2023-2024学年四川省成都市邛崃区高埂中学八年级（上）第一次统考数学试卷（含解析）

2023-2024学年四川省成都市邛崃区高埂中学八年级（上）第一次统考数学试卷一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1．（4分）下列实数中，无理数是（）A．3.1415926 B．﹣0.202002000 C． D．2．（4分）如图，以直角三角形的三边为边向外作正方形，根据图中数据，可得出正方形A的面积是（）A．12 B．24 C．30 D．103．（4分）下列说法正确的是（）A．的算术平方根是2 B．9的立方根是3 C．的平方根是 D．是的一个平方根4．（4分）已知，则的值是（）A．0.1a B．a C．1.1a D．10.1a5．（4分）若的整数部分为x，小数部分为y，则（x+）y的值是（）A． B．3 C． D．﹣36．（4分）下列命题中，假命题是（）A．实数和数轴上的点是一一对应的 B．a＝3，b＝4，c＝5是一组勾股数 C．有公共顶点且相等的两个角是对顶角 D．函数中自变量x的取值范围是x≥27．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，△ACD和△BCE均为等腰直角三角形，且面积之和为，则AB＝（）A． B．25 C． D．108．（4分）在△ABC中，三边长分别为a、b、c，且a+c＝2b，c﹣a＝b，则△ABC是（）A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形二．填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9．（4分）的平方根；的立方根．10．（4分）有一个水池，水面是一个边长为14尺的正方形，在水池的正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，则这根芦苇长尺．11．（4分）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，a+b＝14cm，c＝10cm，则Rt△ABC的面积等于．12．（4分）比较大小：23，．13．（4分）如图，圆柱形容器中，高为1.2m，底面周长为1m，在容器内壁离容器底部0.3m的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为m（容器厚度忽略不计）．三．解答题（本大题共5个小题，共48分，其中14题12分，15-16题每题8分，17-18题每题10分）14．（12分）计算下列各题：（1）+﹣；（2）+﹣|1﹣|；（3）（﹣1）2﹣（﹣）（+）；（4）．15．（8分）聊城市在创建“全国文明城市”期间，某小区在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地．如图，经技术人员的测量，已知AB＝9m，BC＝12m，CD＝17m，AD＝8m，∠ABC＝90°．若平均每平方米空地的绿化费用为150元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？16．（8分）已知a+1的平方根是±5，b的立方根是﹣2，c是的整数部分；（1）直接写出a、b、c的值；（2）若x是的小数部分，求的算术平方根．17．（10分）对于整数n，定义[]为不大于的最大整数，例如：[]＝1，[]＝2，[]＝2．（1）直接写出[]的值；（2）显然，当[]＝1时，n＝1，2或3．①当[]＝2时，直接写出满足条件的n的值；②当[]＝10时，求满足条件的n的个数；（3）对72进行如下操作：72[]＝8[]＝2[]＝1，即对72进行3次操作后变为1，类似地：①对25进行次操作后变为2；②对整数m进行3次操作后变为2，直接写出m的最大值．18．（10分）阅读材料，解决问题：我们可以在网格纸中通过构造三角形的方法来比较无理数的大小，例如在图1中，正方形网格纸中，每个小正方形的边长都是1，线段AB的长度为，线段BC的长度为，显然，＜．（1）试比较+1与的大小，并说明理由；（2）请在图2中尝试用构造图形的方法比较+2与的大小，在图3中尝试用构造图形的方法比较+2+与的大小；（3）请运用以上的构图思想，在图4中构图，并求出+的最小值．一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19．（4分）据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥秘．华罗庚给出了如下方法：（1）由103＝1000，1003＝1000000，确定是两位数；（2）由59319个位上的数是9，确定个位上的数是9；（3）划去59319后面的三位319得到59，而33＝27，43＝64，由此确定十位上的数是3．请你类比上述过程，确定21952的立方根是．20．（4分）已知a、b为非零实数，且|4﹣2a|+（b+2）2++4＝2a，则＝．21．（4分）如图，在直角三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点D在边AB上，以CD为折痕将△CBD折叠得到△CFD，CF与边AB交于点E，当DF⊥AB时，BD的长是．22．（4分）如图，△ABF、△BCG、△CDH、△DAE为四个全等的直角三角形，BD与CH、EG、AF分别交于点M、O、N，且满足DN＝DC，则两个阴影部分的面积和与四边形ABCD面积的比值为．23．（4分）如图，点P是矩形ABCD内任意一点，连接PA，PB，PC，PD，记∠PAB＝θ1，∠PBC＝θ2，∠PCD＝θ3，∠PDA＝θ4，则下列各结论一定成立的有（填序号）．①S△PAD+S△PBC＝S△PAB+S△PCD；②若∠APB＝80°，∠DPC＝50°，则θ1﹣θ2+θ3﹣θ4＝50°；③PA2+PC2＝PB2+PD2；④S△ABP＝S△ADP，则P在对角线AC上．二、解答题（本小题共3个小题，共30分，其中24题8分，25题10分，26题12分）24．（8分）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形气旋风暴，有极强的破坏力，此时某台风中心在海域B处，在沿海城市A的正南方向240千米，其中心风力为12级，每远离台风中心25千米，台风就会减弱一级，如图所示，该台风中心正以20千米/时的速度沿北偏东30°方向向C移动，且台风中心的风力不变，若城市所受风力超过4级，则称受台风影响．试问：（1）A城市是否会受到台风影响？请说明理由．（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？25．（10分）先阅读下列解答过程，然后再解答：小芳同学在研究化简中发现：首先把化为，由于4+3＝7，4×3＝12，即：＝7，，所以，问题：（1）填空：＝，＝；（2）进一步研究发现：形如的化简，只要我们找到两个正数a，b（a＞b），使a+b＝m，ab＝n，即＝m，，那么便有：＝．（3）化简：（请写出化简过程）．26．（12分）如图1，在△ABC和△ADB中，∠DAE＝∠BAC，AD＝AE，AB＝AC．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）如图2，在△ABC和△ADE中，∠DAE＝∠BAC，AD＝AE，AB＝AC，∠ADB＝90°，点E在△ABC内，延长DE交BC于点F，求证：点F是BC中点；（3）△ABC为等腰三角形，∠BAC＝120°，AB＝AC，点P为△ABC所在平面内一点，∠APB＝120°，AP＝2，BP＝4，请直接写出CP的长．

2023-2024学年四川省成都市邛崃区高埂中学八年级（上）第一次统考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1．（4分）下列实数中，无理数是（）A．3.1415926 B．﹣0.202002000 C． D．【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【解答】解：A.3.1415926是有限小数，属于有理数；B﹣0.202002000是有限小数，属于有理数；C.，是整数，属于有理数；D.是无理数．故选：D．【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．2．（4分）如图，以直角三角形的三边为边向外作正方形，根据图中数据，可得出正方形A的面积是（）A．12 B．24 C．30 D．10【分析】利用勾股定理，进行计算即可解答．【解答】解：由勾股定理可得：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，∴正方形A的边长的平方＝18+6＝24，∴正方形A的面积＝24，故选：B．【点评】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．3．（4分）下列说法正确的是（）A．的算术平方根是2 B．9的立方根是3 C．的平方根是 D．是的一个平方根【分析】分别根据平方根，立方根和算术平方根的概念对各选项进行分析即可．【解答】解：A、∵＝2，2的算术平方根是，∴的算术平方根是，不符合题意；B、27的立方根是3，不符合题意；C、的算术平方根是，不符合题意；D、﹣是的一个平方根，符合题意．故选：D．【点评】本题考查的是平方根，立方根和算术平方根的概念，熟知以上知识是解题的关键．4．（4分）已知，则的值是（）A．0.1a B．a C．1.1a D．10.1a【分析】根据被开方数的变化与立方根的值的变化之间的变化规律即可得到答案．【解答】解：∵，∴．故选：D．【点评】本题考查了被开方数的变化与立方根的值的变化之间的变化规律，掌握当被开方数的小数点每向右（或向左）移动3位，它的立方根的小数点就相应的向右（或向左）移动1位是关键．5．（4分）若的整数部分为x，小数部分为y，则（x+）y的值是（）A． B．3 C． D．﹣3【分析】先估算出的范围，再求出x、y的值，最后代入求出即可．【解答】解：∵2＜＜3，∴x＝2，y＝﹣2，∴（x+）y＝（2+）×（﹣2）＝7﹣4＝3，故选：B．【点评】本题考查了估算无理数的大小，能估算出的范围是解此题的关键．6．（4分）下列命题中，假命题是（）A．实数和数轴上的点是一一对应的 B．a＝3，b＝4，c＝5是一组勾股数 C．有公共顶点且相等的两个角是对顶角 D．函数中自变量x的取值范围是x≥2【分析】根据实数与数轴、勾股数的概念、对顶角的概念、函数自变量的取值范围判断即可．【解答】解：A、实数和数轴上的点是一一对应的，是真命题，不符合题意；B、a＝3，b＝4，c＝5是一组勾股数，是真命题，不符合题意；C、有公共顶点且相等的两个角是对顶角，是假命题，符合题意；D、函数y＝中自变量x的取值范围是x≥2，是真命题，不符合题意；故选：C．【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．7．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，△ACD和△BCE均为等腰直角三角形，且面积之和为，则AB＝（）A． B．25 C． D．10【分析】作DF⊥AC于点F，EL⊥BC于点L，由△ACD和△BCE均为等腰直角三角形，得DF＝AC，EL＝BC，由S△ACD+S△BCE＝，得AC×AC+BC×BC＝，则AC2+BC2＝50，由勾股定理得AB＝＝5，于是得到问题的答案．【解答】解：作DF⊥AC于点F，EL⊥BC于点L，∵△ACD和△BCE均为等腰直角三角形，∴DF＝CF＝AF＝AC，EL＝BL＝CL＝BC，∵S△ACD+S△BCE＝，∴AC×AC+BC×BC＝，∴AC2+BC2＝50，∵∠ACB＝90°，∴AB＝＝＝5，故选：A．【点评】此题重点考查等腰直角三角形的性质、三角形的面积公式、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．8．（4分）在△ABC中，三边长分别为a、b、c，且a+c＝2b，c﹣a＝b，则△ABC是（）A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形进行判断即可．【解答】解：∵a+c＝2b，c﹣a＝b，∴c2﹣a2＝b2，∴△ABC是直角三角形．故选：A．【点评】此题主要考查了勾股定理的逆定理，勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．二．填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9．（4分）的平方根±3；的立方根．【分析】第一个空，先用算术平方根求的结果，再用开平方求的最后结果；第二个空，直接开立方得结果．【解答】解：∵＝9，∴的平方根是：±3．∵＝﹣，∴的立方根是：﹣．故答案为：±3，﹣．【点评】本题主要考查了平方根、算术平方根、立方根的概念的运用，掌握几个概念的熟练应用是解题关键．10．（4分）有一个水池，水面是一个边长为14尺的正方形，在水池的正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，则这根芦苇长25尺．【分析】我们可以将其转化为数学几何图形，如图所示，根据题意，可知EB'的长为14尺，则B'C＝7尺，设出AB＝AB'＝x尺，表示出水深AC，根据勾股定理建立方程即可．【解答】解：依题意画出图形，设芦苇长AB＝AB′＝x尺，则水深AC＝（x﹣1）尺，因为B'E＝14尺，所以B'C＝7尺在Rt△AB'C中，∵CB′2+AC2＝AB′2∴72+（x﹣1）2＝x2，解得x＝25，∴这根芦苇长25尺，故答案为25．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，正方形的性质等知识，熟悉数形结合的解题思想是解题关键．11．（4分）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，a+b＝14cm，c＝10cm，则Rt△ABC的面积等于24cm2．【分析】利用勾股定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将a+b与c的值代入求出ab的值，即可确定出直角三角形的面积．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，a+b＝14cm，c＝10cm，∴由勾股定理得：a2+b2＝c2，即（a+b）2﹣2ab＝c2＝100，∴196﹣2ab＝100，即ab＝48，则Rt△ABC的面积为ab＝24（cm2）．故答案为：24cm2．【点评】此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．12．（4分）比较大小：2＜3，＞．【分析】①将算术平方根外的数字移到平方根内，再进行比较；②先比较＞3利用不等式性质两边都减1，再都除以3即可．【解答】解：①2＝，3＝，∵12＜18，∴＜，∴2＜3；②∵＞3，∴﹣1＞2，∴＞．故答案为：①＜；②＞．【点评】本题考查实数的大小比较问题，掌握实数比较大小的方法和不等式的性质，还会用不等式的性质解题是关键．13．（4分）如图，圆柱形容器中，高为1.2m，底面周长为1m，在容器内壁离容器底部0.3m的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为1.3m（容器厚度忽略不计）．【分析】将容器侧面的一半展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．【解答】解：∵高为1.2m，底面周长为1m，在容器内壁离容器底部0.3m的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处，∴A′D＝0.5m，BD＝1.2﹣0.3+AE＝1.2m，如图：将容器侧面的一半展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离，A′B＝＝＝1.3（m）．故答案为：1.3．【点评】本题考查了平面展开﹣﹣﹣最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．三．解答题（本大题共5个小题，共48分，其中14题12分，15-16题每题8分，17-18题每题10分）14．（12分）计算下列各题：（1）+﹣；（2）+﹣|1﹣|；（3）（﹣1）2﹣（﹣）（+）；（4）．【分析】（1）先根据二次根式的性质化简，然后合并同类二次根式即可；（2）先根据平方根、立方根的定义、绝对值的性质化简，然后计算加减；（3）利用完全平方根式和平方差公式先化简，然后计算加减；（4）先根据运算法则计算除法，然后计算加减．【解答】解：（1）+﹣＝5+4﹣＝8；（2）+﹣|1﹣|＝3+（﹣2）﹣（﹣1）＝1﹣+1＝2﹣；（3）（﹣1）2﹣（﹣）（+）＝5﹣2+1﹣（6﹣5）＝6﹣2﹣1＝5﹣2；（4）＝（2+3）+﹣＝5+﹣＝5+2﹣＝5+．【点评】本题考查了实数是运算，解题的关键是掌握运算顺序，先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．15．（8分）聊城市在创建“全国文明城市”期间，某小区在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地．如图，经技术人员的测量，已知AB＝9m，BC＝12m，CD＝17m，AD＝8m，∠ABC＝90°．若平均每平方米空地的绿化费用为150元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？【分析】直接利用勾股定理得出AC，进而利用勾股定理逆定理得出∠DAC＝90°，再利用直角三角形面积求法得出答案．【解答】解：∵∠ABC＝90°，AB＝9m，BC＝12m，∴AC＝＝15（m），∵CD＝17m，AD＝8m，∴AD2+AC2＝DC2，∴∠DAC＝90°，∴S△DAC＝×AD•AC＝×8×15＝60（m2），S△ACB＝AB•AC＝×9×12＝54（m2），∴S四边形ABCD＝60+54＝114（m2），∴150×114＝17100（元），答：绿化这片空地共需花费17100元．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理以及勾股定理逆定理是解题关键．16．（8分）已知a+1的平方根是±5，b的立方根是﹣2，c是的整数部分；（1）直接写出a、b、c的值；（2）若x是的小数部分，求的算术平方根．【分析】（1）根据平方根、算术平方根、立方根的定义进行计算即可；（2）根据算术平方根的定义估算无理数的大小，确定x的值，再代入计算即可．【解答】（1）解：∵a+1的平方根是±5，∴a+1＝25，解得a＝24，又∵b的立方根是﹣2，∴b＝﹣8；又∵c是的整数部分，而，∴c＝3；∴a＝24，b＝﹣8，c＝3；（2）∵3＜＜4，x是的小数部分，∴，∴，∴的算术平方根为．【点评】本题考查估算无理数的大小，算术平方根、平方根、立方根，理解平方根、算术平方根以及立方根的定义是正确解答的前提．17．（10分）对于整数n，定义[]为不大于的最大整数，例如：[]＝1，[]＝2，[]＝2．（1）直接写出[]的值；（2）显然，当[]＝1时，n＝1，2或3．①当[]＝2时，直接写出满足条件的n的值；②当[]＝10时，求满足条件的n的个数；（3）对72进行如下操作：72[]＝8[]＝2[]＝1，即对72进行3次操作后变为1，类似地：①对25进行2次操作后变为2；②对整数m进行3次操作后变为2，直接写出m的最大值．【分析】（1）由[]的定义为不大于的最大整数即可写出[]的值；（2）由[]的定义为不大于的最大整数即可写出满足条件的n的值；（3）由[]的定义为不大于的最大整数即可得到25进行2次操作后变为1以及m的最大值．【解答】解：（1）∵＜＜，即，∴[]＝3；（2）①当[]＝2时，∵，∴n＝4，5，6，7，8；②当[]＝10时，∵，∴n＝100，101，102，103，104，105，106，107，108，109，110，111，112，113，114，115，116，117，118，119，120；∴n＝21；（3）①25[]＝5[]＝2；②∵[]＝80，[]＝8，[]＝2，∴对6560只需进行3次操作后变为2，∵[]＝81，[]＝9，[]＝3，∴只需进行3次操作后变为2的所有正整数中，最大的是6560，∴m的最大值为6560．故答案为：6560．【点评】本题本题考查了估算无理数的大小的应用、[]的定义，估算出无理数在哪两个整数之间是解决此题的关键．18．（10分）阅读材料，解决问题：我们可以在网格纸中通过构造三角形的方法来比较无理数的大小，例如在图1中，正方形网格纸中，每个小正方形的边长都是1，线段AB的长度为，线段BC的长度为，显然，＜．（1）试比较+1与的大小，并说明理由；（2）请在图2中尝试用构造图形的方法比较+2与的大小，在图3中尝试用构造图形的方法比较+2+与的大小；（3）请运用以上的构图思想，在图4中构图，并求出+的最小值．【分析】（1）由勾股定理求出BC和AB的长，由三角形三边关系可得答案；（2）方法同（1），画出图形即可得出答案；（3）由题意知AB＝2，DE＝4，BD＝10．设BC＝x，则AC＝，CE＝，则问题转化成求AC+CE的最小值，由勾股定理可得出答案．【解答】解：（1）如图1，+1．理由：由图可知，BC＝＝，AC＝1，AB＝＝，△ABC中，BC+AC＞AB，∴+1；（2）如图2可知，+2＞，如图3，同理可得＞；（3）如图4，取线段BD＝10，分别过B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，且AB＝2，DE＝4，连接AE，则AE为+（x≥0）的最小值，过点A作AF⊥ED交ED的延长线于F．则四边形ABDF是矩形，∴AF＝BD＝10，AB＝DF＝2，∵DE＝4，∴EF＝6，∴AE＝＝＝2．【点评】本题属于三角形综合题，考查了勾股定理，最值问题等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，会用转化的思想解决问题，属于中考压轴题．一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19．（4分）据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥秘．华罗庚给出了如下方法：（1）由103＝1000，1003＝1000000，确定是两位数；（2）由59319个位上的数是9，确定个位上的数是9；（3）划去59319后面的三位319得到59，而33＝27，43＝64，由此确定十位上的数是3．请你类比上述过程，确定21952的立方根是28．【分析】根据题目提供的方法，类推确定21952的立方根．【解答】解：（1）由103＝1000，1003＝1000000，确定是两位数；（2）由21952个位上的数是2，确定个位上的数是8；（3）划去21952后面的三位952得到21，而23＝8，33＝27，由此确定十位上的数是2，所以＝28，故答案为：28．【点评】本题考查立方根，数学常识，理解题目所提供的方法是解决问题的关键．20．（4分）已知a、b为非零实数，且|4﹣2a|+（b+2）2++4＝2a，则＝2．【分析】利用二次根式的性质可得：（a﹣4）⋅b2≥0，得到a＞4，由此可知：4﹣2a＜0，将所给等式化简，利用非负数是性质可求a，b的值，将a，b的值代入后化简即可得出结论．【解答】解：∵a，b为非零实数，且，∴（a﹣4）⋅b2≥0，解得：a≥4．∴4﹣2a＜0，∴，∴，∵（b+2）2≥0，，∴b+2＝0，（a﹣4）⋅b2＝0，∴a＝4，b＝﹣2，∴．故答案为：2．【点评】本题主要考查了实数的运算，二次根式的性质，非负数的应用，利用非负数的性质求得a，b的值是解题的关键．21．（4分）如图，在直角三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点D在边AB上，以CD为折痕将△CBD折叠得到△CFD，CF与边AB交于点E，当DF⊥AB时，BD的长是．【分析】作CH⊥AB于H．只要证明CH＝DH，即可解决问题．【解答】解：如图，作CH⊥AB于H．在Rt△ACB中，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝5，∴CH＝＝＝，∵∠ACB＝∠AHC＝90°，∴∠ACH+∠BCH＝90°，∠BCH+∠B＝90°，∴∠ACH＝∠B＝∠F，∵CH∥DF，∴∠F＝∠HCE，∴∠ACH＝∠HCE，∠DCE＝∠DCB，∴∠HCD＝45°，∴HC＝HD＝，∵AH＝＝＝，∴BD＝AB﹣AH﹣DH＝5﹣﹣＝．故答案为：．【点评】本题考查翻折变换、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握其性质定理．22．（4分）如图，△ABF、△BCG、△CDH、△DAE为四个全等的直角三角形，BD与CH、EG、AF分别交于点M、O、N，且满足DN＝DC，则两个阴影部分的面积和与四边形ABCD面积的比值为．【分析】利用全等三角形的性质，得到四边形ABCD和四边形EFGH为正方形，利用等腰三角形的性质可得AE＝EN，MG＝GC，设BF＝CG＝MG＝DH＝AE＝EN＝a，EF＝FG＝GH＝HE＝b，则DE＝DH+EH＝a+b，NF＝EF﹣EN＝b﹣a，利用平行线分线段成比例定理得到b＝a，再利用三角形的面积公式和正方形的面积公式分别计算两个阴影部分的面积和与四边形ABCD面积，则结论可得．【解答】解：∵△ABF、△BCG、△CDH、△DAE为四个全等的直角三角形，∴BF＝CG＝DH＝AE，BG＝CH＝DE＝AF，∴FG＝GH＝HE＝EF，∴四边形EFGH为正方形．∵△ABF、△BCG、△CDH、△DAE为四个全等的直角三角形，∴AB＝BC＝CD＝DA，∠BAF＝∠CBG，∵∠BAF+∠ABF＝90°，∴∠ABF+∠CBG＝90°，即∠ABC＝90°，∴四边形ABCD为正方形．∵DN＝DC，∴DN＝AD，∵ED⊥AF，∴AE＝EN，同理：MG＝CG，∴BF＝CG＝MG＝DH＝AE＝EN，设BF＝CG＝MG＝DH＝AE＝EN＝a，EF＝FG＝GH＝HE＝b，则DE＝DH+EH＝a+b，NF＝EF﹣EN＝b﹣a，∵DE⊥AF，BF⊥AF，∴DE∥BF，∴，∴，∴b2＝2a2，∵a＞0，b＞0，∴b＝a，∴DE＝（+1）a，∴AD2＝AE2+DE2＝＝（4+2）a2，∴＝（4+2）a2．∵S阴影＝S△ABN+S△DMC＝2a•a+2a•a＝2a2，∴两个阴影部分的面积和与四边形ABCD面积的比值为：＝，故答案为：．【点评】本题主要考查了勾股定理的证明和列代数式，解题的关键是求得图中直角三角形的直角边的长度和图中小正方形的边长．23．（4分）如图，点P是矩形ABCD内任意一点，连接PA，PB，PC，PD，记∠PAB＝θ1，∠PBC＝θ2，∠PCD＝θ3，∠PDA＝θ4，则下列各结论一定成立的有①②③④（填序号）．①S△PAD+S△PBC＝S△PAB+S△PCD；②若∠APB＝80°，∠DPC＝50°，则θ1﹣θ2+θ3﹣θ4＝50°；③PA2+PC2＝PB2+PD2；④S△ABP＝S△ADP，则P在对角线AC上．【分析】过点P作EF⊥AB于点E，交CD于点F，连接AC，则∠BEF＝∠BAD＝90°，可证明EF∥AD，EF＝AD，进而推导出S△PAB+S△PCD＝AB•EF＝AB•AD＝S矩形ABCD，则S△PAD+S△PBC＝S矩形ABCD＝S△PAB+S△PCD，可判断①正确；由∠APB＝80°，∠DPC＝50°，得∠PAB+∠PBA＝100°，∠PCD+∠PDC＝130°，而∠PBC＝90°﹣∠PBA，则θ1﹣θ2＝∠PAB﹣（90°﹣∠PBA）＝10°；因为∠PDA＝90°﹣∠PDC，所以θ3﹣θ4＝∠PCD﹣（90°﹣∠PDC）＝40°，则θ1﹣θ2+θ3﹣θ4＝10°+40°＝50°，可判断②正确；由PA2＝AE2+PE2＝DF2+PE2，PC2＝CF2+PF2＝BE2+PF2，得PA2+PC2＝PE2+BE2+PF2+DF2，由PB2＝PE2+BE2，PD2＝PF2+DF2，得PB2+PD2＝PE2+BE2+PF2+DF2，则PA2+PC2＝PB2+PD2，可判断③正确；由S△ABP＝S△ADP，S△ADP+S△PBC＝S△ABP+S△PCD，得S△PBC＝S△PCD，则S△ABP+S△PBC＝S△ADP+S△PCD＝S矩形ABCD＝S△ABC，所以点P在对角线AC上，可判断④正确，于是得到问题的答案．【解答】解：过点P作EF⊥AB于点E，交CD于点F，连接AC，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BEF＝∠BAD＝90°，AB＝CD，AB∥CD，AD∥BC，∴EF∥AD，∴EF＝AD，∠PFC＝∠ADC＝90°，∴PF⊥CD，∴S△PAB+S△PCD＝AB•PE+CD•PF＝AB•EF＝AB•AD＝S矩形ABCD，∴S△PAD+S△PBC＝S矩形ABCD﹣（S△PAB+S△PCD）＝S矩形ABCD，∴S△PAD+S△PBC＝S△PAB+S△PCD，故①正确；∵∠APB＝80°，∠DPC＝50°，∠ABC＝∠ADC＝90°，∴∠PAB+∠PBA＝180°﹣∠APB＝100°，∠PCD+∠PDC＝180°﹣∠DPC＝130°，∵∠PBC＝90°﹣∠PBA，∴θ1﹣θ2＝∠PAB﹣∠PBC＝∠PAB﹣（90°﹣∠PBA）＝∠PAB+∠PBA﹣90°＝10°；∵∠PDA＝90°﹣∠PDC，∴θ3﹣θ4＝∠PCD﹣∠PDA＝∠PCD﹣（90°﹣∠PDC）＝∠PCD+∠PDC﹣90°＝40°，∴θ1﹣θ2+θ3﹣θ4＝10°+40°＝50°，故②正确；∴EF∥AD∥BC，AE⊥AD，DF⊥AD，BE⊥BC，CF⊥BC，∴AE＝DF，BE＝CF，∵PA2＝AE2+PE2＝DF2+PE2，PC2＝CF2+PF2＝BE2+PF2，∴PA2+PC2＝PE2+BE2+PF2+DF2，∵PB2＝PE2+BE2，PD2＝PF2+DF2，∴PB2+PD2＝PE2+BE2+PF2+DF2，∴PA2+PC2＝PB2+PD2，故③正确；∵S△ABP＝S△ADP，S△ADP+S△PBC＝S△ABP+S△PCD，∴S△PBC＝S△PCD，∴S△ABP+S△PBC＝S△ADP+S△PCD＝S矩形ABCD，∵S△ABC＝AB•BC＝S矩形ABCD，∴S△ABP+S△PBC＝S△ABC，∴点P在对角线AC上，故④正确，故答案为：①②③④．【点评】此题重点考查矩形的性质、两条平行线之间的距离处处相等、三角形内角和定理、三角形的面积公式、矩形的面积公式、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．二、解答题（本小题共3个小题，共30分，其中24题8分，25题10分，26题12分）24．（8分）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形气旋风暴，有极强的破坏力，此时某台风中心在海域B处，在沿海城市A的正南方向240千米，其中心风力为12级，每远离台风中心25千米，台风就会减弱一级，如图所示，该台风中心正以20千米/时的速度沿北偏东30°方向向C移动，且台风中心的风力不变，若城市所受风力超过4级，则称受台风影响．试问：（1）A城市是否会受到台风影响？请说明理由．（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？【分析】（1）求是否会受到台风的影响，其实就是求A到BC的距离是否大于台风影响范围的半径，如果大于，则不受影响，反之则受影响．如果过A作AD⊥BC于D，AD就是所求的线段．直角三角形ABD中，有∠ABD的度数，有AB的长，AD就不难求出了．（2）受台风影响时，台风中心移动的距离，应该是A为圆心，台风影响范围的半径为半径，所得圆截得的BC上的线段的长即EF得长，可通过在直角三角形AED和AFD中，根据勾股定理求得．有了路程，有了速度，时间就可以求出了．（3）风力最大时，台风中心应该位于D点，然后根据题目给出的条件判断出时几级风．【解答】解：（1）该城市会受到这次台风的影响．理由是：如图，过A作AD⊥BC于D．在Rt△ABD中，∵∠ABD＝30°，AB＝240，∴AD＝AB＝120，∵城市受到的风力超过四级，则称受台风影响，∴受台风影响范围的半径为25×（12﹣4）＝200．∵120＜200，∴该城市会受到这次台风的影响．（2）如图以A为圆心，200为半径作⊙A交BC于E、F．则AE＝AF＝200．∴台风影响该市持续的路程为：EF＝2DE＝2＝320．∴