高中数学课堂讲义-概率复习与总结

高中数学课堂讲义一概率复习与总结

目录

1.思维导图....................................................................1

2.数学抽象....................................................................1

2.1.随机抽样................................................................1

3.数学运算....................................................................2

3.1.百分位数的计算.........................................................2

3.2.平均数、中位数的计算...................................................3

4.数据分析....................................................................4

4.1.频率分布直方图..........................................................4

4.2.总体集中趋势的估计.....................................................5

4.3.统计在实际问题中的决策作用..............................................5

5.章末检测(九)..................................................................6

1.思维导图

|实际问题||简单随机抽样||分层随机抽样|

2.数学抽象

学生能更好地理解数学概念、命题、方法和体系，能通过抽象、概括去认

识、理解、把握事物的数学本质，能逐渐养成一般性思考问题的习惯.在本章

中，数学抽象主要体现在随机抽样中.

2.1.随机抽样

[例1](1)问题：①某小区有800户家庭，其中高收入家庭200户，中等收

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入家庭480户，低收入家庭120户，为了了解有关家用轿车购买力的某个指标,

要从中抽取一个容量为100的样本；②从10名学生中抽取3人参加座谈会.方

法：(1)简单随机抽样；(2)分层随机抽样.则问题与方法配对正确的是()

A.①(1),(2)(2)B.①(2),(2)(1)

C.①⑴，(2)(1)D.①(2),②(2)

(2)一个单位有职工800人，其中具有高级职称的160人，具有中级职称的

320人，具有初级职称的200人，其余人员120人.为了解职工收入情况，决定

采用分层随机抽样的方法，从中抽取样本量为40的样本.则从上述各层中依次

抽取的人数分别是()

A.12,24,15,9B.9,12,12,7

C.8,15,12,5D.8,16,10,6

［解析］(1)问题①中的总体是由差异明显的几部分组成的，故可采用分层随

机抽样方法；问题②中总体的个数较少，故可采用简单随机抽样.故匹配正确

的是B.

(2)因为抽样比为黑=A，故各层中依次抽取的人数分别是嘿=8,黑=

OUUNUZUZU

“200120

62()=—1°'20-6，

［答案］(1)B(2)D

3.数学运算

数学运算是解决数学问题的基本手段，是计算机解决问题的基础.在本章

中，数学运算主要体现在计算百分位数、平均数、中位数、方差和标准差中.

3.1.百分位数的计算

［例2］已知甲、乙两组数据(从小到大的顺序排列)：

甲组：27,28,39,40,m,50；

乙组:24,n,34,43,48,52.

若这两组数据的第30百分位数、第80百分位数分别相等，贝畔等于()

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［解析］因为30%X6=1.8,80%X6=4.8,所以第30百分位数为〃=28,

mAQ19

第80百分位数为m=48,所以刀=诋=7.

［答案］A

3.2.平均数、中位数的计算

［例3］统计局就某地居民的月收入(单位：元)情况调查了10000人，并根

据所得数据画出了样本频率分布直方图(如图)，每个分组包括左端点，不包括右

端点，如第一组表示月收入在［2500,3000)内.

频率/组距

0.0004

0.0003

0.0002

0.0001

^2500300035004000450050005500月收入/元

(1)为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这

10000人中用分层随机抽样的方法抽出100人作进一步分析，则月收入在［4000,

4500)内的应抽取多少人？

(2)根据频率分布直方图估计样本数据的中位数；

(3)根据频率分布直方图估计样本数据的平均数.

［解］(1)因为(0.0002+0.0004+0.0003+0.0001)X500=0.5,所以a=

需^=0.0005.又0.0005X500=0.25,所以月收入在［4000,4500)内的频率为

0.25,所以100人中月收入在［4000,4500)内的人数为0.25X100=25.

⑵因为0.0002X500=0.1,0.0004X500=0.2,0.0005X500=0.25,0.1+

0.2=0.3<0.5,0.1+0.2+0.25=0.55>0.5,所以中位数在区间［3500,4000)1*),

所以样本数据的中位数是

,0.5-(0.1+0.2)_

3500+nAnn=3900(兀).

(3)样本平均数为(2750X0.0002+3250X0.0004+3750X0.0005+4

250X0.0005+4750X0.0003+5250X0.0001)X500=3900(元).

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4.数据分析

数据分析是指针对研究对象获取数据，运用数学方法对数据进行整理、分

析和推断，形成关于研究对象知识的素养.

数据分析过程主要包括：收集数据，整理数据，提取信息，构建模型，进

行推断，获得结论.在本章中，数据分析主要体现在频率分布直方图及总体集

中趋势的估计中.

4.1.频率分布直方图

［例4］对某电子元件进行寿命追踪调查，情况如下:

寿100200300400500

命/h-200〜300〜400〜500-600

个

2030804030

数

(1)列出频率分布表；

(2)画出频率分布直方图；

(3)估计电子元件寿命在400h以上的在总体中所占的比例.

［解］(1)样本频率分布表如下：

寿命频频

/h数率

10020

-2000.10

20030

-3000.15

30080

~4000.40

40040

-5000.20

50030

-6000.15

合计21

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00.00

(2)频率分布直方图如图所示.

(3)估计电子元件寿命在400h以上的在总体中占的比例为0.20+0.15=0.35.

4.2.总体集中趋势的估计

［例5］对划艇运动员甲、乙两人在相同的条件下进行了6次测试，测得他

们的最大速度(单位：m・s」)的数据如下：

甲2.7,3.8,3.0,3.7,3.5,3.1；

乙3.3,2.9,3.8,3.4,2.8,3.6.

根据以上数据，试判断他们谁更优秀.

［解］x甲=t(2.7+3.8+3.0+3.7+3.5+3.1)=4^=3.3,

^=1［(2,7-3,3)2+(3.8-3.3)2+...+(3.1-33)2］=1X0.94«0.16;

—119.8

x乙=4(3.3+2.9+3.8+3.4+2.8+3.6)=-^—=3.3,

5l=1［(3.3-3,3)2+(2.9-3.3)2+...+(3.6-3,3)2］=1x0.76^0.13.

所以九甲=X乙，其＞晶，说明甲、乙两人的最大速度的平均值相同，但乙比

甲更稳定，故乙比甲更优秀.

4.3.统计在实际问题中的决策作用

［例6］寒假期间，很多同学都喜欢参加“迎春花市摆档口”的社会实践活

动，下表是今年某个档口某种精品的销售数据.

2月2月2月2月2月18

日期

14日15日16日17日S

销白

3532433951

售天

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量/晚

4642505260

件上

已知摊位租金900元/档，售余精品可以按进货价退回厂家.

（1）求表中10个销售数据的中位数和平均数；

（2）明年花市期间甲、乙两位同学想合租一个摊位销售同样的精品，其中甲、

乙分别承包白天、晚上的精品销售，承包时间段内销售所获利润归承包者所

有.如果其他条件不变，以今年的数据为依据，甲、乙两位同学应如何分担租

金才较为合理？

43+46

［解］（1）中位数为‘^-=44.5,

…,35+46+32+42+43+50+39+52+51+60

平均数为--------------------m--------------------------=45,

（2）由题知，今年花市期间该摊位所售精品的销售量与时间段有关，明年合

租摊位的租金较为合理的分摊方法是根据今年的平均销售量按比例分担.

‘八刀八少,35+32+43+39+51,

今年白天的平均销售量为--------7-------------=40（件L/天），

人匕.,人丁以八，八3八46+42+50+52+60小丁

今年晚上的平均销售重为-------------------=50（件/天）,

所以甲同学应分担的租金为900X40+50=400（元）,

乙同学应分担的租金为90。X40工50=5。0（元）•

5.章末检测（九］

（时间：120分钟满分：150分）

一'单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的

四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.某校一年级有男生560人，女生420人，用分层随机抽样的方法从该年

级全体学生中抽取一个样本量为140的样本，则此样本中男生人数为（）

A.80B.120

C.160D.240

解析：选A因为男生和女生的比例为560：420=4：3,样本量为140,

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4

所以应该抽取男生的人数为140义二耳=80.故选A.

2.一组样本数据为：19,23,12,14,14,17,10,12,18,14,27,则

这组数据的众数和中位数分别为（）

A.14,14B.12,14

C.14,15.5D.12,15.5

解析：选A把这组数据按从小到大排列为：10,12,12,14,14,14,

17,18,19,23,27,则可知其众数为14,中位数为14.

3.某校高二年级有50人参加2020“希望杯”数学竞赛，他们竞赛的成绩

制成了如下的频率分布表，根据该表估计该校学生数学竞赛成绩的平均分为

（）

分

[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

组

频

0.20.40.30.1

率

A.70B.73

C.78D.81.5

解析：选C估计该校学生数学竞赛成绩的平均分x=65X0.2+75X0.4+

85X0.3+95X0.1=78.故选C.

4.中国农历的“二十四节气”是凝结着中华民族的智慧与传统文化的结

晶，“二十四节气”歌是以“春、夏、秋、冬”开始的四句诗，2016年11月

30日，“二十四节气”正式被联合国教科文组织列入人类非物质文化遗产，也

被誉为“中国的第五大发明”.某小学三年级共有学生500名，随机抽查100

名学生并提问“二十四节气”歌，只能说出春夏两句的有45人，能说出春夏秋

三句及其以上的有32人，据此估计该校三年级的500名学生中，对“二十四节

气”歌只能说出第一句“春”或一句也说不出的大约有（）

A.69人B.84人

C.108人D.115人

解析：选D由题意知，随机抽查的100人中只能说出第一句“春”，或

一句也说不出的同学有100—45—32=23人，故只能说出第一句“春”或一句

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也说不出的学生占的比例为病，故只能说出第一句“春”或一句也说不出的学

23

生共有500X^=115人.

5.一个样本量为80的样本中，数据的最大值为152,最小值为60,组距

为10,应将样本数据分为（）

A.10组B.9组

C.8组D.7组

解析：选A由题意知，15：［60=9.2,故应分成10组.

6.小波一星期的总开支分布如图①所示，一星期的食品开支如图②所示,

则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为（）

其他5%

食品开

储蓄支30%

30%

通讯开支5%

日常开支20%

娱乐开支10%

图①

•)

兀

20

O0

80

60

40

20

o鸡蛋牛奶肉类蔬菜其他

图②

A.1%B.2%

C.3%D.5%

解析：选C由题图②知，小波一星期的食品开支为300元，其中鸡蛋开

支为30元，占食品开支的10%,而食品开支占总开支的30%,所以小波一星期

的鸡蛋开支占总开支的百分比为3%.

7.某商场一年中各月份的收入、支出情况如图所示，下列说法中正确的是

()

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利润=收入-支出

A.支出最高值与支出最低值的比是8：1

B.4至6月份的平均收入为50万元

C.利润最高的月份是2月份

D.2至3月份的收入的变化率与11至12月份的收入的变化率相同

解析：选D由图可知，支出最高值为60万元，支出最低值为10万元，

其比是6:1,故A错误.

由图可知，4至6月份的平均收入为gx(50+30+40)=40(万元)，故B错误.

由图可知，利润最高的月份为3月份和10月份，故C错误.

由图可知，2至3月份的收入的变化率为咚界=-20,与11至12月份的

收入的变化率为母=—2。，故D正确.

8.某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13s与19s之间，将

测试结果按如下方式分成六组：[13,14),[14,15),[15,16),[16,17),[17,

18),[18,19].如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.设成绩小于17s

的学生人数占全班总人数的百分比为x,成绩大于等于15s且小于17s的学生

人数为y，平均成绩为z,则从频率分布直方图中可分析出x,y,z的值分别为()

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A.90%,35,15.86B.90%,45,15.5

C.10%,35,16D.10%,45,16.8

解析：选A由频率分布直方图，可得x=[l—（0.06+0.04）]X100%=90%,

）=50X（0.36+0.34）=35,第一组的频数为0.02X50=1,第二组的频数为

0.18X50=9,第三组的频数为0.36X50=18,第四组的频数为0.34X50=17,

第五组的频数为0.06X50=3,第六组的频数为0.04X50=2,则z=表（13.5Xl

793

+14.5X9+15.5X18+16.5X17+17.5X3+18.5X2）=^-=15.86,故选A.

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的

四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全

的得2分，有选错的得0分）

9.关于统计数据的分析，有以下几个结论，其中正确的是（）

A.一组数据不可能有两个众数

B.将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，方差没有变化

C.一组数据的方差一定是正数

D.一组数据的方差是$2,将这组数据中的每一个数都乘2,得到一组新数

据的方差是4s2

解析：选BD一组数据中可以有多个众数，故结论A错误；根据方差的计

算方法可知结论B正确；方差可以是零，故结论C错误；由方差的性质可知新

数据的方差是4s2,故结论D正确.

10.PM2.5是衡量空气质量的重要指标.下图是某地9月1日到10日的

PM2.5日均值（单位：ug/n?）的折线图，则下列说法正确的是（）

A.这10天中PM2.5日均值的众数为33

B.这10天中PM2.5日均值的中位数是32

C.这10天中PM2.5日均值的中位数大于平均数

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D.这10天中PM2.5日均值前4天的方差大于后4天的方差

解析：选ABD由折线图得，这10天中PM2.5日均值的众数为33,中位

31+33]

数为-2—=32,平均数为正X（36+26+…+33）=39.9,中位数小于平均数；

前4天的数据波动比后4天的波动大，故前4天的方差大于后4天的方差.故

选A、B、D.

11.如图是某公司2019年1月至12月空调销售任务及完成情况的气泡图,

气泡的大小表示完成率的高低，如10月份销售任务是400台，完成率为90%,

则下列叙述不正确的是（）

泳

6磅

毕

、

力

A.2019年3月的销售任务是400台

B.2019年月销售任务的平均值不超过600台

C.2019年第一季度总销量为900台

D.2019年月销量最大的是6月份

解析：选CD由题图得3月份的销售任务是400台，所以A正确；由题图

得2019年月销售任务超过600台的只有3个月，则平均值不超过600台，所以

B正确；由题图得第一季度的总销量为300X50%+200XI00%+400X120%=

830（台），故C不正确；由题图得销量最大的月份是5月份，为800台，故D不

正确.

12.在某次高中学科竞赛中，4000名考生的参赛成绩统计如图所示，60分

以下视为不及格，若同一组中数据用该组区间的中点值作代表，则下列说法中

正确的是（）

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A.成绩在［70,80)内的考生人数最多

B.不及格的考生人数为1000

C.考生竞赛成绩的平均分约为70.5分

D.考生竞赛成绩的中位数为75分

解析：选ABC由频率分布直方图可得，成绩在［70,80)内的频率最高，

因此考生人数最多，故A正确；由频率分布直方图可得，成绩在［40,60)内的

频率为10X(0.01+0.015)=0.25,因此不及格的人数为4000X0.25=1000,故

B正确；由频率分布直方图可得，平均分约为45X0.1+55X0.15+65X0.2+

75X0.3+85X0.15+95X0.1=70.5(分)，故C正确；因为成绩在［40,70)内的频

率为10X(0.01+0.015+0.02)=0.45,在［70,80)内的频率为+3,所以中位数为

,0.5-0.45,……

70+10X———七71.67,故D错误.故选A、B、C.

三'填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线

上)

13.某产品售后服务中心随机选取了10个工作日，分别记录了每个工作日

接到的客户服务电话的数量(单位：次)：

63382542564853392847

则上述数据的50%分位数为.

解析：把这组数据从小到大排序：25,28,38,39,42,47,48,53,56,

63,则10X50%=5.

42+4789

所以50%分位数为\-=2=445

答案：44.5

14.某人5次上班途中所花的时间(单位：分)分别为x,y,10,11,9.已知

这组数据的平均数为10,方差为2,则|x—y|的值为.

解析：由平均数为10,得(x+y+10+ll+9)x］=10,则x+y=20.又方差

为2,

［U-10)2+Cv-10)2+(10-10)2+(11-10)2+(9-10)2］=2,得x^+y2

=208,则2xy=192,

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.".|A—y|=7（x-y）2=2A>,==4.

答案：4

15.一个班组共有20名工人，他们的月工资情况如下:

工资444443

H（元）600440320220150980

人数245522

则该班组工人月工资的平均数为

解析：平均数x=(4600X2+4440X4+4320X5+4220X5+4150X2+3

980X2)+20=4296.

答案：4296

16.学校开展“书香校园”活动以来，受到同学们的广泛关注.学校为了

解全校学生课外阅读的情况，随机调查了部分学生在一周内借阅图书的次数,

并制成如图不完整的统计图表.

，江c的大小关系

为

答案：a<b=c

四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证

明过程或演算步骤）

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17.(本小题满分10分)为了了解小学生的体能情况，抽取某校一个年级的

部分学生进行一分钟跳绳次数的测试，将数据整理后，画出频率分布直方图(如

图所示).已知图中从左到右前三个小组的频率分别为0.1,0.3,0.4,且第一小

组的频数为5.

⑴求第四小组的频率；

(2)求参加这次测试的学生的人数.

解：(1)第四小组的频率为1-0.1—0.3—0.4=0.2.

(2)设参加这次测试的学生有x人，

则0.1x=5,解得x=50,

故参加这次测试的学生有50人.

18.(本小题满分12分)某校高一(1)、(2)班各有49名学生，两班学生在一

天的数学测试中，全班的平均分为79分，得70分的人最多，我得了85分，在

班里算是上游了.”

(2)请你根据表中的数据分析两班的测试情况，并提出教学建议.

解：(1)由高一(1)班成绩的中位数是87分可知，85分排在第25名以后，从

名次上讲并不能说85分在班里是上游.

(2)高一(1)班成绩的中位数是87分，说明高于87分的人数将近一半，而平

均分为79分，标准差又很大，说明低分者很多，两极分化严重，建议对学习差

第14页共19页

的学生给予帮助.

高一(2)班成绩的中位数和平均数都是79分，标准差较小，说明学生成绩之

间的差别较小，学习差的学生较少，但学习优秀的学生也很少，建议采取措施

提高优秀学生的人数.

19.(本小题满分12分)某学校对男、女学生进行有关“习惯与礼貌”的评

分，记录如下：

男：54,70,57,46,90,58,63,46,85,73,55,66,38,44,56,

75,35,58,94,52；

女：77,55,69,58,76,70,77,89,51,52,63,63,69,83,83,

65,100,74.

(1)分别计算和比较男女生得分的平均数和方差；

(2)分别计算男、女生得分的四分位数.

解：(1)男生的平均得分为二=点35+38+44+…+94尸61;

男生的方差是鼎=点[(35—61)2+(38—61)2+…+(94—61)2]=256.25:

女生的平均得分是1\=*(51+52+55+…+89+100户71;

女生的方差是虎=卷(51—71)2+(52—71)2+—+(100—71)2餐162.11,

1O

Xv<Xa,s^>A.

(2)男生的数据从小到大的排序为：

35,38,44,46,46,52,54,55,56,57,58,58,63,66,70,73,75,85,90,94.

女生的数据从小到大排序为：

51,52,55,58,63,63,65,69,69,70,74,76,77,77,83,83,89,100.

所以男、女生的四分位数分别为

25%分50%分75%分

位数位数位数

男

4957.571.5

生

女6369.577

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生

20.(本小题满分12分)已知一组数据：

125121123125127129125128130129126124125

127126122124125126128

(1)填写下面的频率分布表：

频频

分组

数率

[121,123)

[123,125)

[125,127)

[127,129)

[129,131]

合计

(2)作出频率分布直方图；

(3)根据频率分布直方图或频率分布表求这组数据的众数、中位数和平均数.

解：(1)频率分布表如下：

频频

分组

数率

0

[121,123)2

.10

0

[123,125)3

.15

0

[125,127)8

.40

0

[127,129)4

.20

0

[129,131]3

.15

21

合计

0.00

(2)频率分布直方图如下：

第16页共19页

频率

0.2组距

0.15

0.1

0.05

O121123125127129131数据

(3)在［125,127)中的数据最多，取这个区间的中点值作为众数的近似值，得

众数126,事实上，众数的精确值为125.

_,,0.5—0.25

图中虚线对应的数据是125+―而一=126.25,

事实上，中位数为125.5.

使用“组中值”求平均数：

7=122X0.1+124X0.15+126X0.4+128X0.2+130X0.15=126.3,

事实上，平均数的精确值为x=125.75.

21.(本小题满分12分)随着“互联网+交通”模式的迅猛发展，“共享单

车”在很多城市相继出现.某运营公司为了了解某地区用户对其所提供的服务

的满意度，随机调查了10名用户，得到用户的满意度评分分别为

92,84,86,78,89,74,83,78,77,89.

(1)计算样本的平均数7和方差.*；

(2)在(1)条件下，若用户的满意度评分在［三一S,7+s］之间，则满意度等

级为“A级”.试估计该地区满意度等级为“A级”的用户所占的百分比.

参考数据：回心5.48,病心5.74,735^5.92.

——1

角k(l)x=-^X(92+84+86+78+89+74+83+78+77+89)=83,

222

,*=木X［(92-83)+(84—83)2+(86—83)2+(78-83)+(89-83)+(74-

222

83)2+(83.83)+(78-83)2+(77-83)+(89-83)］=33.

(2)由题意知［83—而，83+733］,即［77.26,88.74］.

调查的10名用户评分数据中，在［77,26,88.74］内共有5名，则该地区满意度

等级为“A级”的用户所占的百分比约为得X100%=50%.

22.(本小题满分12分)一家经销鲜花产品的微店，为保障售出的百合花品

质，每