2024河南中考数学全国真题分类卷 第四讲 方程(组)及其应用 强化训练(含答案)

2024河南中考数学全国真题分类卷第四讲方程(组)及其应用强化训练命题点1等式的基本性质1.(2023青海)根据等式的性质，下列各式变形正确的是()A.若eq\f(a,c)＝eq\f(b,c)，则a＝bB.若ac＝bc，则a＝bC.若a2＝b2，则a＝bD.若－eq\f(1,3)x＝6，则x＝－22.(2022安徽)设a，b，c为互不相等的实数，且b＝eq\f(4,5)a＋eq\f(1,5)c，则下列结论正确的是()A.a＞b＞cB.c＞b＞aC.a－b＝4(b－c)D.a－c＝5(a－b)命题点2一次方程(组)及其解法类型一一次方程的解法及其解的应用3.(2023百色)方程3x＝2x＋7的解是()A.x＝4B.x＝－4C.x＝7D.x＝－74.(2022重庆A卷)若关于x的方程eq\f(4－x,2)＋a＝4的解是x＝2，则a的值为________．类型二一次方程组的解法及其解的应用5.(2023株洲)对于二元一次方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x－1，①,x＋2y＝7，②))将①式代入②式，消去y可以得到()A.x＋2x－1＝7B.x＋2x－2＝7C.x＋x－1＝7D.x＋2x＋2＝76.(2023随州)已知二元一次方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2y＝4,2x＋y＝5))，则x－y的值为______．7.(2021绍兴)若关于x，y的二元一次方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝2，,A＝0))的解为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1，))则多项式A可以是______(写出一个即可).8.(2023山西)解方程组：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－y＝3，①,x＋y＝6.②))9.(2022扬州)已知方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋y＝7,x＝y－1))的解也是关于x、y的方程ax＋y＝4的一个解，求a的值．命题点3一次方程(组)的实际应用类型一购买、销售问题10.(2023杭州)某体育比赛的门票分A票和B票两种，A票每张x元，B票每张y元．已知10张A票的总价与19张B票的总价相差320元，则()A.eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(10x,19y)))＝320B.eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(10y,19x)))＝320C.|10x－19y|＝320D.|19x－10y|＝32011.(2023泰安)泰安某茶叶店经销泰山女儿茶，第一次购进了A种茶30盒，B种茶20盒，共花费6000元；第二次购进时，两种茶每盒的价格都提高了20%，该店又购进了A种茶20盒，B种茶15盒，共花费5100元．求第一次购进的A，B两种茶每盒的价格．类型二分配问题12.(新趋势)·数学文化(2023宿迁)我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果一间客房住9人，那么就空出一间客房，若设该店有客房x间，房客y人，则列出关于x、y的二元一次方程组正确的是()A.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(7x－7＝y,9（x－1）＝y))B.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(7x＋7＝y,9（x－1）＝y))C.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(7x＋7＝y,9x－1＝y))D.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(7x－7＝y,9x－1＝y))类型三工程问题13.(2022桂林)为了美化环境，建设生态桂林，某社区需要进行绿化改造．现有甲、乙两个绿化工程队可供选择，已知甲队每天能完成的绿化改造面积比乙队多200平方米，甲队与乙队合作一天能完成800平方米的绿化改造面积．(1)甲、乙两工程队每天各能完成多少平方米的绿化改造面积？(2)该社区需要进行绿化改造的区域共有12000平方米，甲队每天的施工费用为600元，乙队每天的施工费用为400元．比较以下三种方案：①甲队单独完成；②乙队单独完成；③甲、乙两队全程合作完成．哪一种方案的施工费用最少？类型四行程问题14.(2023张家界)中国“最美扶贫高铁”之一的“张吉怀高铁”开通后，张家界到怀化的运行时间由原来的3.5小时缩短至1小时，运行里程缩短了40千米．已知高铁的平均速度比普通列车的平均速度每小时快200千米，求高铁的平均速度．类型五阶梯费用问题15.(2022贺州)为了提倡节约用水，某市制定了两种收费方式：当每户每月用水量不超过12m3时，按一级单价收费；当每户每月用水量超过12m3时，超过部分按二级单价收费．已知李阿姨家五月份用水量为10m3，缴纳水费32元．七月份因孩子放假在家，用水量为14m3，缴纳水费51.4元．(1)问该市一级水费，二级水费的单价分别是多少？(2)某户某月缴纳水费为64.4元时，用水量为多少？类型六比赛积分问题16.(2023嘉兴)“市长杯”青少年校园足球联赛的比赛规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某校足球队在第一轮比赛中赛了9场，只负了2场，共得17分．那么该队胜了几场，平了几场？设该队胜了x场，平了y场，根据题意可列方程组为()A.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝7,3x＋y＝17))B.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝9,3x＋y＝17))C.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝7,x＋3y＝17))D.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝9,x＋3y＝17))其他类型17.(新趋势)·跨学科背景(2023河北)“曹冲称象”是流传很广的故事，如图．按照他的方法：先将象牵到大船上，并在船侧面标记水位，再将象牵出．然后往船上抬入20块等重的条形石，并在船上留3个搬运工，这时水位恰好到达标记位置．如果再抬入1块同样的条形石，船上只留1个搬运工，水位也恰好到达标记位置．已知搬运工体重均为120斤，设每块条形石的重量是x斤，则正确的是()第17题图A.依题意3×120＝x－120B.依题意20x＋3×120＝(20＋1)x＋120C.该象的重量是5040斤D.每块条形石的重量是260斤命题点4分式方程及其解法类型一分式方程的解法18.(2023海南)分式方程eq\f(2,x－1)－1＝0的解是()A.x＝1B.x＝－2C.x＝3D.x＝－319.(新考法)·结合新定义考查解分式方程(2023宁波)定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，a⊗b＝eq\f(1,a)＋eq\f(1,b).若(x＋1)⊗x＝eq\f(2x＋1,x)，则x的值为________．20.(2023贺州)解方程：eq\f(3－x,x－4)＝eq\f(1,4－x)－2.21.(2023青海)解方程：eq\f(x,x－2)－1＝eq\f(4,x2－4x＋4).类型二分式方程解的应用22.(2023遂宁)若关于x的方程eq\f(2,x)＝eq\f(m,2x＋1)无解，则m的值为()A.0B.4或6C.6D.0或423.(2023德阳)如果关于x的方程eq\f(2x＋m,x－1)＝1的解是正数，那么m的取值范围是()A.m＞－1B.m＞－1且m≠0C.m＜－1D.m＜－1且m≠－224.(2022贺州)若关于x的分式方程eq\f(m＋4,x－3)＝eq\f(3x,x－3)＋2有增根，则m的值为()A.2B.3C.4D.5命题点5分式方程的实际应用类型一工程问题25.(2023宜宾)某家具厂要在开学前赶制540套桌凳，为了尽快完成任务，厂领导合理调配，加强第一线人力，使每天完成的桌凳比原计划多2套，结果提前3天完成任务．问原计划每天完成多少套桌凳？设原计划每天完成x套桌凳，则所列方程正确的是()A.eq\f(540,x－2)－eq\f(540,x)＝3B.eq\f(540,x＋2)－eq\f(540,x)＝3C.eq\f(540,x)－eq\f(540,x＋2)＝3D.eq\f(540,x)－eq\f(540,x－2)＝326.(2023重庆B卷)为保障蔬菜基地种植用水，需要修建灌溉水渠．(1)计划修建灌溉水渠600米，甲施工队施工5天后，增加施工人员，每天比原来多修建20米，再施工2天完成任务．求甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠多少米？(2)因基地面积扩大，现还需修建另一条灌溉水渠1800米，为早日完成任务，决定派乙施工队与甲施工队同时开工合作修建这条水渠，直至完工．甲施工队按(1)中增加人员后的修建速度进行施工．乙施工队修建360米后，通过技术更新，每天比原来多修建20%.灌溉水渠完工时，两施工队修建的长度恰好相同．求乙施工队原来每天修建灌溉水渠多少米？类型二行程问题27.(2023常德)小强的爸爸平常开车从家中到小强奶奶家，匀速行驶需要4小时.某天，他们以平常的速度行驶了eq\f(1,2)的路程时遇到了暴雨，立即将车速减少了20千米/小时，到达奶奶家时共用了5小时，问小强家到他奶奶家的距离是多少千米？类型三购买、销售问题28.(2023丽水)某校购买了一批篮球和足球．已知购买足球的数量是篮球的2倍，购买足球用了5000元，购买篮球用了4000元，篮球单价比足球贵30元．根据题意可列方程eq\f(5000,2x)＝eq\f(4000,x)－30，则方程中x表示()A.足球的单价B.篮球的单价C.足球的数量D.篮球的数量29.(2022江西)甲，乙两人去市场采购相同价格的同一种商品，甲用2400元购买的商品数量比乙用3000元购买的商品数量少10件．(1)求这种商品的单价；(2)甲，乙两人第二次再去采购该商品时，单价比上次少了20元/件，甲购买商品的总价与上次相同，乙购买商品的数量与上次相同，则甲两次购买这种商品的平均单价是________元/件，乙两次购买这种商品的平均单价是________元/件；(3)生活中，无论油价如何变化，有人总按相同金额加油，有人总按相同油量加油，结合(2)的计算结果，建议按相同________加油更合算(填“金额”或“油量”).其他类型30.(2023山西)2023年我国已成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在保障能源安全，改善空气质量等方面较传统汽车都有明显优势．经过对某款电动汽车和某款燃油车的对比调查发现，电动汽车平均每公里的充电费比燃油车平均每公里的加油费少0.6元．若充电费和加油费均为200元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的4倍，求这款电动汽车平均每公里的充电费．命题点6一元二次方程及其解法类型一解一元二次方程31.(2023甘肃省卷)用配方法解方程x2－2x＝2时，配方后正确的是()A.(x＋1)2＝3B.(x＋1)2＝6C.(x－1)2＝3D.(x－1)2＝632.(2023云南)方程2x2＋1＝3x的解为________．33.(新趋势)·条件开放性问题(2023贵阳)在初中阶段我们已经学习了一元二次方程的三种解法，他们分别是配方法、公式法和因式分解法，请从下列一元二次方程中任选两个，并解这两个方程．①x2＋2x－1＝0；②x2－3x＝0；③x2－4x＝4；④x2－4＝0.类型二一元二次方程解的应用34.(2023益阳)若x＝－1是方程x2＋x＋m＝0的一个根，则此方程的另一个根是()A.－1B.0C.1D.235.(2023连云港)若关于x的一元二次方程mx2＋nx－1＝0(m≠0)的一个解是x＝1，则m＋n的值是__________．命题点7一元二次方程根的判别式36.(2023河南)一元二次方程x2＋x－1＝0的根的情况是()A.有两个不相等的实数根B.没有实数根C.有两个相等的实数根D.只有一个实数根37.(2023攀枝花)若关于x的方程x2－x－m＝0有实数根，则实数m的取值范围是()A.m＜eq\f(1,4)B.m≤eq\f(1,4)C.m≥－eq\f(1,4)D.m＞－eq\f(1,4)38.(2023江西)关于x的方程x2＋2x＋k＝0有两个相等的实数根，则k的值为________．39.(新趋势)·条件开放性问题(2023扬州)请填写一个常数，使得关于x的方程x2－2x＋________＝0有两个不相等的实数根．命题点8一元二次方程根与系数的关系[2023版课标调整为要求内容]40.(2023成都)若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程x2－6x＋4＝0的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是________.41.(2023南充)已知关于x的一元二次方程x2＋3x＋k－2＝0有实数根．(1)求实数k的取值范围；(2)设方程的两个实数根分别为x1，x2，若(x1＋1)(x2＋1)＝－1，求k的值．命题点9一元二次方程的实际应用类型一变化率问题42.(2023新疆)临近春节的三个月，某干果店迎来了销售旺季，第一个月的销售额为8万元，第三个月的销售额为11.52万元，设这两个月销售额的月平均增长率为x，则根据题意，可列方程为()A.8(1＋2x)＝11.52B.2×8(1＋x)＝11.52C.8(1＋x)2＝11.52D.8(1＋x2)＝11.5243.(2023宜昌)某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，使再生纸项目的生产规模不断扩大.该厂3，4月份共生产再生纸800吨，其中4月份再生纸产量是3月份的2倍少100吨．(1)求4月份再生纸的产量；(2)若4月份每吨再生纸的利润为1000元，5月份再生纸产量比上月增加m%.5月份每吨再生纸的利润比上月增加eq\f(m,2)%，则5月份再生纸项目月利润达到66万元.求m的值；(3)若4月份每吨再生纸的利润为1200元，4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率与6月份再生纸产量比上月增长的百分数相同，6月份再生纸项目月利润比上月增加了25%.求6月份每吨再生纸的利润是多少元？类型二图形面积问题44.(2023青海省卷)如图，小明同学用一张长11cm，宽7cm的矩形纸板制作一个底面积为21cm2的无盖长方体纸盒，他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，将四周向上折叠即可(损耗不计).设剪去的正方形边长为xcm，则可列出关于x的方程为________．第44题图类型三每每问题45.(2022菏泽)列方程(组)解应用题端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话：小王：该水果的进价是每千克22元；小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的销售量将增加120千克．根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元？参考答案与解析1.A【解析】B选项忽略了c≠0；C选项a与b还可能互为相反数；D选项应为x＝－18.2.D【解析】等式两边同时乘以5，得5b＝4a＋c，等式两边同时加上a－5b－c，得a－c＝5a－5b，即a－c＝5(a－b).3.C4.35.B6.1【解析】令eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2y＝4①,2x＋y＝5②))，②－①得x－y＝1.7.解：①＋②，得3x＝9，解得x＝3.将x＝3代入②，得3＋y＝6，解得y＝3.∴原方程组的解为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝3.))8.x－y(答案不唯一)【解析】∵关于x，y的二元一次方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝2,A＝0))的解为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1,y＝1))，而1－1＝0，∴多项式A可以是x－y(答案不唯一).9.解：令eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋y＝7①,x＝y－1②))，把②代入①得：2(y－1)＋y＝7，解得y＝3，代入①中，解得x＝2，将x＝2，y＝3代入方程ax＋y＝4，得2a＋3＝4，解得a＝eq\f(1,2).10.C【解析】根据题意可得方程10x－19y＝320或19y－10x＝320，∴方程应为|10x－19y|＝320.11.解：设第一次购进的A种茶每盒x元，B种茶每盒y元，根据题意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(30x＋20y＝6000,1.2x×20＋1.2y×15＝5100))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝100,y＝150))，答：第一次购进的A种茶每盒100元，B种茶每盒150元．12.B13.解：(1)设乙工程队每天完成x平方米的绿化改造面积，则甲工程队每天完成(x＋200)平方米的绿化改造面积，根据题意得：(x＋200)＋x＝800，解得x＝300，∴x＋200＝500(平方米).答：甲工程队每天完成500平方米的绿化改造面积，乙工程队每天完成300平方米的绿化改造面积；(2)①甲队单独完成的施工费用为12000÷500×600＝14400(元)，②乙队单独完成的施工费用为12000÷300×400＝16000(元)，③甲乙两队合作完成的施工费用为12000÷(500＋300)×(600＋400)＝15000(元)，∵14400＜15000＜16000，∴方案①甲队单独完成的施工费用最少．14.解：设高铁的平均速度为xkm/h，则普通列车的平均速度为(x－200)km/h，由题意得：x＋40＝3.5(x－200)，解得x＝296.答：高铁的平均速度为296km/h.15.解：(1)设该市一级水费的单价为x元/m3，二级水费的单价为y元/m3，依题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(10x＝32,12x＋（14－12）y＝51.4))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3.2,y＝6.5)).答：该市一级水费的单价为3.2元/m3，二级水费的单价为6.5元/m3；(2)当水费为64.4元时，则用水量超过12m3，设用水量为am3，得12×3.2＋(a－12)×6.5＝64.4，解得a＝16，答：当缴纳水费为64.4元时，用水量为16m3.16.A17.B【解析】∵第一次船里有20块条形石和3个搬运工，第二次船里有21块条形石和1个搬运工，且两次水位在同一位置，∴20x＋3×120＝(20＋1)x＋120，解得x＝240，∴该象的重量为20×240＋3×120＝5160斤．18.C19.－eq\f(1,2)【解析】根据新运算可得eq\f(1,x＋1)＋eq\f(1,x)＝eq\f(2x＋1,x)，去分母，得x＋x＋1＝(2x＋1)(x＋1)，解得x1＝－eq\f(1,2)，x2＝0(舍去).20.解：方程两边同时乘以最简公分母(x－4)，得3－x＝－1－2(x－4)，去括号，得3－x＝－1－2x＋8，解方程，得x＝4.检验：当x＝4时，x－4＝0，∴x＝4不是原方程的根，原方程无解．21.解：方程两边同时乘以x2－4x＋4＝(x－2)2，得x(x－2)－(x2－4x＋4)＝4，解得x＝4，经检验，当x＝4时，x2－4x＋4＝(x－2)2＝4≠0，∴x＝4是原分式方程的解．22.D【解析】方程两边同乘以x(2x＋1)，得2(2x＋1)＝mx，化简得，(4－m)x＋2＝0.①当4－m＝0时，解得m＝4，此时方程无解；②当4－m≠0时，由题意知，2x＋1＝0则无解，即x＝eq\f(－2,4－m)＝－eq\f(1,2)，解得m＝0，故m的值为0或4.23.D【解析】去分母得：2x＋m＝x－1，解得：x＝－m－1，由关于x的方程eq\f(2x＋m,x－1)＝1的解为正数，则x＞0，且x≠1，∴－m－1＞0，且－m－1≠1，解得m＜－1，且m≠－2.24.D【解析】方程整理得：m＋4＝3x＋2(x－3)，∴m＝5x－10，∵方程有增根，∴x－3＝0，∴x＝3，∴m＝5×3－10＝5.25.C【解析】设原计划每天完成x套桌凳，该家具厂要在开学前赶制540套桌凳，原计划需要的时间为eq\f(540,x)天；为了尽快完成任务，厂领导合理调配，加强第一线人力，使每天完成的桌凳比原计划多2套，可得实际需要加工的时间为eq\f(540,x＋2)天．根据“结果提前3天完成任务”可列方程eq\f(540,x)－eq\f(540,x＋2)＝3.26.解：(1)设甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠x米，由题意可得，5(x－20)＋2x＝600，解得x＝100，答：甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠100米；(2)∵两施工队修建的长度恰好相同，∴甲施工队和乙施工队各修筑了900米，且两队同时完成．设乙施工队原来每天修建灌溉水渠y米，由题意可得，eq\f(360,y)＋eq\f(900－360,（1＋20%）y)＝eq\f(900,100)，解得y＝90，经检验，y＝90是原分式方程的解，且符合实际．答：乙施工队原来每天修建灌溉水渠90米．27.解：设小强家到他奶奶家的距离是x千米，根据题意得，4×eq\f(1,2)＋eq\f(\f(1,2)x,\f(x,4)－20)＝5，解得x＝240，经检验，x＝240是原分式方程的解，且符合实际，答：小强家到他奶奶家的距离是240千米．28.D【解析】所列方程为eq\f(5000,2x)＝eq\f(4000,x)－30，根据等量关系篮球单价比足球单价贵30元，即足球单价＝篮球单价－30，则eq\f(4000,x)为篮球单价，∵购买篮球用了4000元，∴x为篮球的数量．29.解：(1)设商品的单价是x元/件，根据题意得：eq\f(2400,x)＝eq\f(3000,x)－10，解得x＝60.经检验，x＝60是原方程的解，且符合题意．答：这种商品的单价是60元/件；(2)48，50；【解法提示】甲第二次购买的数量为2400÷(60－20)＝60件，第一次购买的数量为2400÷60＝40件，两次购买这种商品的平均单价为(2400＋2400)÷(60＋40)＝48元/件；乙第一次购买的数量为3000÷60＝50件，第二次购买的数量为50件，两次购买这种商品的平均单价为[3000＋(60－20)×50]÷(50＋50)＝50元/件．(3)金额．【解法提示】由(2)知，按相同金额购买的平均单价比按相同数量购买的平均单价低，类比到加油中，建议按相同金额加油更合算．30.解：设这款电动汽车平均每公里的充电费为x元．根据题意，得eq\f(200,x)＝eq\f(200,x＋0.6)×4.解得x＝0.2.经检验，x＝0.2是原分式方程的解，且符合题意．答：这款电动汽车平均每公里的充电费为0.2元．31.C32.x1＝eq\f(1,2)，x2＝133.解：任选两个方程求解即可．①x2＋2x－1＝0，x2＋2x＝1，(x＋1)2＝2，∴x＋1＝±eq\r(2)，∴x＝－1±eq\r(2)，∴x1＝－1＋eq\r(2)，x2＝－1－eq\r(2).②x2－3x＝0，x(x－3)＝0，∴x1＝0，x2＝3.③x2－4x＝4，(x－2)2＝8，∴x－2＝±2eq\r(2)，∴x＝2±2eq\r(2)，∴x1＝2＋2eq\r(2)，x2＝2－2eq\r(2).④x2－4＝0，x2＝4，∴x1＝2，x2＝－2.34.B【解析】将x＝－1代入x2＋x＋m＝0中，得0＋m＝0，解得m＝0，∴该一元二次方程为x2＋x＝0，解该方程得x1＝－1，x2＝0，∴该方程的另一个根为0.35.1【解析】∵x＝1是一元二次方程mx2＋nx－1＝0的一个解，∴m＋n－1＝0，