苏教版高中数学（必修1）全册学案

第一章集合听课随笔

一、知识结构

二、重点难点

重点：

集合的表示方法；子集的概念；集合的交、并运算;

难点：

集合概念的理解；集合的补集运算：交与并的区别:

第一课时集合的含义

【学习导航】

学习要求

1.初步理解集合的含义，常用数集及其记法；

2.集合中的元素的特性；

3.理解属于关系和相等的意义；集合的分类；

4.集合的分类.

【课堂互动】

自学评价

1.集合的含义：构成一个集合(set).

注意：(1)集合是数学中原始的、不定义的概念，只作描述.

(2)集合是一个“整体.

(3)构成集合的对象必须是“确定的”且“不同”的

2.集合中的元素：

集合中的每一个对象称为该集合的元素(element).简称元.

集合一般用大写拉丁字母表示，如集合A,

元素一般用小写拉丁字母表示.如a,b,c……等.

思考:构成集合的元素是不是只能是数或点？

［答］______________________________________________________________

3.集合中元素的特性：

(1)确定性.设A是一个给定的集合，x是某一元素，则x是A的元素，或者不是A的元

素，两种情况必有一种且只有一种成立.

(2)互异性.对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的.

(3)无序性.集合与其中元素的排列次序无关.

4.常用数集及其记法：

一般地，自然数集记作

正整数集记作或

整数集记作_有理数记作

实数集记作

5.元素与集合的关系：

如果a是集合A的元素，就记作

读作“—_____”；

如果a不是集合A的元素，就记作—

或______读作“”；

6.集合的分类：

按它的元素个数多少来分：

(i)

叫做有限集；

(ii)

叫做无限集：

(iii)_____________________

叫做空集，记为

【精典范例】

一、运用集合中元素的特性来解决问题

例1.下列研究的对象能否构成集合

(1)世界上最高的山峰

(2)高一数学课本中的难题

(3)中国国旗的颜色

(4)充分小的负数的全体

(5)book中的字母

(6)立方等于本身的实数

(7)不等式2x-8<13的正整数解

【解】

⑴能(2)不能

(3)能(4)不能

(5)能(6)能

(7)能

点评:判断一组对象能否组成集合关键是能否找到一个明确的标准，按照这个确定的标准,

它要么是这个集合的元素，

要么不是这个集合的元素，即元素确

定性.

例2：集合M中的元素为1,x,x2-x,求x的范围？

分析：根据集合中的元素互异性可知：集合里的元素各不相同，联列不等式组.

【解】

1*x

x--xn

X2-X

XH1

x丰0或xH2

所以x的范围是：

或X。生叵或XW0或xwz］点评：元素的特性(特别是互异性)

2

是解决问题的切入点.

例3：三个元素的集合1,a,也可表示

a

为0,a2,a+b,求a2°°5+b2°侪的值.听课随笔

分析：三个元素的集合也可表示另外一种形

式，说明这两个集合相同，而该题目

从特殊元素0入手，可以省去繁琐的

讨论.

【解】

依题意得2=0则b=0

a

所以1=1则。=±1

由互异性知a=-1

2OO52OO6

所以a+b=-l

点评:从特殊元素入手，灵活运用集合的三

个特征.

二、运用元素与集合的关系来解决一

些问题

例4：集合A中的元素由x=a+bJ5(aGZ,b

CZ)组成，判断下列元素与集合A的

关系？

(1)0(2)-4—

V2-1

(3)

V3-V2

分析：先把X写成a+b友的形式，再观察

a,b是否为整数.

【解】

(1)因为0=0+0・血，所以OeA

(2)因为以一=1+1-72,

V2-1

所以々一eA

V2-1

]所以厂

(3)因为=g+l痣，百史Z,1

Vs-V2V3-V2

点评：要判断某个元素是否是某个集合的元

素，就是看这个元素是否满足该集合

的特性或具体表达形式.

GA,则匕“WA,如果2

例5：不包含-1,0,1的实数集A满足条件a

1一。

听课随笔

eA,求A中的元素？

分析：该题的集合所满足的特征是由抽象的

语句给出的，把2这个具体的元素代入求出A的另一个元素，但该题要循环代入,

求出其余的元素，同学们可能想不到.

【解】

V2GA二-3dA

1

V-3GA一一EA

2

11

:一一eA/.-EA

23

1

-GA2GA

3

综上所述，集合A中的元素为:

追踪训练

I.下列研究的对象能否构成集合

①某校个子较高的同学；

②倒数等于本身的实数

③所有的无理数

④讲台上的一盒白粉笔

⑤中国的直辖市

⑥中国的大城市

2.下列写法正确的是

①GeQ

②当nGN时;由所有(-1)"的数值组成的集合为无限集

③GeR

④-lez⑤由book中的字母组成的集合与元素k,o,b组成的集合是同一个集合

把正确的序号填在横线上

3.用e或史填空

1N-3N0N6N

1Z-3Q0ZV2R

22

0N*KR——QCOS300Z

7

4.由实数-x,Ixl,E,x,了组成的集合最多含有元素的个数

是个

【选修延伸】

例6：设S是满足下列两个条件的实数所构成

的集合:

1

①1GS,②若aeS,则eS,请

l-o

解答下列问题：

(1)若2GS,则S中必有另外两个数，求

出这两个数；

(2)求证：若aeS,则1—

a

(3)在集合S中元素能否只有一个？请说明

理由；

(4)求证：集合S中至少有三个不同的元素.

【解】

(1),(2)略

(3)集合S中的元素不能只有一个.

证明：假设集合S中只有一个元素，则根据

题意知a=」一，此方程无解，，aW」一

l-a\-a

・••集合S中的元素不能只有一个.

(4)证明：有(2)知，aeS,l--e5,

a

现在a,—匚，1-,三个数互不相等.

1-aa

①若a=_L_,此方程无解，.•.a¥—L

\-al-a

②若a=l—2，此方程无解，

aa

③若」一=1—1，此方程无解，

l-aa

\-aa

综上所述，集合S中至少有三个不同的元素.

点评：(4)证明中需说明三个数互不相等，

否则证明欠严谨.数学是一门非常

严谨的科学.

【师生互动】

学生质疑

教师释疑

第二翼时集合的表示听课随笔

【学习导航】

知识网络

列举法

集合的表示

描述法

学习要求

1.集合的表示的常用方法：列举法、描述法;

2.初步理解集合相等的概念，并会

初步运用，

3.培养学生的逻辑思维能力和运算能力.

【课堂互动】

自学评价

1.集合的常用表示方法：

(1)列举法

将集合的元素一一列举出来，并—

表示集合的方法叫列举法.

注意：

①元素与元素之间必须用“，”隔开；

②集合的元素必须是明确的；

③各元素的出现无顺序；

④集合里的元素不能重复；

⑤集合里的元素可以表示任何事物.

(2)描述法

将集合的所有元素都具有性质(

)表示出来，写成的形式，

称之为描述法.

注意：

①写清楚该集合中元素满足性质；

②不能出现未被说明的字母；

③多层描述时，应当准确使用“或”，“且”；

④所有描述的内容都要写在集合的括号

内；

⑤用于描述的语句力求简明，准确.

思考:还有其它表示集合的方法吗？

［答］_________________________

文字描述法：是一种特殊的描述法，

如：｛正整数｝，｛三角形｝

图示法(Venn图)：用平面上封闭曲线的内部代集合.

2.集合相等

如果两个集合A,B所含的元素完全相同，

____________________________________则称这两个集合相等，记为:

【精典范例：

一、用集合的两种常用方法具体地表示集合

例1.用列举法表示下列集合：

(1)中国国旗的颜色的集合；

(2)单词mathematics中的字母的集合;

(3)自然数中不大于10的质数的集合；

2x+4>0

(4)同时满足《的整数解的

l+x>2x-l

集合；

(5)由回+电(a/eR)所确定的实数

ab

集合.

(6){(x,y)l3x+2y=16,xGN,yGN)

分析：先求出集合的元素，再用列举法

表示.

【解】

⑴{红,黄};

(2){m,a,t,h,e,i,c,s}；

(3){2,3,5,7}；

(4){-1,0,1,2)；

(5){-2,0,2}；

(6){(0,8),(2,5),(4,2)}

点评：

(1)用列举法表示集合的步骤为：

①求出集合中的元素

②把这些元素写在花括号内

(2)用列举法表示集合的优点是元素一目了

然：缺点是不易看出元素所具有的属性.

例2.用描述法表示下列集合：

(1)所有被3整除的整数的集合：

(2)使、=交三有意义的x的集合；

X

(3)方程x、x+l=0所有实数解的集合；

(4)抛物线y=-x2+3x-6上所有点的集合；

必2

(5)图中阴影部分内点的集合;

分析：用描述法表示来集合，先要弄清楚元素所具有的形式，从而写出其代表元素再确定元

素所具有的属性即可.

【解】

(1){xlx=3k,kGZ}

(2){xlx<2且x#0}

(3)0

(4){(x,y)ly=-x2+3x-6}

0<x<2…

(5){(x,y)l4或听课随笔

0<y<1

0<x<2

0<>'<l

点评：用描述法表示集合时，注意确定和简

化集合的元素所具有的共同特性.

追踪训练一

1.用列举法表示下列集合：

(1){xlx2+x+l=0}

(2){xlx为不大于15的正约数}

(3){xlx为不大于10的正偶数}

(4){(x,y)IOWxW2,0Wy<2,x,yGZ}

2.用描述法表示下列集合：

(1)奇数的集合；

(2)正偶数的集合；

(3)不等式2x-3>5的解集；

(4)直角坐标平面内属于第四象限的点的

集合；.

3.下列集合表示法正确的是

(1){1>2,2}；

⑵{①卜

(3){全体有理数};

(4)方程组1的解的集合为

12x-y=0

{2,4}；

(5)不等式六-5>0的解集为收-5>0}.

例3.已知A={al—eN,aeZ},

3—ci

试用列举法表示集合A.

分析：用列举法表示的集合，要认清集合的实质，集合中的元素究竟满

足哪

些条件.

【解】

66

当a=2时,=6eN

3-a3^2

66

当a=l时，—=3eN

3-a3-1

6-^-=2eN

当a=0时，

3-a3-0

66

当a=-l时，二——eN

3—a3+1

当a=-2时，---=§至N

3-a5

上=—eN

当a=-3时,

3-Q6

，A={2,1,0,-3)

点评:本题实际上是要求满足6被3-a整除的

整数a的值，若将题目改为一9—eZ,

3-a

则集合A={-3,0,1,2,4,5,6,9).

二、有关集合相等方面的问题

例4.已知集合P={-l,a,b},Q={-l,a2,b2},且Q=P,求l+a?+b2的值.

分析：含字母的两个集合相等，并不意味着按序对应相等，要分类讨论，同时也要考虑

集合中的元素的互异性和无序性.

【解】

分两种情况讨论：①

ci—ci。=1T。二022

或〈=>l+a2+b2=2

b=b2nh=0h=\

②1a—b-,=>a=0或a—1这与集合的性质矛盾,

b=a2\b=0[^=1

l+a2+b2=2

追踪训练

1.集合A={xly=x2+1},B={tlp=t2+1}

C={ylx=j3+4y2},这三个集合

的关系？

12

2.已知A={xl——wN”N],试用列举法表示集合A.

6-x

思维点拔:

例5.已知集合8={例Y多-4-/巴7=1}有唯一元素，用列举法表示a的值构成的集合A.

x-2

点拔:

本题集合8=国1千3=1}有唯一元素，同学们习惯上将分式方程去分母，转化为一元二次

方程的判别式为0,事实上当a=±亚时，也能满足唯一元素，但方程已不是一元二次方程,

而是•元一次方程，也有唯一解，所以本题要分三种情况讨论.

【解】

当x2W0时，x+a=x2+a

9

4-此时，x=—,符合题意,

2

当@=后时，X=V2+1,符合题意，

当2=-血时，*=1一行，也符合题意,

A={——,-\/2,-V2}

4

【师生互动】

学生质疑

教师释疑

第三课时子集、全集、补集听课随笔

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知识网络

学习要求

1.了解集合之间包含关系的意义；

2.理解子集、真子集的概念和掌握它们的符号表示;

3.子集、真子集的性质；

4.了解全集的意义，理解补集的概

念.

【课堂互动】

自学评价

1.子集的概念及记法：

如果集合A的任意一个元素都是集合B

的元素()，则称

集合A为集合B的子集(subset)，记为

或读作“

“或""

用符号语言可表示为：

如右图所示:

注意：(1)A是B的子集的含义：任意xWA,能推出xGB；

(2)不能理解为子集A是B中的“部分元素”所组成的集合.

2.子集的性质：

①A=A

②0GA

③则AqC

思考：A屋8与874能否同时成立？

［答］_____________________________

3.真子集的概念及记法：

如果并且AHB,这时集合A称

为集合B的真子集(properset)，记为

—或读作“__

“或““

4.真子集的性质：

①0是任何非空集合的真子集

符号表示为一.

②真子集具备传递件

符号表示为______

5.全集的概念：

如果集合U包含我们所要研究的各个集合，

这时U可以看做一个全集(universalset)全集通常记作

6.补集的概念：

设，由U中不属于A的所有元素组成的集合称为U的子集A的补集

(complementaryset),记为

读作""

即：Q,A=_____________________

CtJA可用

右图阴影部

分来表示：

7.补集的性质：

①CQ=一

②

③。©4)=—

【精典范例】

一、写出一个集合的子集、真子集及其个数公式

例1.

①写出集合{a,b}的所有子集及其真子集；

②写出集合{a,b,c}的所有子集及其真子集；

分析：按子集的元素的多少分别写出所有子集，这样才能达到不重复，无遗漏，

但应注意两个特殊的子集：0和本身.

【解】

①集合{a,b}的所有子集为：

0>{a},{b},{a,b}；

②集合{a,b,c}的所有子集为：

0»{a},{b},{c},{a,b}

{a.c},{b,c},{a,b,c}.

点评:写子集，真子集要按一定顺序来写.

①一个集合里有n个元素，那么它有2"个子集；

②一个集合里有n个元素，那么它有2。1个真子集；

③一个集合里有n个元素，那么它有2。2个非空真子集.

二、判断元素与集合之间、集合与集合之间的关系

例2：

以下各组是什么关系，用适当的符号表示出来.

(1)a与{a}0与0

(2)0与{20,-16,0}

(3)S={-2,-1,1,2},A={-1,1},

B={-2,2}；

(4)S=R,A={xlxWO,xGR},B={xlx>0,xGR}；

(5)S={xlx为地球人},A={xlx为中国人},B={xlx为外国人)

【解】

听课随笔

点评：

®判断两个集合的包含关系，主要是根据集合的子集，真子集的概念,

看两个集合里的元素的关系，是包含，真包含，相等.

②元素与集合之间用—

集合与集合之间用

追踪训练一

1.判断下列表示是否正确：

(1)ac{a}(2){a}S{a,b}

(3){a,b}c{b,a}

(4){-1,1}u{-1,0,1)

(5)0W{-L1}

2.指出下列各组中集合A与B之间的关系.

(1)A={-L1},B=Z；

(2)A={I,3,5,15},B={xlx是15的正

约数};

(3)A=N*,B=N

(4)A={xlx=l+a：aGN*}

B={xlx=a?-4a+5,aGN*}

3.(1)已知［1,2}cMc{l,2,3,4,

5},则这样的集合M有多少个?

(2)已知M={1,2,3,4,5,6,7

,8,9),集合P满足：PcM,且

若aeP,则10-acP,则这样

的集合P有多少个？

4.以下各组是什么关系，用适当的符号表来.

(1)。与{0}(2){-1,1}与{1,-1}

⑶{(a,b)}与{(b,a)}

(4)。与{0,1,0)

三、运用子集的性质

例3：设集合A={xlx2+4x=0,xeR},B=

{xlx2+2(a+1)x+a2-1=0,xGR},若B=A,

求实数a的取值范围.

分析：首先要弄清集合A中含有哪些元素,

在由B=A,可知，集合B按元素的

多少分页讨论即可.

【解】

A={xlx2+4x=0,xGR}={0,-4}

BcA

B=0或{0},{-4},{0,-4}

①当B=0时,/=[2(a+1)]2-4«(a2-l)<0

:.a<-1

0=-2(a+l)

②当B={0}时，<

0=/_1

:.a=-1

-4—4=—2(Q+1)

③当B={-4}时，\,

16=/_]

•*.a-0

，-4+0=-2(a+l)

④当B={0,-4}时，\,

0=a2-l

a=l

工a的取值范围为：a<-l,或a=-l,或a=l.

点评：

B=0易被忽视，要提防这一点.听课随笔

四、补集的求法

例4：①方程组产］+1>°的解集为A,

3x-6<0

U=R,试求A及CUA.

②设全集卜上A={xlx>l},B={xlx+a<0},

8是的真子集，求实数a的取值范围.

【解】

①A-{xl——<x<2},

CUA={xlxW-5或x>2}

②B={xlx+a<0}={xlx<-a},

CRA={xlxW1}

：B是CRA的真子集

如图所示：

-aW1即a'T

点评：

求集合的补集时通常借助于数轴，比较形象，直观.

追踪训练二

1.若U=Z,A={xlx=2k,kGZ},B={xlx=2k+1,keZ)则

6______

CuB-----------:

2.设全集是数集U={2,3,a?+2a-3},已知

A={b,2},CVA={5},求实数a,b的值.

3.已知集合A={xlx=a+3,aGZ},B={xlx=g—bGZ},C={xlx=/+：,c€Z}>试判

断A、B、C满足的关系

4.已知集合人={*反2-1=0},B={xlx2-2ax+b=0}

B[A,求a,b的取值范围.

思维点拔:

集合中的开放问题

例5:已知全集5={1,3X3+3X2+2X),集合

A={1,I2x-ll},如果C$.A={0},则这样的

实数x是否存在？若存在，求出x,若不

存在，请说明理由.

点拔:

由。54={0},可知，OCS,但0eA,由

OGS,可求出x,然后结合0仁4,来验证

是否符合题目的隐含条件AqS,从而确定

x是否存在.

【师生互动】

学生质疑

教师释疑

第四翼时集合的运算---交集

【学习导航】

知识网络

学习要求

1.理解交集的概念及其交集的性质；

2.会求已知两个集合的交集；

3.理解区间的表示法；

4.提高学生的逻辑思维能力.

【课堂互动】

自学评价

1.交集的定义：

一般地，____________________________

__，称为A与B交集

(intersectionset),记作

读作“”.

交集的定义用符号语言表示为：

交集的定义用图形语言表示为:

注意：(1)交集(ACB)实质上是A与B的公共元素所组成的集合.

(2)当集合A与B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是ACB=0.

2.交集的常用性质：

(1)AAA=A；

(2)AA0=0；

(3)AAB=BOA；

(4)(AAB)DC=ACl(Bnc)：

(5)AABcA,AOBcB

3.集合的交集与子集：

思考：

ACB=A,可能成立吗？

［答］_________________________

结论：听课随笔

AAB=A<=>AqB

4.区间的表示法：

设a,b是两个实数，且a<b,我们规定：

[a,b]=______________________

(a,b)=

[a,b)=

(a,b]=_______________________

(a,+°°)=_______________________

b)=_______________________

(—00,+00)=

其中[a,b],(a,b)分别叫闭区间、

开区间；[a,b),(a,b]叫半开半闭

区间；a,b叫做相应区间的端点.

注意：(1)区间是数轴上某一线段或数轴上的点所对应的实数的取值

集合又一种符号语言.

(2)区间符号内的两个字母或数之

间用“，”号隔开.

(3)8读作无穷大，它是一个符号，不是一个数.

【精典范例】

一、求已知两个集合的交集

例1.

(1)设A={-1,0,1},B={0,1,2,3},求ACIB；

(2)设人="氏>0},B={xlxWl},求AAB；

(3)A=(xlx=3k,keZ},B={yly=3k+1kez},C={zlz=3k+2,ke

Z},D={xlx=6k+1,k£Z},求ADB；

AHC；CAB；DAB：

【解】

(1)AnB={0,1}：

(2)ACB={xlO<xWl}；

(3)AHB=Anc=cnB=0

DAB=D

点评：

不等式的集合求交集时，运用数轴比

较直观，形象.

例2：

已知数集A={a2,a+1,-3},数集B={a-3,a-2,a2+l},若ADB={-3},求a

的值.

【解】

AAB={-3}

-3GA-3eB

当a-3=-3时，即a=0时，B={-3,-2,1},

A={0,1,-3}满足题意；

当a-2=-3时，即a=-l时，B={-4,-3,2},

A={1,0,-3}不满足题意；

a=0

点评:

在集合的运算中，求有关字母的值时，要注意分类讨论及验证集合的

特性.听课随笔

例3：

(1)设集合A={yly=x2-2x+3,xGR},

B={yly=-x2+2x+10,xGR},

求AAB；

(2)设集合A={(x,y)ly=x+1,xGR},

23

B={(x,y)ly=-x_+2x+—,xGR},

4

求AAB：

分析：

先求出两个集合的元素，或者集合中元素

的范围，再进行交集运算.特别注意(1)、

(2)两题的区别，这是同学们容易忽视的地方.

【解】

(1)两个集合表示的是y的取值范围，

VA={yly=x2-2x+3,xGR}={yly22},

B={yly=-X2+2x+10,xGR}={ylyWll},

AClB={yl2WyWll}；

23

(2)ADB={(x,y)ly=x+l,xeR}C{(x,y)ly=-x'+2x+—,x£R)

4

y=x+i

={(x,y)l.1+2/3}

4

={g|)}

点评：

求集合的交集时.，注意集合的实质，是点集还时数集.是数集求元

素的公共部分，是点集的求方程组的解所组成的集合.

追踪训练一

1.设集合A={小于7的正偶数),B={-2,0,2,4),求AAB；

2.设集合A={xlx20},B={xlxW0,xGR},求AOB；

3.设集合A={(x,y)ly=-4x+6,xGR},B={(x,y)lx=y?-1}求ACB；

4.设集合A={xllx=2k+1,kGZ},B={yly=2k-1,kGZ},C={xlx=2k,kGZ},

求ACB,Bnc.

二、运用交集的性质解题

例4：

已知集合人={2,5},B={xlx2+px+q=0,xGR}

(1)若8={5},求p,q的值.

(2)若AC1B=B,求实数p,q满足的

条件.

分析：

(1)由8=⑸,知:方程x?+px+q=0有两个

相等，再用一元二次方程的根与系数的关系容易求p,q的值.

(2)由AAB=B可知：BqA,而人={2,5}从而顺利地求出实数p,q满足的条件.

【解】

(1)AClB={5}

方程x2+px+q=0有两个相等的实根5

/.5+5=-p5*5=q

/.p=-10,q=25

(2)APB=B・•・BqA

当B=0时，Zl=p2-4q<0,即p2<4q；

当B={2}时,可求得p=-4,q=4；

当B二{5}时,p=-10,q=25；

当B={2,5}时，可求得p=-7,q=10；

综上所述：

实数p，q满足的条件为P、4q；

/?=-4p=-lQ

或«或<

q=4q=25

p=-7

或

q=10

点评：

利用性质：AABAoAqB是解题的

关键，提防掉进空集这一陷阱之中.

追踪训练二

1.已知集合A={xlx?+x-6=0},B={xlmx+l=0

=0},若AAB二B,求实数m所构成的集合M.

2.已知集合M={xlxW-l},N={xlx>a-2},若MCN#0,则a满足的条件

是什么？听课随笔

三、借助Venn图解决集合的运算问题

例5：

已知全集U={不大于20的质数},M,N是U

的两个子集，且满足MC(CUN)={3,5},

(Q,M)nN={7,19},(QMn(CuN)=

[2,17},求M,N的值.

分析：用Venn图表示集合M,N,U,将符合条件的元素依次填入即可.

【解】

点评：

Venn图的形象直观，简化了运算过程，降低

了思维难度，因此我们要善于灵活运用Venn图来进行集合间的运算，特

别是抽象集合(或

较为复杂集合)间的运算问题.

高考热点:

例6：

已知集合A={xlx?-4mx+2m+6=0},B={xlx<0},

若ACBN0,求实数m的取值范围.

点拔:

本题如果直接求解，情况较多十分麻烦，可

从求解的反面来考虑，就比较简单.

【师生互动】

学生质疑

教师释疑

第六课时交集、并集

【学习导航】

学习要求:

1、熟练掌握交集、并集的概念及其性质。

2、注意用数轴、文氏图来解决交集、并集问题。

3、分类讨论思想在解题中的应用。

【精典范例】

一、交集并集性质的应用

例1、已知集合A={(x,y)lx?—y?—y=4},B={(x,y)lx2—xy—2y2=0},C={(x,y)lx—

2y=0},D{(x,y)lx+y=0)o

(1)判断B、C、D间的关系；

⑵求ADBo

【解】：

(1)B=CUD

84

⑵ACB=[(],]),(—2,-1)}U{(4,-4)}.

二、交集、并集在实际生活中的应用

例2、某学校高一(5)班有学生50人，参加航模小组的有25人，参加电脑小组的

有32人，求既参加航模小组，又参加电脑小组的人数的最大值和最小值。

思维分析：题目以应用为背景，解题关键是将文字转化为集合语言，用集合运算

来解决错综复杂的现实问题。

解：由文氏图易得，既参加航模小组又参加电脑小组的人数最大值是25人，最

小值是7人。

三、数形结合思想与交集并集的应用

例3、已知集合A={x|—2<x<—1,或x>0},B={xlaWxWb},满足ACB={xlO<x

W2},AUB={xlx>-2),求a、b的值。

答案：a=-1>b=2.

评注：此题应熟悉集合的交与并的含义，掌握在数轴上表示集合的交与并的方法.

四、分类讨论思想与交集并集的综合应用

例4、已知集合A={xlx?—4x+3=0},B={xlx2—ax+a—1=0}»C={xlx2—mx+l=O},

.且AUB=A,AAC=C,求a,m的值或取值范围。

分析：先求出集合A,由AUB=AnBqA,由AHC=C=>C[A,然后根据方程

根的情况讨论。

答案：a=2或a=4,—2<mW2.

评注：本例考查A与B,A与C的关系和分类讨论的能力。

追踪训练

1、集合A={xlx<-3,或x>3},B={xlx<l,或x>4},则ACB=.

答案：{x<—3或x>4}

2、集合A={a2,a+1,-3},B={a-3,2a-1,a2+l},若APB={-3},则a的值

为.

A、0B、IC、2D、-1

答案：D

3、净口A={xlx2-px+15=0}»B={xlx)—ax—b=0},月.AUB={2,3,5},AAB={3},

求p,a,b的值。

答案：P=8,a=5,b=-6

4、集合{3,x,x2-2x}中，x应满足的条件是.

答案：xW-l且x#0且xW3

5、设A={xlx?+4x=0},B={xlx2+2(a+l)x+a2—1=0,aGR}.

(1)若AAB=B,求实数a的值。

(2)若AUB=B,求实数a的值。

听课随笔

答案：(l)a=l或aW—l；(2)a=l

第七课时小结与复习课

【学习导航】

知识网络

学习要求

1.掌握集合的有关基本义概念，运用集合的概念解决问题；

2.掌握集合的包含关系（子集、真子集）；

3.掌握集合的运算（交、并、补）；

4.再解决有关集合问题时，要注意各种思想方法（数形集结合、补集思想、分类讨论）

的运用.

【课堂互动】

自学评价

1.对于集合的问题：要确定属于哪一类集合（数集，点集，或某类图形集），然后再确定

处理此类问题的方法.

2.关于集合中的运算，一般应把各参与运算的集合化到最简形式，然后再进行运算.

3.含参数的集合问题，多根据集合的的互异性处理，有时需要用到分类讨论、数形集结合

的思想.

4.集合问题多与函数、方程有关，要注意

各类知识的融会贯通.

【精典范例】

例1.设U={1,2,3,4,5},且AC1B={2},

CuA）nB={4},（。M加©津）

={1,5},则下列结论正确的是

（）

A.3SA,3GB

B.2GCL,A,3GB

C.3£Cb,B,3dA

D.3eCb,A,3eCc；B

分析：按题意画出Venn图即可找出选择

的分支.

【解】

画出满题意足Venn图：

134

A2B

5

听课随笔

由图可知：3CA且3eB,即3GA且

3eCc,B,：.选C.

点评：

本题可用排除法来解，若选A,则36

AAB,与已知ACB={2}矛盾，...显然这种方法没有Venn图形

象直观，这也突出数形集结合的思想在集合中的运用.

追踪训练一

1.设U={xlO<xvlO,xGN.},若AAB={3},

(。*)04={1,5,7},(C04)n(CuB)

={9},求集合A,B.

【解】

A={1,3,5,7},

B={2,3,4,6,8}.

2.某校有A、B两项课外科技制作小组，50名学生中报名参加A组的

人数是全体学生人数的3/5,报名参加B组的人数比报名参加A组

的人数多3人，两组都没有报名的人数是同时报名的人数的1/3还

多1人，求同时报名参加A、B两组人数及两组都没有报名的人数.

【解】

同时报名参加A、B组的人数为21人，

两组都没有报名的人数为8人.

例2：已知全集U=R,集合A={xlx2-x-6<0},

B={XIX2+2X-8>0},C={xlx2-4ax+3a2<0},

(1)试求a的取值范围，使AABqC；

(2)试求a的取值范围，使QACUwC

分析：

U=R,A=(-2,3),B=(-oo,-4)U(2,+oo),故AAB=(2,3),

CyA=

(-00,-2]U[3,+00),C*=[-4,2],

(C“A)n(CuB)=[-4,-2],

x2-4ax+3a2<0即(x-3a)(x-a)<0,

...当a<0时，，C=(3a,a),

当a=0时,C=0,

当a>0时，C=(a,3a),

(1)要使ACBqC,集合数轴知，

«>0

<a<2解得l《aW2；

3a>3

(2)类似地，要使G’AnCuBcC必有

a<0

4

43。<—4解得—2<〃<—

a>-23

【解】

解答过程只需要将上面的分析整理一下

即可.

点评：

①研究不等式的解集的包含关系或进行集

合的运算时，充分利用数轴的直观性，便

于分析与转化.

②注意分类讨论的思想在解题中的运用，在

分类时要满足不重复、不遗漏的原则.

追踪训练二

1.设A={xlx2-x-2<0},B={xllxl=y+1,y©A},

求：

CRB,AUB,AnCRB,CR(AUB)

n

CRABCKRA

【解】

CRB=(-00,-3]U[3,+00)U{0}；

AUB=(-3,3)；

AnCR8={0}；

C«(AU8)=(-oo,-3]U[3,+oo).

2.已知A={XI-X2+3X+1OEO},

B={xlmWxW2m-1},若BqA,

求实数m的取值范围.

【解】

实数m的取值范围：(-co,3).

例3：已知集合A={xlx2+4ax-4a+3=0},

B={xlx2+(a-1)x+a2=0},C={xlx2+2ax-2a=0},

其中至少有一个集合不是空集，求实数a

的取值范围.

分析：

此题若从正面入手，要对七种可能情况逐

一进行讨论，相当繁琐；若考虑其反面，则

只有一种情况，即三个集合全是空集.

【解】

当三个集合全是空集时，所以对应的三个

方程都没有实数解，

即

2

A(=16a-4(-4a+3)<0

<A,=(a—I)2-4a2<0

A,=4a2+8a<0

解此不等式组，得

3,

——<«<-1

2

听课随笔

•••所求实数a的取值范围为：

-3〜、

aW---,或a£T.

2

点评：

采用“正难则反”的解题策略，具体地说,

就是将所研究的对象的全体视为全集，求

出使问题反而成立的集合，那么这个集合

的补集便为所求.

【师生互动】

学生质疑

教师释疑

第二章函数柢念与基本初等函数(।)

一、知识结构

二、重点难点

重点：

函数及其表示方法；函数的单调性、奇偶性，几类特殊函数的性质及应用;

难点：

运用函数解决问题：建立数学模型。

第一翼时函数的柢念和图象(1)

【学习导航】

知识网络

学习要求

1.理解函数概念；

2.了解构成函数的三个要素；

3.会求一些简单函数的定义域与值域；

4.培养理解抽象概念的能力.

自学评价

1.函数的定义：设A.3是两个非空数集,如果按某种对应法则/,对于集合A中的每一

个元素x,在集合8中都有惟_的元素y和它对应，这样的对应叫做从A到B的一个函数，

记为y=其中输入值x组成的集合A叫做函数v=的集的定义域,所有输出

值y的取值集合叫做函数y=/(x)的值域。

【精典范例】

例1：判断下列对应是否为函数：

(1)其中y为不大于x的最大整数，

xe/?,yeZ;

(2)x-^y,y2=x,xeN,yeR；

(3)x—>y=x,xe{xl0<x<6},

ye{yIO<y<3}；

(4)yXG{XI0<X<6},

ye{yIO<y<3}.

【分析】解本题的关键是抓住函数的定义，在定义的基础上输入一些数字进行验证，当不是

函数时，只要列举出一个集合A中的尢即可.

【解】(1)是；(2)不是；(3)不是；(4)是。

点评:判断一个对应是否是函数，要注意三个关键词：“非空”、“每一个”、“惟一”。

例2：求下列函数的定义域：

/,、