2018年高考数学一轮复习 44 立体几何中的向量方法教学案 理

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专题44立体几何中的向量方法

考情解读

1.理解直线的方向向量及平面的法向量；

2.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系；

3.能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理.

4.能用向量方法解决直线与直线，直线与平面，平面与平面的夹角的计算问题;

5.了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.

,重点知识梳理，

1.直线的方向向量与平面的法向量的确定

(1)直线的方向向量：，是空间一直线，A,6是直线，上任意两点，则称/蹒直线/的方向向

量，与法平行的任意非零向量也是直线1的方向向量.

(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a,b是平面a内两不共线向量，〃为平面a的法向

\n•a=0,

量，则求法向量的方程组为,

[n•b=0.

2.用向量证明空间中的平行关系

⑴设直线4和人的方向向量分别为和。2,则，〃＞(或[与方重合)0八〃〃=＞匕=＞。2.

⑵设直线/的方向向量为乙与平面。共面的两个不共线向量和乙,则/〃。或/U4Q

存在两个实数X,y,使0=生土心.

(3)设直线)的方向向量为v,平面a的法向量为u,则/〃。或/u7=向

(4)设平面。和£的法向量分别为S,必，则a〃£=〃1〃泣=%=几论.

3.用向量证明空间中的垂直关系

(1)设直线Z和，2的方向向量分别为和V2,则11_L，2=八二＞乙•-2=0.

(2)设直线/的方向向量为V,平面4的法向量为〃，则1JL0QV〃U0V=几〃.

(3)设平面q和£的法向量分别为s和处则q_L・泣=0・

4.空间向量与空间角的关系

(1)设异面直线4的方向向量分别为加1,故，则Z与人所成的角夕满足COS0=|cos

/\II⑶・加

〈血，102)~\—i---i—T.

----------|血|・|『

⑵设直线)的方向向量和平面a的法向量分别为出〃，则直线,与平面4所成角夕满足

sin0=Icos〈血ri)I=rL".4.

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(3)求二面角的大小

(i)如图①，AB,切是二面角。一/一£的两个面内与棱，垂直的直线，则二面角的大小6

(ii)如图②③，m分别是二面角。一/—£的两个半平面a,£的法向量，则二面角的

大小夕满足|cos夕|=ICOS〈4，加|,二面角的平面角大小是向量A1与"的夹角(或其补

角).

5.点面距的求法

如图，设加为平面a的一条斜线段，。为平面a的法向量，则8到平面a的距离4=错误!.

卜高频考点突破，

高频考点一利用空间向量证明平行问题

【例1】如图所示，平面以〃，平面/加，)仿切为正方形，△为〃是直角三角形，且功!=/〃

=2,E,F,G分别是线段以，PD,切的中点.求证：如〃平面厮G.

证明：平面阳。_1平面/及刃，且/以力为正方形,

：.AB,AP,4?两两垂直.

以/为坐标原点，建立如右图所示的空间直角坐标系Axyz,则4(0,0,0),6(2,0,0),

(7(2,2,0),D(0,2,0),H0,0,2),£(0,0,1),户(0,1,1),6(1,

2,0).

法一.•.防=(0,1,0),法=(1,2,-1),

设平面与%的法向量为〃=(x,y,z),

B

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n•o〈EF,sup8(f))=0,\y=Q

则《一即「

n-EG=0,[x+2y—z=0,

令z=l,则〃=(1,0,1)为平面跖5的一个法向量，

;法=(2,0,-2),

：.PB>72=0,：.nVPB,

面夕&.•.阳〃平面瓦6.

法二P5=(2,0,-2),FE=(Q?-1,0),

FG=(lf1,-1).

设拓二曲屋苑

即(2,0,-2)=5(。,-1,O)+Z(l,1,-1),

7=2,___

「.<1-5=0,解得s=t=2.：.PB=2FE+2FG,

-t=-2,

又7而与诳不共线，.二茂，后与局共面.

,.,迎□平面呼G,平面呼G

规律方法(1)恰当建立坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和

垂直的关键.

(2)证明直线与平面平行，只须证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线

的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向

向量平行，然后说明直线在平面外即可.这样就把几何的证明问题转化为向量运算.

【变式探究】如图，平面序平面A8G△46c是以AC为斜边的等腰直角三角形，E,F,0

分别为用，PB,/C的中点，47=16,PA=PC=\Q.

B

设G是勿的中点，证明：刀6〃平面6处；

证明如图，连接华，：/=/T,。是NC的中点,

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:.POLAC,

又,/面PAC1.面ABC,：.POL面ABC,

叱是以/C为斜边的直角三角形，.""L/C

所以点。为坐标原点，分别以必，0C,8所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标

系O-xyz*则。(0,0,0),4(0,-8,0),B®0,0),C(0,8,0),P(0,0,6),£(0,

-4,3),F(4,0,3).

由题意，得6(0,4,0).

因为"=(8,0,0),OE=(0,-4,3),

设A=(X,y,z)为面8施'的法向量，则〃•如=0,

x=0,

n,0E=O,

—4y+3z=0,

令z=4,得y=3.

所以平面及成的一个法向量A=(0,3,4).

由bG=(—4,4,-3),得〃•尸G=0.

又直线刀G不在平面BOE内,所以FG//平面BOE.

高频考点二利用空间向量证明垂直问题

【例2】如图，在三棱锥夕一/回中，3AC,，为优的中点，户以平面期C,垂足。落在线

段4?上.已知8c=8,Pg4,力。=3,OD=2.

(1)证明：APVBC-,

(2)若点〃是线段//上一点，且Mf=3.试证明平面/航工平面BMC.

证明(1)如图所示，以。为坐标原点，以射线OP为z轴的正半轴建立空间直角坐标系O-xyz.

则。(0,0,0),A(0,-3,0),

6(4,2,0),(7(-4,2,0),尸(0,0,4).

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B

于是/々(0,3,4),

ic=(-8,0,0),

...茄•茄=(0,3,4)•(-8,0,0)=0,

所以血防BPAPLBC.

⑵由⑴知上划=5,

又且点〃在线段/尸上，

一3一,912、

C.AM=-AP=\0,,

5I55/

又法=(—4,-5,0),

———(1612、

__(1612、

贝必尸•次仁(0,3,4)•1-4,-y,y1=0,

：.APVBM,BPAPVBM,

又根据（1）的结论知

...加土平面屣；于是A〃_L平面蜘

又人仁平面/肱7,故平面/心L平面以血

规律方法（1）利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而

将几何证明转化为向量运算.其中灵活建系是解题的关键.

（2）其一证明线线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直；其二证明线面垂直，只需证明

直线的方向向量与平面内不共线的两个向量垂直即可.当然也可证直线的方向向量与平面法

向量平行.其三证明面面垂直：①证明两平面的法向量互相垂直；②利用面面垂直的判定定

理，只要能证明一个平面内的一条直线的方向向量为另一个平面的法向量即可.

【变式探究】如图，四棱柱48切一46C4的底面26切是正方形，。为底面中心，平面

ABCD,AB=AAi=书.

证明：4c，平面阳〃〃

证明由题设易知以，OB,力।两两垂直，以。为原点建立空间直角坐标系，如图.

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•：AB=AA1=y[2,：.OA=OB=OAl=l,

：.A(1,0,0),B(0,1,0),C(-l,0,0),2(0,-1,0),4(0,0,1).由4旦=/6,易得

5(-1,1,1).

-：AC=(~1,0,-1),BD=(0,-2,0),法=(—1,0,1),

：.AiC-BAO,AiC-BB尸Q,

：.A,CVBD,AiCLBBi,又BDCBB尸B,

；.4C_L平面BBMD.

高频考点三利用空间向量解决探索性问题

【例3】在四棱锥尸一相切中，如，底面力及力，底面抽力为正方形，PD=DC,E,尸分别是

AB,必的中点.

(1)求证：EF工CD：

⑵在平面处〃内是否存在一点G,使平面凡K若存在，求出点G坐标；若不存在，试说

明理由.

⑴证明如图，以物，DC,如所在直线分别为x轴，p轴，z轴建立空间直角坐标系，设的

a,

则〃(0,0,0),A(a,,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),0户(0,0,a),

(aaa\

J\2,2J2/

f(a、

第=[一0,-I,DC=Q,a,0).

•・,法•而=0,：.EFLDC,BPEFLCD.

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(2)解假设存在满足条件的点、G,

设G(x,0,z),贝3G=@_彳，一务工一乡，

若使GF1平面PCB,则由

尸GC5=@_az_§{a,0，0)=+一§=0,得工=务

由尸GCP=Q一去一曰,2一飘0,-a,d)

=亨+击_?=0,得z=S

，G点坐标为0,0),即存在满足条件的点G,且点G为血的中点.

规律方法对于“是否存在”型问题的探索方式有两种：(1)根据题目的已知条件进行综合分

析和观察猜想，找出点或线的位置，然后再加以证明，得出结论；

(2)假设所求的点或线存在，并设定参数表达已知条件，根据题目进行求解，若能求出参数的

值且符合已知限定的范围，则存在这样的点或线，否则不存在.本题是设出点G的坐标，借

助向量运算，判定关于尸点的方程是否有解.

【变式探究】如图所示，四棱锥产一四切的底面是边长为1的正方形，PALCD,PA=\,PD=

小,E为PD上一点、,PE=2ED.

⑴求证：B4_L平面/比

(2)在侧棱A7上是否存在一点内，使得加〃平面/阳若存在，指出厂点的位置，并证明；若

不存在，说明理由.

(1)证明'：PA=AD=\,PD=y[2,

.•.序2+4^=〃，即用_L/〃

又PALCD,ADCCAD,.•.以_1平面/比。

⑵解以d为原点，AB,AD,H尸所在直线为x轴，y轴，

z轴建立空间直角坐标系.

则4(0,0,0),8(1,0,0),

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(7(1,1,0),0(0,0,1),

《0,1,0，AC=(1,1,0),

法=(o,|,0

设平面/的法向量为刀=(x,y,z),

n,o{AC,sup8(f))=0,

则，一即x+y=0,

2y+z=0,

j,AE=0f

令尸1,则〃=(—1,1,—2).

假设侧棱〃。上存在一点尸，且6F=4^(044・1),使得以〃平面/则以•〃=().

又,：BF=BC+CF=Q,1,0)+(—4,一4，4)=(—X,1—A,X),

1

1--

BF•n—几+1——A—24=0,A2

・••存在点人使得价〃平面且分为尸。的中点.

高频考点四求异面直线所成的角

【例4】如图，在四棱锥灰/中，底面/及/是矩形，为，底面倒切,£是产。的中点.已

知26=2,AD=2®用=2.求：

⑴△产切的面积.

⑵异面直线6c与4r所成的角的大小.

解⑴因为R1_L底面/及力，所以用，〃Z

又AD1CD,所以C»_L平面PAD,从而CDLPD.

因为划=42?+(2小)2=2事,电2,

所以△也?的面积为京2X2木=2小.

⑵法一如图1,取处中点凡连接第，AF,则即〃BC,从而//项(或其补角)是异面直线

及7与4£所成的角.

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在△/厮中，由于瓦'=/,AF=y[2,AE=^PC=2.

JI

则△力必是等腰直角三角形，所以//绪=了.

JI

因此，异面直线员与所成的角的大小是了.

法二如图2,建立空间直角坐标系，则以2,0,0）,C（2,2y[2,0）,

图2

£（1,木,1）,四=（1,低1）,BC=（0,2低0）.

设法与扇的夹角为9,则

sup&ef)・BC4盅后2〃Jl

0=-

COS下十;Hr2，所以,T

JI

由此可知，异面直线加与力£所成的角的大小是

规律方法本题可从两个不同角度求异面直线所成的角，一是几何法：作一证一算；二是向

量法：把角的求解转化为向量运算，应注意体会两种方法的特点，“转化”是求异面直线所

成角的关键，一般地，异面直线/C,初的夹角£的余弦值为cos81SUP^^）：BD\

\AC\\BD\

【变式探究】如右图所示正方体相切一，B'CD',已知点〃在4B'CD'的对角线

B'D'上，NHDA=60°.

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叭

求DH与CC'所成的角的大小.

解如图所示，以，为原点，加为单位长度建立空间直角坐标系〃一xyz,

则防=(1,0,0),CC=(0,0,1).

设加7=(a,m,1)(ffl>0),

由已知，〈加M=60°八

由加•DH=\DA\•\DH\•

cos{DH,DA),

・・♦"f4

，也,

-A/^2-xo+^-xo+ixi

*/cos<DH,CC〉=-----------尸-------二号

1X^/22

<DH,CC'〉=45。，

即掰与团所成的角为45°.

高频考点五利用空间向量求直线与平面所成的角

【例5】(2014•北京卷)如图，正方形力如£的边长为2,B,。分别为励的中点.在五

棱锥产一极期中，/为棱笈的中点，平面叱与棱加，尸C分别交于点G,H.

(1)求证：AB//FG-,

⑵若必，底面被期且用=A£求直线园与平面/斯所成角的大小，并求线段用的长.

⑴证明在正方形闻侬中，因为6是的中点，所以46〃班：

又因为平面PDE,

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所以46〃平面PDE.

因为A8u平面ABF,且平面ABFC平面PDE=FG,

所以AB//FG.

⑵解因为用，底面ABCDE,

所以为_L/8,PAYAE.

如图建立空间直角坐标系4一xyz,则4(0,0,0),夙1,0,0),C(2,1,0),户(0,0,2),

设平面45尸的法向量为n=(x,yfz),则

nAB—Q,<X=O,

即，

J'+2=O.

^n-AF^Q,

令Z=1,则7=-1.所以?1=(0,T,1).

设直线BC与平面⑷S尸所成角为a,

贝ijsina=|cos<n,5C>|=

因此直线SC与平面ABF所成角的大小为全

设点〃的坐标为(u,V,w).

因为点〃在棱衣上，所以可设阳=4八7(0<4<1),

即(u,v,『-2)=4(2,1,—2),所以『=24，v=A,(r=2—2A.

因为〃是平面/郎的法向量，所以〃•耘=0,

即(0,—1,1),(23才，2—24)=0.

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2,422、

解得才=可，所以点〃的坐标为|可，可，o.

O\OOuJ

规律方法利用向量求线面角的方法：(1)分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向

量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方

向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角.

【变式探究】(2014•福建卷)在平面四边形/灰/中，AB=BD=CD=\,ABLBD,CDLBD,将

△/初沿曲折起，使得平面/初，平面以力,如图.

⑴求证：AB1CD；

(2)若〃为4?中点，求直线与平面刈%所成角的正弦值.

⑴证明：平面平面比2平面/劭C平面加9=平面AM,ABLBD,

平面BCD.

又CDc.平面BCD,ABVCD.

⑵解过点8在平面反力内作庞，如，如图.

由⑴知四，平面比〃

庞u平面况BK平面BCD,

:.ABLBE,ABLBD.

以6为坐标原点，分别以阳BD,掰的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系.

依题意，得6(0,0,0),(7(1,1,0),2(0,1,0),4(0,0,1),

«0,g],则品=(1,1,0),法=(0,访=(0,1,-1).

设平面例%的法向量为刀=(Xo,Jo,Zo),

n■。(阳sup8(f))=0,照+%=0,

则｛_BPn1

BM=0,[5%+5%=°'

取zo=l,得平面奶。的一个法向量为〃=(1,—L1).

设直线/〃与平面小所成角为。，

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„,八।.一、।|77•Slip战一)\

贝Usin0=|cos(77,AD)\=---------------

1771•\AD\

即直线力。与平面侬所成角的正弦值为坐.

高频考点六利用空间向量求二面角

【例6】(2014•广东卷)如图，四边形/以力为正方形，划_L平面力及刃，/如C=30°,AFLPC

于点凡FE//CD,交阳于点笈

(1)证明："平面

⑵求二面角，一"■一£的余弦值.

(1)证明平面ABCD,/Du平面ABCD,

：.ED1AD.

又「四边形H8CO为正方形，因此MlCD.

:EDClCD=D,

1.31平面CDEF.

由于函u平面CDEF,

：.ADVCF.

又4F1CF,AFCM-A.

故•！平面ADF.

⑵解如图所示，建立空间直角坐标系，点，为坐标原点，设〃c=i.

由于//r=30°,PDVCD,所以R?=2,如=/.

由于CFVFD,FE//CD,

所以DF=W，DE=*,

3

EF=~

4

从而2,A,C,F,£五点的坐标分别为X

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DS,0,0),/(0,0,1),(7(0,1,0),伴?°)

计算得加=球,-；，o］，1［一理'一|'J

一/3、

EF=(0,0).

设平面/四的法向量为A1=(Xl,M，Zi),

则CEF,n^FA,

fyi=o,

因此，「

I3xi—3%+40=0,

取荀=4,则n=(4,0,d)为平面/四的一个法向量.

由于CF_L平面ADF,

故平面力卯的一个法向量检=(/，-1,0).

由图可见所求二面角9的余弦值为

g_hi•I___________4m

C0SniI1772^/16+3XAJ(y［3)2+(-1)219,

规律方法求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通

过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还

是钝角.

【变式探究】(2014•辽宁卷)如图，△/8C和所在平面互相垂直，AAB=BC=B42,

NABC=NDBC=\2Q°,E,6分别为47,2c的中点.

(1)求证：EF1BC；

⑵求二面角—C的正弦值.

⑴证明由题意，以6为坐标原点，在平面庞。内过8作垂直比■的直线为x轴，相所在直

线为y轴，在平面/回内过6作垂直死的直线为z轴，建立如图所示空间直角坐标系.易得

一1,0),(7(0,2,0).因而40,T，乎;。)

6(0,0,0),2(0,—1,小),。(木

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所以斯=0,BC=(0,2,0),

因此"•BC=Q.从而龌L6C,所以EFLBC.

⑵解平面〃U的一个法向量为。=(0,0,1).

设平面庞广的法向量上=(X,V,Z),

1

-O

2?

ri2•o(BF,sup8(f))=0

由,一得其中一个〃2=(1,一/，1).

、刀2•BE=6

设二面角E一斯一C大小为9,且由题意知。为锐角，则cose=\COS(a,a)1=pII-

|||〃2

_2__22/5

因此sin0

#5

即所求二面角的正弦值为芈.

真题感悟

1.12016高考新课标2理数】如图，菱形ABC。的对角线AC与BD交于点。，

AB=5,AC=6,点及尸分别在A£),C£＞上，AE=CF=~,EF交BD于点、H.将ADEF

4

沿EF折到AD'EF位置，OD'=Jid.

(I)证明：平面ABC。；

(II)求二面角3—。/—C的正弦值.

D'

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【答案】（I）详见解析；（II）

25

【解析】

（I）由已知得幺C_LAD,AD=CD,又由空=CF得至=竺，故4C”即.

ADCD

因此昉_LHD,从而EFJ>。归.由加=5,/。=6得。。=80=，5-/。2=4.

CH/斤1

由斯4/C得吧=丝=L.所以OH=1,D,H=DH=3.

DOAD4

于是必2=32+[2=]0=。02,

故。归_LOH.

又DH工即,而QHf|EF=H,

所以DH_L平面4BCD.

（II）如图，以H为坐标原点，族的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系”-取z,则

H（0,0,0）,A（-3,-l,0）,5（0,-5,0）,C（3,-l,0）,Df（0,0,3）,AB=（3,-1,0）,

/、，/、z、，m-AB=0

AC=（6,0,0）,4。'=（3,1,3）.设》/=（%,乂，4）是平面43。的法向量，则,

[m-AD'=0

3x—4y—0

即｛J''_,所以可取m=（4,3,—5）.设〃=（毛,％,z?）是平面ACO的法向量，

+32]—U

n-AC=0[6X=0

则<，即/22八，所以可取n=（O,-3,l）.于是

n-AD'=0[3X2+yf3z=Q

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-14

cos<m,n>-।-n—r=—；=———=-----,sin<〃>=.因此二面角5—DN—C

加|同A/50XV102525

M-rn4/吉H2,95

的正弦值是------

25

2.12016高考山东理数】在如图所示的圆台中，AC是下底面圆。的直径，呈是上底面圆。的

直径，期是圆台的一条母线.

（I）已知G〃分别为处的中点，求证：掰〃平面/灰;

J7

【答案】（I）见解析；（II）J

7

【解析】

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(I)证明：设m的中点为九连接。；却，

在△CEF,因为G是CE的中点，所以&7/E"

又E尸〃0B,所以GJ7/0B,

在△CFD中，因为H是用的中点，所以班〃BC,

又印cGT=心所以平面GHIH平面ABC,

因为GHu平面G田，所以GH"平面.®C.

(ID解法一：

连接。。，则。。」平面ABC,

又48=8。,且AC是圆。的直径，所以3。，AC.

以。为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系。-乎,

由题意得3(0,26,0),C(—26,0,0),过点歹作FM垂直。8于点M,

所以KW=VFB2-BM2=3,

可得P(0,后,3)

故BC=(-2A-2A/3,0),BF=(0,-73,3).

设m=(x,y,z)是平面BCF的一个法向量.

m-BC=0

由＜

m-BF=0

二2氐-2伤=0

可得《

-也y+3z=0

可得平面BCF的一个法向量m=(-l,l,-

因为平面ABC的一个法向量n=(0,0,1),

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所以…：邛

所以二面角F-BC-A的余弦值为—

7

解法二：

连接。。'，过点尸作FM,03于点M,

则有引0//。。'，

又。。',平面ABC,

所以掰1平面/阿

可得FM=y/FB2-BM2=3,

过点M作〃N垂直BC于点N,连接引V,

可得FN1BC,

从而ZFNM为二面角F-BC-A的平面角.

又AB=,AC是圆。的直径,

所以政V=sin45=—

2

J42J7

仄而FN='一，可得cos/RVA/=J

27

所以二面角F-BC-A的余弦值为也

7

3.12016高考天津理数】（本小题满分13分）

如图，正方形26劈的中心为。，四边形侬F为矩形，平面侬7U平面48切，点G为26的中

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点，AB=B^2.

(I)求证：£G〃平面/所；

(II)求二面角。炉C的正弦值；

2

(III)设〃为线段//上的点，豆A由二HF,求直线班和平面侬1所成角的正弦值.

3

【解析】依题意，OFLnABCD,如图，以。为点，分别以AD,54,。尸的方向为无轴,

y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得0(0,0,0),

A(T1,O),5(-L-1,O),C(1,-1,0),E(T-1,2),/(0,0,2),G(-1,0,0).

(I)证明：依题意，AD=(2,0,0),Ab=(l,—1,2).设々=(x,y,z)为平面AD尸的法向量,

n,•AD=02x=0,、，/、/、

则，即《y+2-0.不妨设z=L可得"i=(0,2,1)，又EG=(O,1,—2),

々-AF=0

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可得EGj=0,又因为直线EG<Z平面/，所以EG//平面ADb.

(H)解：易证，52=(-LL0)为平面。班的一个法向量.依题意，丽=(LL0),3=(-LL2),设

—%-EF=0x+y=0

巧》为平面的法向量,则｛二

=(x,z)CEF,即T+”2Z=0.不妨设工=1，可得

n1c尸=0

«2=(1,-1,1).

因此有cos<吗>==--,于是sin<04K>=f,所以，二面角O-EF~C的正弦值

।”之l

|同|引33

为T.

22

(III)解：由得二二人尸.因为AF=(1,—1,2),所以

加।W4,进而有川.|,得，从而加停沟，因此

cos<BH,2>=：=—业所以，直线3〃和平面CEF所成角的正弦值为—

Ml同212i

4.【2016年高考北京理数】(本小题14分)

如图，在四棱锥P—A3C。中，平面平面ABC。，PALPD,PA=PD,AB1AD,

AB=1,AD=2,AC=CD=

(1)求证：2。，平面丛8；

(2)求直线PB与平面PC。所成角的正弦值;

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(3)在棱PA上是否存在点M,使得8"//平面PCD?若存在，求色的值；若不存在,

AP

说明理由.

【答案】(1)见解析；(2)也；(3)存在，4竺=4

3AP4

【解析】(1)因为平面平面ABC。，AB1AD,

所以AB，平面PAO,所以ABLPD,

又因为PALP。，所以平面PAB；

(2)取AO的中点0,连结尸0,CO,

因为PA=PD,所以POLAD.

又因为POu平面PAD,平面B4D平面ABC。，

所以POL平面ABC。.

因为COu平面ABC。，所以POLCO.

因为AC=CD,所以CO_LAD.

如图建立空间直角坐标系。-孙z,由题意得,

A(0,1,0),5(1,1,0),C(2,0,0),£>(0,-1,0),P(0,0,1).

设平面PCD的法向量为n=(x,y,z),则

[.丝二°，即-y-z=0,

n-PC=0,2x-z=0,

令z=2,则％=1,y=-2.

所以7=(1,—2,2).

—»——*n,PB

又所以

nPB3

73

所以直线尸8与平面PC。所成角的正弦值为匚.

3

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(3)设M是棱PA上一点，则存在4e[0,l]使得=

因此点M(O,1-2,2),5M=(-1-2,2).

因为①平面PCD,所以〃平面PCD当且仅当前G=0,

即(―1,—42>(1,—2,2)=0,解得4=工.

4

所以在棱PA上存在点M使得〃平面PCD,此时也=’.

AP4

5.12016高考浙江理数】(本题满分15分)如图，在三棱台ABC-DER中，平面3。在，平

面

ABC,ZACB=90,BE=EF^FC=1,B(=2,AC=3.

(D求证："L平面477?；

(II)求二面角小4。尸的平面角的余弦值.

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【解析】(I)延长AD,BE,相交于一点K,如图所示.

因为平面平面A5C,且ACL3C,所以AC,平面BCK,因此BBLAC.

又因为EF//BC,BE=EF=FC=1,BC=2,

所以△3CK为等边三角形，且尸为CK的中点，则3PLCK.

所以3尸，平面ACT。.

(II)方法一：过点尸作42LAK于Q,连结3Q.

因为3尸，平面ACK,所以3户，AK,则AKL平面BQF,所以5QLAK.

所以ZBQF是二面角B-AD-F的平面角.

在RtzXACK中，AC=3,CK=2,得/Q=£3.

13

在Rt^BQ/中，FQ=^^-,BF=0,得COSNBQF=①

134

所以二面角B-AD-F的平面角的余弦值为—

4

方法二：如图，延长AD,BE,CF相交于一点K,则△3CK为等边三角形.

取5c的中点。，则K0L3C,又平面平面A5C,所以，KOL平面ABC.

以点。为原点，分别以射线。5,OK的方向为，的正方向，建立空间直角坐标系。孙z.

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因此，AC=（0,3,0）,AK=（1,3,Q）,AB=（2,3,0）.

设平面ACK的法向量为/n=(%,%,4),平面ABK的法向量为〃=(九2，%*2).

ACm=03%=

由V

AKm=0X]+3yl+A/§Z]=0

ABn=02X+3%-0

由《，得《2

x

AKn=02+3%+^/3Z2=0

同

所以，二面角3-AO-齐的平面角的余弦值为~T

6.【2016年高考四川理数】(本小题满分12分)

如图，在四棱锥P-ABCD中，AD〃BC,ZADC=ZPAB=90°,BC=CD=-AD,E为边AD的中点,

2

异面直线PA与CD所成的角为90°.

(I)在平面PAB内找一点M,使得直线CM〃平面PBE,并说明理由；

(II)若二面角户-切T的大小为45°,求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.

【答案】(I)详见解析；(II)

3

【解析】(I)在梯形/及力中，前与切不平行.

延长DC,相交于点〃平面必6),点〃即为所求的一个点.理由如下:

由已知，BC//ED,旦BC=ED.

所以四边形式座是平行四边形.，所以CD〃EB

从而CM//EB.

又EBu平面PBE,(W平面侬；

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所以以〃平面PBE.

(说明：延长//至点儿使得/尸朋则所找的点可以是直线娜上任意一点)

(II)方法一：

由已知,CDXPA,CD±AD,PAcAD=A,

所以CD_L平面PAD.

从而CDXPD.

所以NPDA是二面角P-CD-A的平面角.

所以/PDA=45°.

设BC=1,则在RtZ\PAD中，PA=AD=2.

过点A作AHLCE,交CE的延长线于点H,连接PH.

易知PA_L平面ABCD,

从而PA±CE.

于是CEJ_平面PAH.

所以平面PCE_L平面PAH.

过A作AQ_LPH于Q,则AQ_L平面PCE.

所以/APH是PA与平面PCE所成的角.

在RtZXAEH中，ZAEH=45°,AE=1,

所以AH=-^―.

2

在R3AH中，PH=A/B42+AH-=,

AH1

所以sin/APH=——=-.

PH3

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方法二：

由已知,CD±PA,CD±AD,PAcAD=A,

所以CD_L平面PAD.

于是CD_LPD.

从而NPDA是二面角P-CD-A的平面角.

所以NPDA=45。.

由PA_LAB,可得PAJ_平面ABCD.

设BC=1,则在RtzXPAD中，PA=AD=2.

作Ay_LAD,以A为原点，以,AP的方向分别为x轴，z轴的正方向，建立如图所示的空

间直角坐标系A-xyz,则A(0,0,0),P(0,0,2),C(2,1,0),E(l,0,0),

所以PE=(1,0,-2),EC=(1,1,0),AP=(0,0,2)

设平面PCE的法向量为n=(x,y,z),

n-PE=0,fx-2z=0,,

由《得1设x=2,解得n=(2,-2,1).

n-EC=0,x+y=0,

设直线PA与平面PCE所成角为a,则sina=I-API=—.2=-.

\n\-\AP\2x，22+(—2)2+—3

所以直线PA与平面PCE所成角的正弦值为L.

3

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1.12015江苏高考，22］（本小题满分10分）

如图，在四棱锥尸―A3CD中，已知PA_L平面ABCD,且四边形A3CD为直角梯

冗

形，ZABC=ZBAD=-,PA=AD=2,AB=BC^1

2

（1）求平面PA3与平面PC。所成二面角的余弦值；

（2）点0是线段露上的动点，当直线攵与加所成角最小时，求线段制的长

则各点的坐标为B（1,O,O）,C（1,1,O）,D（0,2,0）,P（0,0,2）.

(1)因为AD,平面PAB,所以AD是平面PAB的一个法向量，AD=(0,2,0).

因为PC=(l/,—2),PD=(O,2,-2).

/、(x+y-2z=0

设平面PCD的法向量为加=(羽y,z),则m.pc=0，m-PD=0＞即12y_2z_0,

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令y=i,解得z=i,x=i.

所以加=(1,1,1)是平面PCD的一个法向量.

从而cos(AD,机)=/向=g，所以平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值为\

(2)因为BP=(T0,2),设BQ=ABP=(—40,22)(0<2<1)；

又CB=(O,—1,0)则CQ=CB+BQ=(—4—l,24),yDP=(0,-2,2)

cos(CQ,DPCQDP1+22

ICQIIDPIV1022+2

从而

cos2/cQ,DP\=-------—<2

\/5?-10?+92010

H--

设1+22=/,则9

9,2/\3M

t=w