高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）第03课时圆的方程及直线与圆的位置关系(原卷版+解析)

第3课时圆的方程及直线与圆的位置关系编写：廖云波【回归教材】1.圆的方程圆的标准方程圆的一般方程定义在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫圆，确定一个圆最基本的要素是圆心和半径方程圆心半径区别与联系（1）圆的标准方程明确地表现出圆的几何要素，即圆心坐标和半径长；（2）圆的一般方程的代数结构明显，圆心坐标和半径长需要通过代数运算才能得出；（3）二者可以互化：将圆的标准方程展开可得一般方程，将圆的一般方程配方可得标准方程注：当D2+E2－4F=0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示一个点；当D2+E2－4F＜0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0没有意义，不表示任何图形．2.点与圆的位置关系标准方程的形式一般方程的形式点（x0，y0）在圆上点（x0，y0）在圆外点（x0，y0）在圆内3.圆的三个性质①圆心在过切点且垂直于切线的直线上；②圆心在任一弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．4.判断直线与圆的位置关系常用的两种方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系．⇔相交；⇔相切；⇔相离．(2)代数法：eq\o(→,\s\up7(判别式),\s\do5(Δ＝b2－4ac))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(>0⇔；,＝0⇔；,<0⇔.))【典例讲练】题型一圆的方程【例1-1】求经过点P(5，1)，圆心为点C(8，－3)的圆的方程：【例1-2】(1)已知的三个顶点分别为，，，求其外接圆方程；(2)圆心在直线上，且与直线相切于点，求圆的方程.【例1-3】若两定点，，动点M满足，则动点M的轨迹围成区域的面积为（

）．A． B． C． D．【例1-4】已知是圆的一条直径的两个端点，证明圆的方程是．归纳总结：【练习1-1】若圆的圆心在直线上，则C的半径为______．【练习1-2】圆心在直线2x－3y－1＝0上的圆与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，则圆的方程为________．【练习1-3】公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯（）在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆.后世把这种圆称之为阿波罗尼斯圆.已知直角坐标系中，，，且满足，则点的运动轨迹方程为____________，点到直线的最小距离为__________.题型二直线与圆的位置关系【例2-1】在平面直角坐标系xOy中，直线与圆C：x2+y2-2x-2y-2＝0的位置关系_____.【例2-2】直线与圆相切，则（

）A．3 B． C．或1 D．3或【例2-3】已知直线与圆相交，则实数k的取值范围是（

）A． B．C． D．归纳总结：【练习2-1】若圆上恰有2个点到直线y=x+b的距离等于1，则b的取值范围是()A． B．C． D．【练习2-2】直线与圆的位置关系为（

）A．相切 B．相交C．相离 D．由的取值确定题型三圆的切线【例3-1】过圆上一点作圆的切线，则直线的方程为______．【例3-2】过点作圆的两条切线，切点分别为A，B，求直线的方程．【例3-3】由直线上的点向圆引切线（为切点），则线段的最小长度为________．归纳总结：【练习3-1】已知圆．求满足下列条件的切线方程．(1)过点；(2)过点．【练习3-2】已知圆：，点是直线上的动点，过作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值为（

）A． B． C． D．题型四范围问题【例4-1】设为圆上一点，则点到直线距离的取值范围是（）A． B． C． D．【例4-2】在平面直角坐标系中，已知点是圆心在原点，半径为的圆上的点，且，若点的坐标为，则的最大值为（

）A． B． C． D．归纳总结：【练习4-1】在平面直角坐标系xOy中，直线与圆C：x2+y2-2x-2y-2＝0交于A，B两点，则|AB|的最小值为________．【练习4-2】已知平面向量满足，则的最小值是（

）A． B． C． D．【请完成课时作业（五十二）

【课时作业（五十二）】A组基础题1．圆心在坐标原点，半径为2的圆的标准方程是（

）A． B．C． D．2．已知z为复数，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．3．已知双曲线的渐近线与圆相切，则a=（

）A． B． C． D．4．已知直线l过点，则直线l被圆O：截得的弦长的最小值为（

）A．3 B．6 C． D．5．己知点，直线与圆相切于点，则的值为（

）A． B． C． D．6．直线与圆相交，所得弦长为整数，这样的直线有（

）条A．10B．9C．8 D．77．若，分别为圆：与圆：上的动点，为直线上的动点，则的最小值为（

）A． B．6 C．9 D．128．已知，为圆：上两点，且，点在直线：上，则的最小值为（

）A． B．C． D．9．【多选题】在平面直角坐标系中，已知圆：，则下列说法正确的是（

）A．若，则点在圆外B．圆与轴相切C．若圆截轴所得弦长为，则D．点到圆上一点的最大距离和最小距离的乘积为10．方程表示圆，则的取值范围为______．11．已知直线与圆相交于两点，则=__________．12．从圆外一点向圆引切线，则此切线的长为______．13．已知平面上两定点A、B满足，动点P、Q分别满足，则的取值范围是___．B组能力提升1．已知向量，，共面，且均为单位向量，，则的取值范围是（

）A． B．C． D．2．已知P是直线l：x＋y－7＝0上任意一点，过点P作两条直线与圆C：相切，切点分别为A，B.则｜AB｜的最小值为（

）A． B． C． D．3．已知函数是偶函数，则f（x）的图象与y轴交点的纵坐标的最大值是（）.A．6 B．4 C．2 D．04．已知直线，若P为l上的动点，过点P作的切线，切点为A、B，当最小时，直线的方程为__________.5．平面直角坐标系中，点、、，动点在的内切圆上，则的最小值为_________.第3课时圆的方程及直线与圆的位置关系编写：廖云波【回归教材】1.圆的方程圆的标准方程圆的一般方程定义在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫圆，确定一个圆最基本的要素是圆心和半径方程圆心半径区别与联系（1）圆的标准方程明确地表现出圆的几何要素，即圆心坐标和半径长；（2）圆的一般方程的代数结构明显，圆心坐标和半径长需要通过代数运算才能得出；（3）二者可以互化：将圆的标准方程展开可得一般方程，将圆的一般方程配方可得标准方程注：当D2+E2－4F=0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示一个点；当D2+E2－4F＜0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0没有意义，不表示任何图形．2.点与圆的位置关系标准方程的形式一般方程的形式点（x0，y0）在圆上点（x0，y0）在圆外点（x0，y0）在圆内3.圆的三个性质①圆心在过切点且垂直于切线的直线上；②圆心在任一弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．4.判断直线与圆的位置关系常用的两种方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系．d<r⇔相交；d＝r⇔相切；d>r⇔相离．(2)代数法：eq\o(→,\s\up7(判别式),\s\do5(Δ＝b2－4ac))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(>0⇔相交；,＝0⇔相切；,<0⇔相离.))

【典例讲练】题型一圆的方程【例1-1】求经过点P(5，1)，圆心为点C(8，－3)的圆的方程：【答案】；【解析】两点间的距离公式可知，圆的半径长为，因此，圆的方程为.【例1-2】(1)已知的三个顶点分别为，，，求其外接圆方程；(2)圆心在直线上，且与直线相切于点，求圆的方程.【答案】(1)；(2)【解析】【分析】(1)直接利用圆的方程的一般式建立方程组，进一步确定圆的方程；(2)利用圆的标准式和二元一次方程组的解法求出圆的方程．【详解】(1)的三个顶点分别为，，，设外接圆的方程为，故解得：故圆的方程为．(2)设圆的标准方程为，则有解得，，，所求圆的方程为【例1-3】若两定点，，动点M满足，则动点M的轨迹围成区域的面积为（

）．A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根据给定条件求出动点M的轨迹方程，再确定轨迹即可计算作答.【详解】设，依题意，，化简整理得：，因此，动点M的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，所以动点M的轨迹围成区域的面积为.故选：D【例1-4】已知是圆的一条直径的两个端点，证明圆的方程是．【答案】证明见解析【解析】【分析】设圆上任意一点为，根据圆的几何性质得到，向量坐标化可得到结果.【详解】是圆的一条直径的两个端点，设圆上任意一点为，根据圆的几何性质得到代入上式并变形得到：.故题目得证.归纳总结：【练习1-1】若圆的圆心在直线上，则C的半径为______．【答案】【解析】【分析】先求得参数D，再去求C的半径即可解决.【详解】圆的圆心为则有，则，则C的半径为故答案为：【练习1-2】圆心在直线2x－3y－1＝0上的圆与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，则圆的方程为________．【答案】＝2【解析】【分析】由圆与轴的交点和的坐标，根据垂径定理得到圆心在直线上，又圆心在直线上，联立两直线方程组成方程组，求出方程组的解集得到交点坐标即为圆心坐标，由求出的圆心坐标和的坐标，利用两点间的距离公式求出圆心到的距离即为圆的半径，由圆心和半径写出圆的方程即可．【详解】解：由题意得：圆心在直线上，又圆心在直线上，令，得圆心的坐标为，又，半径，则圆的方程为．故答案为：【练习1-3】公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯（）在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆.后世把这种圆称之为阿波罗尼斯圆.已知直角坐标系中，，，且满足，则点的运动轨迹方程为____________，点到直线的最小距离为__________.【答案】【解析】（1），化简为；（2）点到直线的距离的最小值是圆心到直线的距离减半径，即.故答案为：；.题型二直线与圆的位置关系【例2-1】在平面直角坐标系xOy中，直线与圆C：x2+y2-2x-2y-2＝0的位置关系_____.【答案】相交【解析】由，得，即直线过定点，圆C：x2+y2-2x-2y-2＝0的标准方程为，圆心，半径，因为，所以在圆内，故答案为：.相交【例2-2】直线与圆相切，则（

）A．3 B． C．或1 D．3或【答案】D【解析】【分析】利用题给条件列出关于a的方程，解之即可求得a的值.【详解】圆的圆心坐标为，半径为又直线与圆相切，则，解之得或，故选：D．【例2-3】已知直线与圆相交，则实数k的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】根据直线与圆相交，则圆心到直线的距离小于半径求解即可【详解】由题意，圆心到直线的距离，即，解得故选：D归纳总结：【练习2-1】若圆上恰有2个点到直线y=x+b的距离等于1，则b的取值范围是()A． B．C． D．【答案】B【解析】依题意可得圆心到直线的距离.∵∴，解得或，故选B.【练习2-2】直线与圆的位置关系为（

）A．相切 B．相交C．相离 D．由的取值确定【答案】A【解析】【分析】利用圆心到直线的距离与半径的大小关系进行判断.【详解】因为圆心到直线的距离，即为圆的半径，所以可知直线与圆相切.故选：A．题型三圆的切线【例3-1】过圆上一点作圆的切线，则直线的方程为______．【答案】x-2y-5=0【解析】【分析】本题考查在某点切线问题，根据，可得直线的斜率，再利用点斜式求直线的方程．【详解】根据题意易知直线得斜率存在，则，即．则直线得方程为：即：x-2y-5=0．故答案为：x-2y-5=0．【例3-2】过点作圆的两条切线，切点分别为A，B，求直线的方程．【答案】【解析】【分析】求出圆心为，得到以为直径的圆的方程为.判断出直线为两圆的公共弦，两圆方程相减，消去二次项，即可求出直线的方程.【详解】圆化为标准方程为，设圆心为，半径R=5.所以连线中点坐标,而.故以为直径的圆的方程为.因为是圆的两条切线，切点分别为A，B，所以A，B为圆和的交点，所以直线为两圆的公共弦，两圆方程相减，消去二次项，可得：.所以直线的方程：.【例3-3】由直线上的点向圆引切线（为切点），则线段的最小长度为________．【答案】【解析】【分析】利用切线长定理，结合点到直线距离公式计算作答.【详解】圆的圆心，半径，点到直线的距离，于是得，当且仅当垂直于直线时取“=“，所以线段的最小长度为.故答案为：归纳总结：【练习3-1】已知圆．求满足下列条件的切线方程．(1)过点；(2)过点．【答案】(1)(2)或【解析】【分析】（1）由题知点在圆，且切线斜率存在，进而根据切线与直线垂直求得切线斜率，最后根据点斜式求解即可；（2）根据题意，分斜率不存在和存在两种情况讨论求解即可.(1)解：因为圆的圆心为，半径为，点在圆上，所以过点的切线斜率存在，且其与直线垂直，因为，所以，所求切线的斜率为，所以，所求切线方程为，即：.(2)解：因为圆的圆心为，半径为，所以，当过点的切线斜率不存在时，其方程为，满足题意；当切线斜率存在时，设斜率为，则其方程为，即，所以，圆心到切线的距离为，解得，所以，切线方程为，即：.综上，所求切线方程为或【练习3-2】已知圆：，点是直线上的动点，过作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】利用面积相等求出.设，得到.利用几何法分析出，即可求出的最小值.【详解】圆：化为标准方程：，其圆心,半径.过点P引圆C的两条切线,切点分别为点A、B,如图：在△PAC中,有，即，变形可得：.设，则.所以当的值即x最小时，的值最大，此时最小.而的最小值为点C到直线的距离，即，所以.故选：B题型四范围问题【例4-1】设为圆上一点，则点到直线距离的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】圆，圆心，半径3，圆心到直线距离，所以点到直线距离的最短为0，最长为，故选：B.【例4-2】在平面直角坐标系中，已知点是圆心在原点，半径为的圆上的点，且，若点的坐标为，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】由题可判断AC的中点为原点，从而，然后用坐标表示出所求，利用点B在圆上化简可得.【详解】因为，所以AC为单位圆的直径，O为AC的中点.设，则，所以所以因为，所以故选：B归纳总结：【练习4-1】在平面直角坐标系xOy中，直线与圆C：x2+y2-2x-2y-2＝0交于A，B两点，则|AB|的最小值为________．【答案】【解析】由，得，即直线过定点，圆C：x2+y2-2x-2y-2＝0的标准方程为，圆心，半径，因为，所以在圆内，，当时最短，是的中点，所以故答案为：.【练习4-2】已知平面向量满足，则的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】先设，由设在直线上，由得，进而得出在以为圆心，1为半径的圆上，将的最小值转化为圆上点到直线上点距离的最小值即可求解.【详解】建立平面直角坐标系，设，由，不妨设，又，不妨设在直线上，又可得，即，则，设，则，则，即，则在以为圆心，1为半径的圆上；又，则的最小值等价于的最小值，即以为圆心，1为半径的圆上一点到直线上一点距离的最小值，即圆心到直线的距离减去半径，即，则的最小值是.故选：D.【点睛】本题关键点在于建立坐标系后设，由得出在直线上，再由得在以为圆心，1为半径的圆上，进而转化为圆上点到直线上点距离的最小值求解即可.【请完成课时作业（五十二）】

【课时作业（五十二）】A组基础题1．圆心在坐标原点，半径为2的圆的标准方程是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】直接写出标准方程，即可得到答案.【详解】圆心在坐标原点，半径为2的圆的标准方程为.故选：B2．已知z为复数，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根据复数的几何意义可知复数z对应的点的轨迹是以原点O为圆心，以1为半径的圆，进而利用点与点之间的距离来求解.【详解】法一：在复平面内，复数z对应的点的轨迹是以原点O为圆心，以1为半径的圆，表示复平面内的点与点之间的距离.因为点与原点O的距离，所以的最小值是，最大值是，故的取值范围是.故选:C.法二：因为复数z满足，不妨设，,则.因为，所以，所以的取值范围是.故选:C.3．已知双曲线的渐近线与圆相切，则a=（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】先求得双曲线渐近线方程，根据直线与圆相切，可得圆心到直线的距离等于半径，列出方程，即可得答案.【详解】由题意得双曲线的渐近线方程为，根据对称性，不妨取，即，因为渐近线与圆相切，所以圆心（0,2）到直线的距离，解得，所以或（舍）.故选：B4．已知直线l过点，则直线l被圆O：截得的弦长的最小值为（

）A．3 B．6 C． D．【答案】B【解析】【分析】由题可知当OA与直线l垂直时，所截得的弦长最短，利用弦长公式即得.【详解】依题意可知在圆内，且，圆O的半径为．当OA与直线l垂直时，所截得的弦长最短，即弦长的最小值为.故选：B．5．己知点，直线与圆相切于点，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】分析可得，，利用平面向量数量积的运算性质可求得结果.【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为，即，由圆的几何性质可知，所以，.故选：B.6．直线与圆相交，所得弦长为整数，这样的直线有（

）条A．10 B．9C．8 D．7【答案】C【解析】【分析】求出过定点的直线与圆的最短弦长为，最长的弦长为直径10，则弦长为6的直线恰有1条，最长的弦长为直径10，也恰有1条，弦长为7，8，9的直线各有2条，即可求出答案.【详解】直线过定点，圆半径为5，最短弦长为，恰有一条，但不是整数；弦长为6的直线恰有1条，有1条斜率不存在，要舍去；最长的弦长为直径10，也恰有1条；弦长为7，8，9的直线各有2条，共有8条，故选：C．7．若，分别为圆：与圆：上的动点，为直线上的动点，则的最小值为（

）A． B．6 C．9 D．12【答案】C【解析】【分析】设圆圆心半径为1，与关于直线对称，求出，最小时，由即可求解.【详解】易得圆圆心为半径为2，圆圆心为半径为1，设圆圆心半径为1，与关于直线对称，则，解得，如图所示，要使最小，则.故选：C.8．已知，为圆：上两点，且，点在直线：上，则的最小值为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】先求得线段中点的轨迹，结合向量的模、圆与直线的位置关系等知识求得的最小值.【详解】设线段的中点为，圆的圆心为，半径为.到直线的距离为，所以，故点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，设点的轨迹为圆，圆上的点到直线的最短距离为.所以.故选：A9．【多选题】在平面直角坐标系中，已知圆：，则下列说法正确的是（

）A．若，则点在圆外B．圆与轴相切C．若圆截轴所得弦长为，则D．点到圆上一点的最大距离和最小距离的乘积为【答案】ABD【解析】【分析】选项A，根据点与圆的位置关系判断即可；选项B，根据直线与圆相切的定义判断即可；选项C，根据圆的弦长公式求解即可；选项D，根据分和两种情况即可判断.【详解】对于A，因为时，将原点代入圆方程可得，故点在圆外，故A正确；对于B，圆化为标准方程即为，则圆心，，显然圆心到轴距离为等于半径，所以相切，故B正确；对于C，对根据题意，，解得，解得所以圆截轴所得弦长为，则，故C不正确；对于D，当时，圆：，所以点在圆上，显然最小值为，最大值为，故乘积且等于；当时，由选项A知，点在圆外，，所以最大值为，最小值为，乘积为，故D正确.故选：ABD.10．方程表示圆，则的取值范围为______．【答案】或【解析】【分析】由方程表示圆得到不等式，直接求解即可.【详解】由题意知：，即，解得或.故答案为：或.11．已知直线与圆相交于两点，则=__________．【答案】2【解析】【分析】求出圆心到直线的距离，再利用弦长公式，求得弦长.【详解】根据圆的方程：，圆心坐标，半径，∴圆心到直线距离，所以，故答案为：.12．从圆外一点向圆引切线，则此切线的长为______．【答案】2【解析】【分析】作图，利用圆心到定点的距离、半径、切线长满足勾股定理可得.【详解】将圆化为标准方程：，则圆心，半径1，如图，设，，切线长．故答案为：213．已知平面上两定点A、B满足，动点P、Q分别满足，则的取值范围是___．【答案】[－6,6]【解析】【分析】令，由已知判断、的轨迹，再结合向量数量积的几何意义求的最值，即可得范围.【详解】若，由题意知：在以为圆心，1为半径的圆上；在以为圆心，2为半径的圆上.又，，则：最大时，同向，此时，最小时，反向，此时，综上，的范围为[－6,6].故答案为：[－6,6]B组能力提升1．已知向量，，共面，且均为单位向量，，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】根据题意，求出的表达式，分析可得其表示单位圆上的点到定点的距离，由点与圆的位置关系分析可得答案【详解】因为向量，，共面，且均为