不等式的解集是，不等式的解集为R，所以等价于与同号，所以其等价于，故不等式的解集为.故答案为：.17．（1）不等式的解集为或;（2）,.【分析】（1）根据一元二次不等式的解法即可求出；（2）根据函数与方程的思想即可求出.【详解】（1）即为,而的两根为,所以不等式的解集为或.（2）由题意可知的两根为,所以,,解得,.18．（1）；（2）.【分析】（1）根据对称轴的位置可求函数的值域.（2）根据函数的单调性可得对称轴的位置，从而可求实数的取值范围.【详解】（1）当时，，对称轴为直线，而，故，故函数的值域为.（2）因为函数在上单调递增，故，故.19．（1）；（2）.【分析】（1）当时，得，解此不等式即可；（2）由题意可知是方程的两根，再利用根与系数的关系可得，从而可求出，的值.【详解】（1）当时，.∴不等式为，解得，∴所求不等式的解集为.（2）∵，∴，∴是方程的两根，∴，解得20．(1)或;(2)且.【分析】(1)代入解方程即可求得结果；（2）化简为，即可求得结果.【详解】（1），则，即解得：或.（2）当时，，所以，解得：且所以解集且.【点睛】本题考查一元二次方程的解法，考查分式不等式的解法，属于基础题.21．（1），；（2）当时解集为或；当时解集为或.【分析】（1）不等式的解集为，即得解；（2）不等式为，再对分类讨论得解.【详解】（1）不等式的解集为，因为不等式的解集为，所以，.（2）由（1）可知：不等式为，为常数，且，当时解集为或；当时解集为或.【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.22．（1）答案见解析；（2）．【分析】（1）不等式可化为，然后分，，，，五种情况求解不等式；（2）不等式对恒成立，把看成自变量，构造函数，则可得，解不等式组可求出x的取值范围【详解】