人教版(新教材)高中数学第一册(必修1)：章末复习课学案

章末复习课

知识网络理清脉络纲举目张

「一|分数指数一及根式|

T指数I-----1无理数指数-I

—|运算性质I

~|指数与指数函数1—

r-®

—|指数函数图象与性质|

互I------1

为

反—O

函

指

数

数-4S

函

数T对数函数I—I图象与性质I

与J应用|

对■I对数与对数函虹|—

数

函

数r-{^\

J运算性质I

函数的零点与其对应方程根的关系

I函数与方程

解

用二分法求方程的近似解决

函数的应用卜具

~I儿类不同增氏的函数模型卜体

问

函数模型T用已知函数模型解决问题卜题

及其应用

T建立实际问题的函数模型卜

考点突破抓住核心突破重点

一、指数、对数的运算

1.指数、对数的运算主要考查对数与指数的互化，对数、指数的运算性质以及换底公式等,

会利用运算性质进行化简、计算、证明.

2.掌握基本运算性质，重点提升数学运算素养.

例1化简并计算(式中字母均为正数).

I!」|_2

(l)4x4(-3xiy5)4-(-3x8y§)；

I

"+,\J(7r—4)2-32+,OS32+Ig4+21g5+log49・log34.

ii\(I2A

解(1)原式=46・—.y3：x^-y3

\7

|<12\

7

11II2I

——+—

4

=4x42.y334X.y3

210g32

(2)原式=(3-3)飞+|7t-4|-3-3+Ig4+lg25+21og43-log34

lg3Jg4

=3+4—兀—18+lg(4X25)+2齿-]o3=一兀-7.

反思感悟指数、对数的运算应遵循的原则

指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数赛运算，

其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的.对数运算首先注意公式应

用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式，换

底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧.

跟踪训练1计算：

用+(市-VW；

(1)1-32

4log234

(2)log20.25+lnVe+2+Ig4+21g5—\/(-2).

解(1)1—32[于-(3、)+(yjl—y[W3)°

=1'一(2+曲首木)一[引+，

Z3

=1-小_2+小_(/)+1=一

41og234

(2)log20.25+lnVe+2+lg4+21g5-^/(-2)

11

=log2^+Ine+2,og23+Ig4+lg52—\/?

=-2+；+81+lgl00-2=791.

二、指数函数、对数函数的图象及其应用

1.指数函数、对数函数的图象及应用有两个方面：一是已知函数『解析J式求作函数图象,

即“知式求图”；二是判断方程的根的个数时.，通常不具体解方程，而是转化为判断指数函

数、对数函数等图象的交点个数问题.

2.掌握指数函数、对数函数图象的作法以及简单的图象平移翻折变换，提升直观想象和逻辑

推理素养.

例2已知4>0且“ri,则函数共冷="和g(x)=log"(—3的图象只可能是()

『答案』c

『解析』函数g(x)的定义域是(-8,0),排除A,B,

若则火x)=炉是减函数，

此时g(x)=log“(一是减函数，C,D都不满足，

若”>1,则式外="是增函数，

此时g(x)=log“(一§是增函数，C满足.

反思感悟指数函数、对数函数图象既是直接考查的对象，又是数形结合求交点、最值、解

不等式的工具，所以要能熟练画出这两类函数图象，并会进行平移、对称、翻折等变换.

跟踪训练2对数函数y=logM(a>0且nW1)与二次函数l)f-x在同一坐标系内的图

象可能是()

『答案』A

''解析』若则)，=logM在(0,+8)上单调递减，

又由函数)，=(a-l)f-x开口向下，其图象的对称轴》=五二亍在)，轴左侧，排除C,D.

若a>l,则y=k>g“x在(0,+8)上是增函数，

函数y=3-l)l-x图象开口向上，且对称轴x=1±/在y轴右侧，

因此B项不正确，只有选项A满足.

三、指数函数、对数函数的性质及其应用

1.以函数的性质为依托，结合运算考查函数的图象性质，以及利用性质进行大小比较、方程

和不等式求解等.在解含对数式的方程或解不等式时，不能忘记对数中真数大于0,以免出

现增根或扩大范围.

2.掌握指数函数、对数函数的图象及性质，重点提升数学运算和逻辑推理素养.

例3(1)设〃=log2兀，b=k>g］兀，C=7C-2,则()

2

A.a>b>cB.b>a>c

C.a>c>bD.c>b>a

『答案』c

『解析』；a=log27010g22=1,h=log!TKlog11=0,

22

――二卜即Oy］,.”海

(2)已知4>0,且log〃3>log〃2,若函数於)=log«x在区间『〃,3〃』上的最大值与最小值之

差为1.

①求〃的值；

②若KW3,求函数y=(logM)2—iog,W+2的值域.

解①因为10&3>10ga2,

所以段)=log〃x在『4,3〃』上为增函数.

又“¥)在［4,3〃』上的最大值与最小值之差为1,

所以loga(3a)—\ogaa=1,即loga3=l,所以a=3.

②函数y=(log㈤2—k)g35+2

=(10g3X)2-110gu+2=(lOgM—J2+蒋

令Z=log3X,

因为1WXW3,所以0<log3%Wl,即OWWL

所以k(/一/2+而外而，升

所以所求函数的值域为［「讳31，51.

反思感悟要熟练掌握指数函数、对数函数的图象和性质.方程、不等式的求解可利用单调

性进行转化，对含参数的问题进行分类讨论，同时还要注意变量本身的取值范围，以免出现

增根；大小比较问题可直接利用单调性和中间值解决.

跟踪训练3若0令勺<1,则()

A.3k3"B.logA3<logv3

C.10g4X<10g4)!D-(M)

『答案』c

『解析』因为04勺<1,则

对于A,函数y=3,在R上单调递增，故3，<3>,A错误.

对于B,根据底数a对对数函数y=k)&K的影响：当0<a<l时，在xd(l,+8)上“底小图

高”.因为04<y<l,所以log.3>log)3,B错误.

对于C,函数y=logM在(0,+8)上单调递增，故Iog4%<log4y,C正确.

对于D,函数y=g>在R上单调递减，故(；>>(；>，D错误.

四、函数的零点与方程的根

1.函数的零点主要考查零点个数以及零点所在区间，主要利用了转化思想，把零点问题转化

成函数与x轴交点以及两函数交点问题.

2.掌握函数零点存在定理及转化思想，提升逻辑推理和直观想象素养.

例4(1)设函数加)=log2x+2,—3,则函数应丫)的零点所在的区间为()

A.(0,1)B.(1,2)

C.(2,3)D.(3,4)

『答案』B

“解析』因为函数7(X)=lOg2x+2，r—3,

所以火D=log21+2i—3=-1<0,

2

A2)=log22+2-3=2>0,

所以根据函数零点存在定理可知在区间(1,2)内函数存在零点.

(2)已知函数加0='7'(a6R),若函数在R上有两个零点，则〃的取值范围是

3x—1,x>0

()

A.(―°°,—1)B.(—8,1)

C.(-1,0)D.[-1,0)

『答案』D

『解析』由3x—1=0可得x=g>0,若函数在R上有两个零点，可转化为e"+a=O在元WO

上有一个实根，即y=—。与y=e'在xWO上有一个交点，因为xWO时，-《(()』』；又y=一

a与在xWO上有一个交点，所以Ov—aWl,即一1Wa<0.

反思感悟(1)函数的零点与方程的根的关系：方程段)=0有实数根=函数y=#x)的图象与x

轴有交点=函数y=/U)有零点.

(2)确定函数零点的个数有两个基本方法：利用图象研究与x轴的交点个数或转化成两个函数

图象的交点个数进行判断.

跟踪训练4(1)方程的根尤。所在的区间为()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

:答案』B

『解析』将方程变形，并构造函数兀1)=3一6},

因为尸亍和y=—均为增函数，

所以人x）=，-0也为增函数，

由函数『解析」式可得<0）=0—1=—1<0,

川）W=_*o，

17

A2）=2-4=4>0,

由函数零点存在定理可得式》）=3一（｝下的零点在（1，2）内，

即方程9=Q）'.的根xo所在的区间为（1,2）.

（2）设『X」表示不超过实数x的最大整数，则方程2*—2Ld—1=0的根有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

『答案』B

『解析』方程2'-2UJ-1=0根的个数等价于y=2'—1与y=2ixl的图象交点个数,

在平面直角坐标系中，分别作出两个函数的图象如图所示：

由图象可知，两个函数共有3个不同的交点，

方程2*一2限』-1=0有3个根.

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1.(2019•全国I)已知a=log20.2,b=202,c=0.2°\则()

A.a<b<cB.a<c<b

C.c<a<bD.b<c<a

『答案』B

『解析』：a=log20.2<0,b=2°2>l,c=0.203G(0,l),：.a<c<b.

2.(2019•全国H)若心匕,则()

A.ln(ai)>0B.3"<3"

C.a3-b3>0D.\a\>\b\

『答案』C

「解析』由函数y=lnr的图象（图略）知，当0<4—万<1时，ln（a—fe）<0,故A不正确；因

为函数y=3,在R上单调递增，所以当〃泌时，3">3〃，故B不正确；因为函数y=R在R上

单调递增，所以当时，a3>b\即〃一〃>0,故C正确；当从a<0时，间<|臼，故D不正

确.

3.（2019•全国III）设段）是定义域为R的偶函数，且在（0,+8）上单调递减，则（）

C./2^>/2^k（log，4）

\/\7

/2\（_3、

D./23>f2》,（1唯£）

7\7

『答案』c

『解析』根据函数火x）为偶函数可知,

f（log3^）=式-log34）=;（log34）,

_3_2

因为0<25<2§<2°vlog34,

且函数7U）在（0,+8）上单调递减,

所以/22>/23

\J\J

4.（2019・全国HI）