初二奥数教材根式及其运算

第七讲根式及其运算

二次根式的概念：式子“(a>0)叫作二次根式.

二次根式的性质：

(1)(Va)2=a(a>0)；

fa.当a〉0时，

(2)7?=|a|=<0,当a=0时，

1-a,当a<0时.

二次根式的运算法则：

(1)aVin+b%/m=(a+b)-Jm(m》0)；

(2)Va17b=Vab(a)0,b》0)；

⑶W=g(a>。，b〉0);

(4)西尸=尸建》0).

若a〉b〉0,则石〉

设a,b,c,d,m是有理数，且m不是完全平方数，则当且仅

当a=c,b=d时，a+b->/tn=c+dVm.

形如x=a+、用，y=a-芯的两个根式互称为共掘根式.

当两个含有二次根式的代数式相乘时，如果它们的积不含有二次根

式，则这两个代数式互为有理化因式.

例1化简：

(1)7x2-Ax+4+|1-x|,其中l<x<2；

(2)Ja-b■Ja-b--J(b-a)2-|b-a|.

解(1)由二次根式的性质好=|a|可知，化简二次根式的一个有效方

法是配方去掉根号，所以

原式二倔万7+|l-x|=|x-2|+|l-x|.

因为x-2V0,l-x<0,所以

原式=2-x+x-l=l.

(2)要使病而有意义，必须a-b>0,所以

4(b-a)2=a-b,|b-a|=a-b.

原式=(Ja-b)"-(a-b)-(a-b)

=a-b-a+b-a+b=b-a.

说明若根式中的字母给出了取值范围，则应在这个范围内进行化简;

若没有给出取值范围，则应在字母允许取值的范围内进行化简.

例2化简：

⑴______M；

V10+V14+-x/15+V21

、伺+4、5+3应

(}718+712+3+-,/6'

分析两个题分母均含有根式，若按照通常的做法是先分母有理化，

这样计算化简较繁.我们可以先将分母因式分解后，再化简.

返+乖

解⑴原式=

点(而+")+、月(、石+、万)

72+73

=(、也+辱(、4+\疗)

=1_币-型

~近+币-7-5

=玄6庖

医+4昭+3收

(2)原式=限道+①道+必

76(1+2-72+73)

(、行+应)G后+询

76(1+72+72+73)

73(73+^(72+1)

=发（,5-应+、也-1）

=

例3化简：711+2718.

分析本例是复合二次根式6士2时的化简问题,化简方法主要有

下面两种.

解法1配方法.

711+2718=也+2M+2

=7（V9+V2）2=3+V2.

配方法是要设法找到两个正数x,y（x>y）,使x+y=a,xy=b,则

7a±2-/b=Jx+y±2、防=&豉士密"

=、反士J7（x〉y）.

解法2待定系数法.

设而出底=、&+/，两边平方得

11+2V18=x+y+2^jy,

所以HL

xy=18.

解之得或卜=:

[y=9；[y=2.

所以711+2718=+V2=3+72.

例4化简：

⑴-一、历；⑵]23-6川+443-2、扬.

解⑴5:产二怦害

J5-J31L「

1—^1=-(710-76).

说明本题为与立=:（、历-痴）是常见错误.

v22

⑵这是多重复合二次根式，可从里往外逐步化简.

原式=123-6510+4(、拒-1)

=713-676+4^

=也3-6必2花

=j23-6(2+应)=J11-6、也

=J11-2、的=3-72.

例5化简：＜13+2^/5+277+2735.

分析被开方数中含有三个不同的根式，且系数都是2,可以看成

是将、田+/+6平方得采的，因此用待定系数法采化简.数法采化简.

解设

V13+Z^+Z>j^+2V35=或+百+后,

两边平方得

13+2指+2"+2后

=x+y+z+2、同+2A/yz+2-/zx.

'x+y+z=13,①

xy=5,②

所以

yx=7,③

zx=35.④

②X③X④得

(xyz)2=5X7X35=352.

因为x,y,z均非负，所以xyzeO,所以

xyz=35.⑤

⑤4■②，有z=7.同理有x=5,y=l.所求x,y,z显然满足①，所以

原式=1+石+0.

例6化简：y4~y/10+2-y/s+0+2石.

解设原式=x,则

x2=(4-J10+2、行)+(4+J10+2后

+2J(4-M+2指)(4+而+2扬

=8+276-2^/5=8+2(^/5-1)

=6+2#=(#+1产，

显然有x>0,所以原式=x=、后+1.

例7化简：3也0+14浦+?《2。-14亚.

解法1利用(a+b)3=a3+b3+3ab(a+b)来解.

设x=3,20+14、泛+3J2O-140,两边立方得

x3=40+3,378*x,

即X3-6X-40=0.

将方程左端因式分解有

(x-4)(x2+4x+10)=0.

因为

x2+4x+10=(x+2)2+6>0,

所以x-4=0,x=4.所以原式=4.

解法2

3)20+14点=378+1272+12+2^/2

=3J(2+后=2+72.

同理3J20-14、历=2-、反所以

原式=(2+应)+(2-、⑵=4.

说明解法2看似简单，但对于三次根号下的拼凑是很难的，因此本

题解法1是一般常用的解法.

例8化简：

Q)A/1+a2+V1+a2+a4；(2)Jy+2+3J2y-

解⑴

22

r^2+2a++a+

原式=1-------------------

(a2+a+1)+27(a2+a+l)(a2-a+1)+(a2-a+1)

=42

也

一

2，J(2y-5)+2jl8y_45+9

J2

(72^5+3).

(2)原式=卜+严

=今.2y+4+2jl8y-45

(Va2+a+1+Va2-a+1)2

=V2

5,______,______

=Ja，+a+1+Va2-a+1).

本小题也可用换元法来化简.

令J2y-5=x0》］），贝叼=

…X2+5

原式=+2+3x

+3)(因为又)0)

例9化简：丁+3竹宁

解用换元法.

设x=5F，则a=3x?+l,言=1+3.所以

原式=3^3x2+1+(x2+3)x+3J3x++1-依2+3)x

=371+3x+3x2+x3+3Vl-3x+3x2-x3

33

=37(1+X)+37(1-X)

=(1+x)+(l-x)=2.

E—1A-V3-\l2V3+V2_p.-2AJ-

例10已知x=后+后,y=/_0,求3x?-5xy+3y的值.

解直接代入较繁，观察x,y的特征有

[xy=1,

(x+y=10.

所以

3x2-5xy+3y2=3x2+6xy+3y2-llxy

=3(x+y)2-llxy

=3X1O2-11X1=289.

例11求

256J(2+DQ2+1)04+1)08+1)...铲6+1)+］的值.

分析本题的关键在于将根号里的乘积化简，不可一味蛮算.

解设根号内的式子为A,注意到1=(2-1),及平方差公式(a+b)(a-b)

=a2-b2,所以

A=(2-1)(2+1)(22+l)(24+l)-(牙56+1)+1

=⑵-1)⑵+1)(24+l)⑵+1)…⑵56+1)+1

=(24-1)(24+1)⑵+1)⑵°+1)…⑵56+1)+1

=•••=(2256-1)(2期+1)+1

-----22X256_]_|_]—-22X256

所以原式=攻、炉荻=2?=4.

例12若2=-72+1,计算

1

共有2000层4

i

2+------------

2+-f

2+・・・-----

2+—

a

的值.

分析与解先计算几层，看一看有无规律可循.

因为a=、也+1,所以

2-7=^—=42-1,

aV2+1

所以2+—='也-1+2=V2+1=a,

a

所以—Up」=应一i.

2-㊀

+a

所以,不论多少层，原式=4=,窗-1.

a

例13求根式

解用构造方程的方法来解.设原式为X,利用根号的层数是无限的

特点，有

^2-=x

两边平方得

2-A/2+x=x2,

即2—x2=72+x.

两边再平方得

x4-4x2+4=2+x,所以x4-4xJx+2=0.

观察发现，当x=-l,2时，方程成立.因此，方程左端必有因式(x

+1)(x-2),将方程左端因式分解，有

(x+1)(x-2)(x2+x-l)=0.

-1土不

所以x=-1,x=2,x=~

又因为0<x<2,所以x=-1,x=2,x=―-—应舍去,

所以x=号.即

原式:与L

例14设岸里的整数部分为x,小数部分为y,试求x2+〈xy+y2

、/5-12

的值.

解因为

、6+i(指+1>3+耶

--------=-------------=----------=2+---------

乖-1422'

而0〈也所以x=2,y=吏二，所以

x2+7*xy+y2=4+[x2xS.]