经济学刚体的平面运动

第九章刚体的平面运动本章重难点：刚体平面运动的定义:平面图形内各点速度的确定（基点法、瞬心法、投影法）平面图形内各点的加速度的确定运动学综合问题§9–1刚体平面运动的概述和运动分解刚体平面运动的定义:

在运动中,刚体上的任意一点与某一固定的平面始终保持距离相等.这样的刚体运动称为平面运动.

刚体平面运动可简化为平面图形在其自身所在的平面内的任意运动.O´M

Oxy或:上面的式子称为刚体的平面运动方程刚体的平面运动方程:平面图形在平面参考系的位置,可由图形上的一线段O´M来描述,而此线段的位置,可由点O´的位置矢量

,及线段O´M与水平的夹角来确定.O´M

Oxy如果刚体作平动.O´的运动描述了整个刚体的运动.如果刚体的运动方程退化为:刚体绕O´轴作定轴转动.转动方程为

由此可见,刚体的平面运动可以看成是由刚体的平动和定轴转动叠加而成的运动.

如图上的刚体作平面运动,可以看作以O´描述的刚体的平动和刚体绕O´点转动的合成运动.我们在这里称O´点为‘基点’.或:

轮子作平面运动,选轮心O´为基点,建立一平动坐标系.平动坐标系的运动是刚体的运动.如图示,平动坐标系的运动与车厢的运动并无二致.

★平面运动刚体上任意点运动,都是随以基点为原点的平动坐标系的平动和绕基点转动的合成运动.简言之,就是‘随基点的平动,绕基点的转动.’▲平动坐标系:

若有一平面运动的刚体,其上点的速度和加速度分布我们暂且不知,但是根据前面的分析,我们可以选刚体上的某一个点,这个点我们称之为‘基点’.以此点建立一个坐标平面,此平面上的所有点的运动状态都与‘基点’相同.显然,这个坐标平面作的是平动.在此平面上建立的坐标系我们称为‘平动坐标系’.而坐标系的原点就是‘基点.’

图示轮子上任意一点的运动(除了轮心以外)都是以轮心为原点的坐标系的直线平动和绕轮心的圆周运动的合运动.O´x´y´x´y´O´O´

§9–2求平面图形内各点速度的基点法

在上一节里,我们已经可以了解到,平面运动的刚体上,如果选择了一个点为基点,则刚体上其余的点的运动都是:随基点的平动与绕基点的转动的合成.所谓‘基点法’就是合成法.它是用点的合成运动的理论分析刚体平面运动.如果已知平面运动的刚体上某一点O´的速度VO´和刚体的角速度

,则可用基点法求其上任意一点M的速度.于是,M点的速度便是O´的速度(牵连速 度)

与M点绕O´点转动的速度(相对速度)的矢量和.:取O´点为基点,(这时,可想象平面 上建立了一个运动的状态可用O´ 点来描述的平动坐标系.M

O´M又,将上式沿O´M的方向投影上式称作‘速度投影定理’.在这里,它表明:作平面运动刚体上任意两点的速度在此两点连线上的投影相等.

速度投影定理是刚体的一个重要属性.xyO

AB例一.椭圆规尺的A端以速度VA

沿x轴的负向运动,AB=l.试求AB杆与水平 的夹角为时,B端的速度以及杆AB的角速度.

解:AB杆平面运动以A为基点,B点的速度分析如图示

又,将(1)式沿AB方向投影也可求的B点的速度:90º-

ABO

例二.曲柄连杆机构,已知曲柄OA=r,以匀角速度绕O点转动.

连杆AB=r,求:当曲柄运动到水平位置和铅垂位置时,AB杆的角速度和B点的速度.ABO

解:(1)AB杆平面运动,A,B点 的速度方向如图示.由速度投影定理(沿AB)可得VB=0.VA=r以B为基点,A点的速度合成为:即,(方向如图)

AB(2)AB杆平面运动,A,B的速度方向如图.由可知:

AB杆此时的运动状态称为‘瞬时平动’.

由速度投影定理可得:§9–3求平面图形内各点的速度的‘瞬心’法前面的例二中,我们得知作平面运动的AB杆在运动到水平位置这一瞬时,B点的速度为零.在第六章《点的运动学》中，我们曾用点的运动方程计算出作纯滚动的圆轮在轮缘处的点在与地面接触的瞬时其速度为零.M点的速度:OMO1

xyOrMC这种现象决非偶然,实际上,作平面运动的刚体在任意瞬时都有,且仅有一个速度为零的点,其中包括一无穷远点.这一点,我们称之为‘瞬时速度中心’,简称为‘速度瞬心’.A

M存在性:在平面图形上,在与VA

垂直方向上的点的速度合成必是代数叠加.C点为速度瞬心C唯一性:设以瞬心C为基点,则M点的速度为:又设另一点瞬心C´为基点,则M点速度为:显然,C点和C´点重合.其中必有一点C如果以速度瞬心作为基点,则速度的合成只剩下‘绕基点的转动’了.

利用速度瞬心对平面图形进行速度分析非常方便,因而得到广泛的应用. ABAB▲(1)任意瞬时,平面运动刚体上必有一速度为零的点,此点称为刚体的 速度瞬心.此时,刚体上其它的点都绕此点作‘瞬时转动’.(2)任一瞬时只有一个速度瞬心,其中包括无穷远点.(3)速度瞬心可以在刚体内部,也可以在刚体的延拓部分.(4)速度瞬心的速度为零,但其加速度一般不为零.★速度瞬心的求法O´(a)O´(b)BA(c)O´AB(d)无穷远点瞬时平动O´(e)在固定面上纯滚动的刚体与固定面的接触点.例一.(书上例9–2)图示四连杆机构.已知AB=BD=DE=l=300mm, BD∥AE,=5rad/s,C为BD杆的中点.求:VC,

DE.解:BD杆作平面运动,O´为其速度瞬心.O´60º60º

AEDBC方向如图示OA

0BCr1r2例二.(书上例9–4)图示行星轮机构.齿轮固定,半径为r1;行星齿轮在齿轮上只滚不滑,其半径为r2.已知系杆OA的角速度为0.

求:行星齿轮的角速度和图示瞬时其上B,C两点的速度.D解:齿轮在固定的圆弧上作纯滚动.

二轮的接触点D为齿轮的速度瞬心.方向如图示DFEBO1AOn例三.(习9–12)图示小型精压机的传动机构,OA=O1B=r=o.1m,EB=BD=AD=l=0.4m.在图示瞬时,OAAD,O1BED,O1D连线为水平.OD及EF连线为铅直.已知曲柄OA的转速为n=120r/min,

求:此时压头F的速度.解:ED,AD杆平面运动.

由结构及E,B点可能的运动方向

ED杆的速度瞬心为C点(如图示)C根据A,D二点的速度投影关系,可判断出ED杆的转向及E,B,D处的速度方向.由速度投影定理:

CE=CD,EF杆平动,

BA§9–4用基点法求平面图形内各点的加速度如果已知平面运动的刚体上某一点A的加速度aA和刚体的角速度

,角加速度

.

则可用基点法求其上任意一点B的加速度.

:取A点为基点,(这时,可想象平面上建立了一个运动的状态可用A点来描述的平动坐标系.)

于是,B点的加速度便是A的加速度(牵连加速度)与B点绕A点转动的加速度(相对加速度)的矢量和.考虑到A,B两点加速度的分解,上式可写成:需要注意的是:

这里的加速度合成公式里没有科氏加速度分量,原因在于以基点为原点的动系是平动坐标系.OBO160º30º

0

0A例一.(习9–18)图示曲柄连杆机构.曲柄OA绕O轴转动,其角速度为

0,角加 速度为0.在某瞬时,曲柄与水平线交角为60º,而连杆AB与曲柄OA垂 直,滑块B在圆弧槽内滑动,此时弧槽半径O1B与连杆交角成30º.如果

OA=r,O1B=2r,AB=.求在该瞬时滑块B的切向加速度和法 向加速度.解:速度分析CVA=

0rC点为AB杆的速度瞬心OBO160º30º

0

0AC以A为基点,B点的加速度分析如图.60º30º沿BA方向投影:将例二.(书上例9–10)椭圆规机构中,曲柄OD以匀角速度绕O轴转动.OD=AD=BD=l.求:当

=60º时,杆AB的角加速度和A点的加速度.xyOBA

D

C30º30º30º速度分析:C点为AB杆的速度瞬心.加速度分析:以D为基点,A点的加速度分析如图示.30º30º30ºA点的加速度的方向如图示.xyOBA

DC30º

例三.(续书上例9–2)图示四连杆机构.已知AB=BD=DE=l=300mm,BD∥AE,AB杆匀角速转动,=5rad/s,C为BD杆的中点.求:VC,

DE,

DE.解:BD杆作平面运动,O´为其速度瞬心.O´60º60º

AEDBCO´60º60º

AEDBC以B为基点,D点的加速度分析如图示将沿BD方向投影:DE杆的角速度和角加速度分别为方向如图示.30º60º60º例四.图示机构在某时刻AB杆铅垂.VC=10cm/s,ac=0.BC杆与水平成30º

已知AB=5cm,BC=10cm.

求:

AB,BC,

AB,BC.30ºABC解:此瞬时,BC杆瞬时平动.VB=VC=10cm/s以C为基点,B点的加速度分析如图.将(1)式沿BA方向投影ABC60º将(1)式沿水平方向投影例三.(书上例9–11)车轮直线作纯滚动.已知车轮半径为R,轮子中心O的速度为V0,加速度为a0

.求:轮子的速度瞬心C的加速度.CO解:首先需求轮子的角速度和角加速度由瞬心法可求得轮子的角速度注意,上式中如果V0是时间的函数,则亦然.

这里有,以O为基点,C点的加速度分析如图CO

上式沿x轴投影,有:上式沿y轴投影,有:CO

CO

xy可见,速度瞬心的瞬时速度为零,但其加速度一般不为零!以O为基点,C点的加速度分析如图xy习9–22ABC)45º45º解:以A为基点,B点的加速度合成如图将(I)沿x轴投影:将