2021-2022学年黑龙江省大庆三十六中等校联考九年级（上）期末数学试卷(学生版+解析版)

2021-2022学年黑龙江省大庆三十六中等校联考九年级（上）期

末数学试卷

一、选择题：（每小题3分，共30分）

1.（3分）下列计算正确的是（）

A.a2,a3—c^>B.（-a2）3—a6

C.（ab）2=a2h2D.（a-%）2=a2-h2

2.（3分）在Rt^ABC中，有下列情况，则直角三角形可解的是（）

A.已知BC=6,/C=90°

B.已知NC=90°,/A=60°,BC=5

C.已知NC=90°,ZA=ZB

D.已知NC=NB=45°

3.（3分）下列说法正确的是（）

A.相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等

B.平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧

C.等弧所对的圆心角相等，所对的弦相等

D.圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条直径

5.（3分）如图，A8是河堤横断面的迎水坡，堤高AC=V5,水平距离BC=1,则斜坡48

的坡度为（)

A.V3B.—C.30°D.6（）。

6.（3分）小刚在解关于x的方程a?+fec+c=O（aWO）时，只抄对了a=2,c=l,解出其

中一个根是x=l.他核对时发现所抄的匕比原方程的力值小1.则原方程的根的情况是

（）

A.不存在实数根B.有两个不相等的实数根

C.有另一个根是x=-lD.有两个相等的实数根

7.（3分）如图，若双曲线与边长为5的等边△AOB的边OA,AB分别相交于C,D

两点，且OC=38£>,则实数4的值为（）

8.（3分）若二次函数）=-/+如在-1WXW2时的最大值为3,那么根的值是（）

77

A.-4或-B.-26或一C.-4或2V5D.-2g或26

22

9.（3分）如图，已知直线讯交。。于A、B两点，AE是。O的直径，点C为。。上一点，

且AC平分/R1E,过C作C£>J_勿，垂足为。，且。C+D4=12,。。的直径为20,则

AB的长等于（）

10.（3分）如图所示，己知二次函数），=/+岳:+c的图象与x轴交于A（-1,0）,B（3,0）

两点，与y轴的正半轴交于点C,顶点为O,则下列结论:

①2a+8=0；

②2cV36

③当△ABC是等腰三角形时，〃的值有2个;

④当△BCD是直角三角形时，a=-号.

二、填空题：（每小题3分，共24分）

11.（3分）0.002021用科学记数法表示为2.021X10”,则小的值为.

,3%v4%+1

12.（3分）若关于x的不等式组一…，恰有2个整数解，则a的取值范围为.

13.（3分）将△4BC纸片沿OE按如图的方式折叠.若NC=50°,Zl=85°,则N2等

于_______

14.（3分）如图，在等腰Rt^ABC中，AC=BC=3VL点尸在以斜边A8为直径的半圆上,

M为PC的中点.当点尸沿半圆从点A运动至点8,点M运动的路径长是.

15.（3分）如果数机使关于x的二次函数y=-/+2X+〃L4的函数值恒为负数，且使关于

x的方程（〃L2）/+4X-1=0有实数根，那么所有满足条件的整数〃?的值的和为.

16.（3分）如图，在RtzXABC中，AB=AC=8,点E,F分别是AB,AC的中点，点尸是

1

扇形AEF的弧E尸上任意一点，连接BP,CP,贝叩?P+CP的最小值是

17.（3分）一副三角板如图放置，将三角板4OE绕点A逆时针旋转a（0°<a<90"

使得三角板AOE的一边所在的直线与8c垂直，则a的度数为

18.（3分）如图，在△ABC中，点。是AB边上的一点，且40=38。，连接C。并取C。

的中点E,连接BE,若N4CD=NBED=45°,且CD=6或，则AB的长为.

19.(4分)计算：(it-3.14)°+V^8+2V3tan600-(-2)202u(-)202°.

2

20.(4分)解方程：2-名=涔.

y-r1y—i

21.(5分)如图，正方形A8CD,点E,尸分别在AD,CD上,_SDE=CF,AF与BE相

交于点G.

(1)求证：BE=AF\

(2)若48=4,DE=1,求AG的长.

BC

22.（5分）新冠肺炎期间，各地积极抗疫，建起了方舱医院，如图，某方舱医院内一张长

200。〃，高50。"的病床靠墙摆放，在上方安装空调，高度CE=250aw,下沿EF与墙垂

直，出风口下离墙20a”，空调开启后，挡风板尸G与E夹角成136°,风沿FG方向吹

出，为了病人不受空调风干扰，不能直接吹到病床上，请问空调安装的高度足够吗？为

什么？（参考数据:sin46°心0.72,cos46°g0.69,tan46°—1.04）

23.（6分）为落实我市关于开展中小学课后服务工作的要求，某学校开设了四门校本课程

供学生选择：A.趣味数学；8.博乐阅读；C.快乐英语；。.硬笔书法.某年级共有

100名学生选择了4课程，为了解本年级选择A课程学生的学习情况，从这100名学生

中随机抽取了30名学生进行测试，将他们的成绩（百分制）分成六组，绘制成频数分布

直方图.

（1）已知70Wx〈80这组的数据为：72,73,75,74,79,76,76,则这组数据的中位

数是，众数是;

（2）根据题中信息，估计该年级选择A课程学生成绩在80<x<90的总人数：

（3）该年级每名学生选两门不同的课程，小张同时选择课程A和课程B的概率是多少？

请用列表法或树状图的方法加以说明.

24.（8分）某网店专售一款电动牙刷，其成本为20元/支，销售中发现，该商品每天的销售

量y（支）与销售单价x（元/支）之间存在如图所示的关系.

（1）请求出y与x的函数关系式；

(2)该款电动牙刷销售单价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少元？

(3)近期武汉爆发了“新型冠状病毒”疫情，该网店店主决定从每天获得的利润中抽出

200元捐赠给武汉，为了保证捐款后每天剩余利润不低于550元，如何确定该款电动牙刷

25.(7分)定义：如图1,点M、N把线段AB分割成AM、MN和BN,若以AM、MN、BN

为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段A8的勾股点.已知点M、N是线

段的勾股点，若AM=1,MN=2,则BN=.

(1)如图2,OE是△4BC的中位线，M、N是A8边的勾股点(AM<MN<NB),连接

CM、CN分别交。E于点G、H.求证：G、H是线段QE的勾股点.

(2)如图3,C,£>是线段A3的勾股点(ACVBOVC。)，以CD为直径画。0,P在。0

上，AC=CP,连接用，PB,若NA=2/8,求NB的度数.

两点

(1)求一次函数和反比例函数的表达式；

(2)ZVIOB的面积为；

(3)直接写出不等式丘+6>半的解集

(4)点P在x的负半轴上，当△雨。为等腰三角形时，直接写出点P的坐标.

27.(9分)如图1,△ABC内接于。O,N8AC的平分线A。交。。于点£),交BC于点E,

过点D作DF//BC,交AB的延长线于点F.

(1)求证：MBDEsXADB；

(2)试判断直线。尸与。。的位置关系，并说明理由；

(8,0),B(0,6),CD=5,抛物线-竽x+c(aWO)过B,C两点，动点M从

点。开始以每秒5个单位长度的速度沿Q-A-BfC的方向运动到达C点后停止运动.动

点N从点0以每秒4个单位长度的速度沿0C方向运动，到达C点后，立即返回，向

C。方向运动，到达0点后，又立即返回，依此在线段0C上反复运动，当点用停止运

动时，点N也停止运动，设运动时间为f.

(1)求抛物线的解析式；

(2)求点。的坐标；

(3)当点M,N同时开始运动时，若以点M,D,C为顶点的三角形与以点B,O,N

为顶点的三角形相似，求r的值；

(4)过点。与x轴平行的直线，交抛物线的对称轴于点Q,将线段沿过点8的直线

翻折，点A的对称点为A，，求HQ+QV+EW的最小值.

2021-2022学年黑龙江省大庆三十六中等校联考九年级（上）期

末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：（每小题3分，共30分）

1.（3分）下列计算正确的是（）

A.a2,a3=a6B.（-a2）3=i?6

C.Cab）2—a2b2D.（a-b）2—a2-b1

【解答】解：A、J./：/,故此选项错误；

B、（-“2）3=”6,故此选项错误；

C、（ah）2=a2b2,正确;

D、（tz-b）2—a2-2ab+b1,故此选项错误；

故选：C.

2.（3分）在RtZ\ABC中，有下列情况，则直角三角形可解的是（）

A.已知8c=6,/C=90°

B.已知NC=90°,NA=60°,BC=5

C.已知NC=90°,ZA=ZB

D.已知/C=NB=45°

【解答】解：•••选项C、。缺少边的条件，A缺少锐角的条件，

,不能解直角三角形，

选项B中，由/A的正弦可求出AB,再根据直角三角形的性质可求出N2,然后由勾股

定理或/A的正切函数可求出AC.

故选：B.

3.（3分）下列说法正确的是（）

A.相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等

B.平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧

C.等弧所对的圆心角相等，所对的弦相等

D.圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条直径

【解答】解：A.图1

如图1,圆心角NA08=圆心角NC。。，但是您M前，弦ABW弦C£>,故本选项不符

合题意;

如图2,直径A8和弦CQ,AB平分CD,但是A8和CD不垂直，故本选项不符合题意；

C.等弧所对的圆心角相等，所对的弦也相等，故本选项符合题意；

D.圆是轴对称图形，对称轴是直径所在的直线（对称轴是直线，不是线段），故本选项

不符合题意：

故选：C.

4.（3分）下列图形中，ZX/IBC与不一定相似的是（）

【解答】解：4、当EF与BC不平行时，△ABC与△DE尸不一定相似，故本选项正确；

B、由NABC=NEFC,NACB=NECF可以判定凡故本选项错误；

C、由圆周角定理推知又由对顶角相等得到NAC8=NEED,可以判定aABC

s^DEF,故本选项错误；

。、由圆周角定理得到：ZACB=90°,所以根据N4CB=NCDB,ZABC=ZCBD,可

以判定△ABCs/XOEF,故本选项错误；

故选：A.

5.（3分）如图，AB是河堤横断面的迎水坡，堤高AC=V5,水平距离5c=1,则斜坡A8

A.V3B.—C.30°D.60°

【解答】解：由题意可得：NACB=90°,则斜坡AB的坡度为：箓=彳=«.

故选：A.

6.（3分）小刚在解关于x的方程aW+bx+c=0（a#0）时，只抄对了a=2,c=1,解出其

中一个根是x=1.他核对时发现所抄的b比原方程的b值小1.则原方程的根的情况是

（）

A.不存在实数根B.有两个不相等的实数根

C.有另一个根是x=-lD.有两个相等的实数根

【解答】解：根据题意得x=l为方程2/+法+1=0的一个根，

设此方程的另一根为f,则1+/=-故lX/另，

解得f=；，b=-3,

即所抄的6的值为-3,

所以原方程的〃的值为-2,

则原方程为Zr2-2x+l=0,

因为A=（-2）2-4X2=-4<0,

所以原方程没有实数解.

故选：A.

7.（3分）如图，若双曲线）口右与边长为5的等边△AOB的边OA,A3分别相交于C,D

两点，且OC=33O,则实数Z的值为（）

7

Bx

A.2V3B.-V3C.-V3D.1

24

【解答】解：（方法一）过点。作CE_LO3于点E,过点。作。凡LO8于点E则

ZOEC=ZBFD=90°,

V/\AOB是等边三角形，

.•./COE=N£>2F=60°,

:.AOECsgFD,

；.0E：BF=OC-.BD,

'：OC=3BD,

；.0E=3BF,

设BF=x,贝U0E=3x,

，CE=V3OE=3V3x,DF=曲BF=回，

：.C（3x,3岳），OF=OB-BF=5-x,

：.D（5-x,6x）,

•.•点C和点。在反比例函数图象上，

"=3XX3V5X=（5-x）x岳，

解得：x=0（舍）或x=粉,

（方法二）过点C作CELOB于点E,过点D作DFLOB于点F,

•.♦△AOB是等边三角形，

：.ZC0E^ZB=6Q°,

设BD=2n,则OC=3BO=6〃，

-1

，0E=今。C=3n,CE=g0E=2次〃，

...点C的坐标为（3”，2V3n）,

同类可得，BF=*BD=n,DF=^3DF=V3n,

：.OF=OB-BF=5-n,

...点。的坐标为(5-”，V3n),

:点C和点。都在反比例函数图象上,

.•.3〃义2旧”=(5-n)xV3n,

解得：n=i,

3

3-

.•.点C的坐标为（；,2

2

.,33与_9点

••k—2Xv2V3—彳*

（方法三）过点C作CEJ_OB于点£,过点。作J_OB于点E则N0EC=N8U>=

90°,

:△A03是等边三角形，

：.ZCOE=ZDBF=60°,

:•△OECs/\BFD,

：.OE：BF=OC：BD=OC：BD=3,

・・,点。在反比例函数图象上，

k

设C（。，一），

a

k

：一

♦OE=a,CE=a,

：.DF=\CE=上,即点D的纵坐标为二，

33a3a

k

/.点D（3a——），

f3a

/.OF=3a,

：.BF=OB-OF=5-3cb

OE=3BF,

••61~~3（5—3a）,

解得：a=I，

.,.CE=OEtan60°=|V3,即点C的坐标为（］,-73）,

•7_33仄_9二

♦♦K—2X2V3=彳•

故选：C.

8.（3分）若二次函数y=-f+，nr在-1WXW2时的最大值为3,那么〃?的值是（）

77

A.-4或-B.-2b或-C・-4或2次D.-2遮或2遮

22

【解答】解：,.•＞=-7+以内，

・・・抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线x=-田F=?，

①当/4-1,即时，当x=-l时，函数最大值为3,

-1-m=3,

解得：m=-4；

771

②当］22,即机24时，当x=2时，函数最大值为3,

-4+2/=3,

解得：m=（舍去）.

③当-IV与＜2,即-2＜机＜4时，当犬=鄂寸，函数最大值为3,

.m2m2a

..一丁+彳=3,

解得，〃=2值或加=-2次（舍去），

综上所述，机=-4或机=2遮，

故选：C.

9.（3分）如图，已知直线孙交。。于4、B两点，AE是。0的直径，点C为。0上一点，

且AC平分/B4E,过C作CDJ_Rb垂足为。，且OC+D4=12,。。的直径为20,则

4B的长等于（）

A.8B.12C.16D.18

【解答】解：连接OC,过。作。凡LAB,垂足为凡

♦：OA=OC,

：.ZOCA=ZOACf

TAC平分

：.ZDAC=ZCAO,

：.ZDAC=ZOCA9

J.PB//OC,

VCD1ZM,

AZOCD=ZCDA=ZOFD=90°,

・・・四边形DCOF为矩形，

：・OC=FD,OF=CD.

VDC+DA=12,

设AD=x,则。/=CD=12-x,

・・・。。的直径为20,

：.DF=OC=\Of

：.AF=10-X9

在RtZ\AOb中，由勾股定理得A/+。产=042.

即(10-X)2+(12-X)2=1()2,

解得Xl=4,X2=18.

・・・。。=12-%大于0,故x=18舍去，

/.x=4,

，4。=4,”=10-4=6,

OFLAB,由垂径定理知，F为48的中点,

：.AB=2AF=\2.

故选：B.

10.(3分)如图所示，已知二次函数)，=〃/+法+。的图象与x轴交于A(-1,0),8(3,0)

两点，与)，轴的正半轴交于点C,顶点为。，则下列结论：

①2a+6=0；

②2c<36

③当△ABC是等腰三角形时，a的值有2个；

④当△BC。是直角三角形时，。=一冬

【解答】解：•.•二次函数y=a?+bx+c的图象与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,

对称轴为直线x=-/=1，

：.b=-2a,

，2〃+。=0,故①正确，

当x=-1时，0=〃-b+c,

•\a+2a+c=0,

c=-3m

：.2c=3h,故②错误；

,二次函数y=o%2-2以-3a,(a<0)

.•.点C(0,-3a),

当BC=AB时，4=V9+9a2,

当AC=BA时，4=Vl+9a2,

.715

••"=一"T'

...当△ABC是等腰三角形时，a的值有2个，故③正确；

,二次函数>=依2-2ax-3a=a（x-1）2-4a,

二顶点£>（〉-4a）,

：.BD2=4+16a2,BC2=9+9a2,CD2^cr+l,

若NB£>C=9（T,可得BC2=B£>2+C£>2,

9+9〃2=4+16a2+a2+1,

.__V2

••a-2―，

若NDCB=90°,可得3£>2=C£）2+8C2,

4+16J=9+9/+/+1,

-1,

.•.当△BCD是直角三角形时，a=-1或一乎，故④错误.

故选：B.

二、填空题：（每小题3分，共24分）

11.（3分）0.002021用科学记数法表示为2.021义10%则一的值为-3.

【解答】解:0.002021用科学记数法表示为2.021X10-3,则根的值为-3.

故答案为：-3.

r3x<4x4-1

12.（3分）若关于x的不等式组~…，恰有2个整数解，则a的取值范围为0

（%-a<0---

VqW1.

【解答】解：解不等式3xW4x+l,得：尤2-1,

解不等式x-〃V0,得：x<a,

则不等式组的解集为-1WxVm

•.•不等式组的整数解有2个,

.,.0<aWl,

故答案为：0<aWl.

13.（3分）将△ABC纸片沿OE按如图的方式折叠.若NC=50°,Zl=85°,则N2等

于15°.

；.N3+/4=/4+/B=/4'+NB'=180°-ZC=130°,

VZ1+Z2+Z3+Z4+Z4/+ZB'=360°,Zl=85°,

.,.Z2=360°-85°-2X130°=15°,

故答案为：15°.

14.（3分）如图，在等腰RtZ\A2C中，AC=BC=3VI,点尸在以斜边A3为直径的半圆上,

3

M为PC的中点.当点P沿半圆从点A运动至点8,点M运动的路径长是0.

-2

【解答】解：取AB中点O,连接OP,OC,取OC中点。，连接A/D,

'：AB=y/2AC=6,

：.0PAB=3,

13

：.MD=^0P=当

3

由题意可知，点M的运动路径是以点。为圆心，为万半径的半圆,

：.MD=10P=|,

122

・・・点M的运动路径长=1X27TX1=17T,

故答案为：|K.

15.（3分）如果数〃?使关于x的二次函数y=-/+2X+〃L4的函数值恒为负数，且使关于

工的方程（机-2）f+4》-1=0有实数根，那么所有满足条件的整数”的值的和为0.

【解答】解：•.•关于x的二次函数y=-7+2x+m-4的函数值恒为负数的条件为△=4+4

5-4）<0.

解得mV3,

当机=2时，关于x的方程（"-2）/+4x-1=0可化为4x-1=0,该方程有实数根，

当时，关于x的方程（机-2）/+4x-1=0有实数根的条件是△=16+4（〃?-2）

20,

解得加2-2且加W2,

综上所述，-2W/?2V3,

・•・整数机的取值为：-2、-1、0、1、2,则其和为：-2-1+0+1+2=0.

故答案为：0.

16.（3分）如图，在RtZXABC中，AB=AC=S,点、E,F分别是A3,AC的中点，点尸是

1

扇形A即的弧箱上任意一点，连接8P,CP,贝的最小值是2旧.

AC

【解答】解：在48上取一点了，使得AT=2,连接PT,M,CT,

VM=4.AT=2,AB=8,

・•・*=”•AB,

,PAAB

AT-PA

*：ZPAT=ZPAB9

1•△B4Ts△§”，

.PTAP1

••PB~AB~2

1

：.PT=,B,

1

:.-PB+CP=CP+PT,

2

■:PC+PT》TC,

在REDACT中，vzcAr=90°,AT=2,AC=8,

：.CT=y/AT2+AC2=2V17,

1—

：.-PB+PC^2\)fl7,

2

1

：.~PB+PC的最小值为2g,

故答案为：2g.

17.(3分)一副三角板如图放置，将三角板AOE绕点A逆时针旋转a(00<a<90°),

使得三角板AQE的一边所在的直线与BC垂直，则a的度数为15°或60°.

【解答】解：分情况讨论：

①当。E_LBC时，180°-60°-45°=75°,；.£(=90°-ZBAD=15°；

②当AZ）_L8C时，a=90°-ZC=90°-30°=60°.

故答案为：15°或60°

18.（3分）如图，在△ABC中，点。是AB边上的一点，且AO=38£>,连接CD并取CD

的中点E,连接BE,若NACD=NBED=45°,且C£>=6近，则AB的长为4V13.

【解答】解：如图，取4。中点F,连接EF,过点。作。GLEF于G,DHLBE于H,

.\AD=3BD=3a,A3=4Q,

•・•点E为C。中点，点尸为AO中点，以＞=6近,

，。尸=|〃，EF//AC,DE=3立,

：.ZFED=ZACD=45°,

VZBED=45°,

:./FED=/BED,ZFEB=90°,

VDG1EF,DHLBE,

・•・四边形是矩形，DG=DH,

・・・四边形OGE”是正方形，

：.DE=V2DG=3V2,DH//EF,

:・DG=DH=3,

*：DH//EF,

:・/BDH=/DFG,

:•△BDHs^DFG,

.BDBH

••—•)

DFDG

aBH

•=~T~,

2a3

：.BH=2,

：.BD=7BH2+、“2=74^9=V13,

.\Afi=4V13,

故答案为：4g.

三、解答题：(共66分)

19.(4分)计算：(n-3.14)°+'g+26tan60°-(-2)202u(~)2020.

2

【解答】解：原式=1+(-2)+2V5xg-(-2)2020X(-)2020X(-2)

2

=1-2+6-(-2x1)2020X(-2)

=1-2+6-IX(-2)

--1-2+6+2

=7.

20.(4分)解方程：2-景=高.

【解答】解：去分母得：2(y+1)(y-1)-2y(y-1)=3(y+l),

整理得：2尸-2-2『+2y=3y+3,

解得：y--5,

经检验y=-5是分式方程的解.

21.(5分)如图，正方形4BCD,点E,尸分别在AD,CD上,且。E=CF,A尸与8E相

交于点G.

(1)求证：BE=AF；

(2)若AB=4,DE=\,求4G的长.

【解答】（1）证明：：四边形ABCD是正方形,

.,.ZBAE=Z4DF=90°,AB=AO=C£),

■:DE=CF,

：.AE=DFf

AB=AD

在△A4E和AA。/中，，284E=乙4。?，

AE=DF

：./\BAE^/\ADF(SAS),

：.BE=AF；

(2)解：由(1)得：△3AE四△AOR

・・・NEBA=/FAD,

：.ZGAE+ZAEG=90°,

AZAGE=90°,

\'AB=4,DE=1,

：.AE=3,

22

：.BE=y/AB^AE=4+32=5,

_—11

在RtZkABE中，T8XA£：=^8EXAG,

22

•人心4x312

•MC=-=-5-

22.(5分)新冠肺炎期间，各地积极抗疫，建起了方舱医院，如图，某方舱医院内一张长

200cm,高50c〃?的病床靠墙摆放，在上方安装空调，高度CE=250cm,下沿EF与墙垂

直，出风口/离墙20”?，空调开启后，挡风板FG与E夹角成136°,风沿FG方向吹

出，为了病人不受空调风干扰，不能直接吹到病床上，请问空调安装的高度足够吗？为

什么？(参考数据:sin46°-0.72,cos46°-0.69,tan46°-1.04)

【解答】解：空调安装的高度足够.理由如下：

如图，延长FG交直线AO于点”，过下作FOLA。于点O,

则/O=E£>=250-50=200(cm),A0=200-20=180(cm),/HFO=136°-90°=

46°.

H0

•.•在RtZXFH。中，tan46°=苦，

.•.HO=FOXtan46°弋200XL04=208>180,

：.HO>AO,

...空调安装的高度足够.

23.（6分）为落实我市关于开展中小学课后服务工作的要求，某学校开设了四门校本课程

供学生选择：A.趣味数学；艮博乐阅读；C.快乐英语；D.硬笔书法.某年级共有

10（）名学生选择了A课程，为了解本年级选择A课程学生的学习情况，从这100名学生

中随机抽取了30名学生进行测试，将他们的成绩（百分制）分成六组，绘制成频数分布

直方图.

（1）已知70WxV80这组的数据为:72,73,75,74,79,76,76,则这组数据的中位

数是75,众数是76；

（2）根据题中信息，估计该年级选择A课程学生成绩在80Wx<90的总人数；

（3）该年级每名学生选两门不同的课程，小张同时选择课程A和课程B的概率是多少？

请用列表法或树状图的方法加以说明.

【解答】解：（1）把70Wx<80这组的数据排序为：72,73,74,75,76,76,79,

则这组数据的中位数是75,众数是76,

故答案为：7576；

（2）观察频数分布直方图，抽取的30名学生成绩在80Wx<90范围内的共有9人，所

9

占比例为云，

30

则估计该年级100名选择A课程的学生中成绩在80«90范围内的总人数为100X

30（人）；

（3）画树状图如图所示:

开始

ABCD

A\/WA\A\

BCDACDABDABC

由树状图可知，等可能的结果共有12种，小张同时选择课程A和课程8的情况共有2

种，

小张同时选择课程A和课程B的概率是Z=

126

24.（8分）某网店专售一款电动牙刷，其成本为20元/支，销售中发现，该商品每天的销售

量y（支）与销售单价x（元/支）之间存在如图所示的关系.

（1）请求出y与x的函数关系式；

（2）该款电动牙刷销售单价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少元？

（3）近期武汉爆发了“新型冠状病毒”疫情，该网店店主决定从每天获得的利润中抽出

200元捐赠给武汉，为了保证捐款后每天剩余利润不低于550元，如何确定该款电动牙刷

的销售单价？

【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为y=kx+b,

将(30,100),(35,50)代入y=kx+h,

zr30fc+b=100

fE"l35k+b=50'

解得仁志，

.,.y与x的函数关系式为y=-lOx+400；

(2)设该款电动牙刷每天的销售利润为w元，

由题意得w=(x-20),y

=(x-20)(-lOx+400)

=-10/+600x-8000

=-10(x-30)2+1000,

V-10<0,

...当x=30时，w有最大值，卬最大值为1000.

答：该款电动牙刷销售单价定为30元时，每天销售利润最大，最大销售利润为1000元;

(3)设捐款后每天剩余利润为z元，

由题意可得z=-10?+600A-8000-200

=-10?+600x-8200,

令z=550,即-10?+600x-8200=550,

-10(x2-60A+900)=-250,

x2-60^+900=25,

解得xi=25,%2=35,

画出每天剩余利润z关于销售单价x的函数关系图象如解图，

由图象可得：当该款电动牙刷的销售单价每支不低于25元，且不高于35元时，可保证

捐款后每天剩余利润不低于550元.

25.(7分)定义：如图1,点M、N把线段AB分割成AM、MN和BN,若以AM、MN、BN

为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股点.已知点M、N是线

段AB的勾股点，若AM=1,MN=2,则BN=_花或值

(1)如图2,OE是△ABC的中位线，M,N是A8边的勾股点(AM〈MN<NB),连接

CM,CN分别交OE于点G、H.求证：G、，是线段力E的勾股点.

(2)如图3,C,£>是线段A8的勾股点(AC<BD<C£>),以CQ为直径画0。，P在。0

上，AC=CP,连接外，PB,若NA=2NB,求NB的度数.

：.BN=7AM2+“N2=V1T4=b或BN=>JMN2-AM2=V4^T=遮,

的长为4或W；

故答案为：遍或g;

：.DE//AB,CD=AD,CE=BE,

：.CG=GM,CH=HN,

：.DG=^AM,GH=EH=&BN,

N是AB边的勾股点(AMVMNVNB),

:.BN2=MN2+AM2,

J.-BN2=序，

444

Ill

(-BN)2=(-MN)2+(-AM)2,

222

：.EH2^GH2+DG2,

；.G、H是线段QE的勾股点；

(2)如图3,连接

图3

'：AC=PC,

：.ZA=ZAPC,

：./PC£)=2NA,

VC,。是线段AB的勾股点，

：.AC2+BD2=CD2,

:.PC2+BD2^CD2,

•••CD是。。的直径，

：.ZCPD=90a,

PC2+PD2=CD1,

：.PD=BD,

:.NPDC=2NB,

,/ZA=2ZB,

：.ZPDC^ZA,

在RtZXPCD中，VZPCD+ZPDC=90°,

：.2ZA+ZA=90Q,

解得/A=30°,

则NB=：N4=15°.

26.(9分)已知一次函数与反比例函数产？的图象交于A(-3,2)、B(1,〃)

两点

(1)求一次函数和反比例函数的表达式；

(2)Z\AOB的面积为8；

(3)直接写出不等式fcr+b>苗的解集04<1或犬<-3；

(4)点尸在x的负半轴上，当△方。为等腰三角形时，直接写出点P的坐标.

【解答】解：(1)I♦反比例函数y=/经过点A(-3,2),

•-6,

:点8(1,〃)在反比例函数图象上,

••n—6.

把A,B的坐标代入、=匕+从贝解得

一次函数的解析式为y=--4,反比例函数的解析式为)=一］：

(2)如图设直线AB交y轴于C,则C(0,-4),

11

SMOB=S^OCA+S^OCB=2X4X3+2x4X1=8,

故答案为8；

(3)观察函数图象知，"+b>?的解集为OVxVl或xV-3,

故答案为0<x<l或x<-3；

(4)由题意0A=V22+32=V13,

当AO=AP时，可得Pi(-6,0),

当OA=OP时，可得P2(-V13,0),P4(V13)0)(舍去)，

当B4=PO时，过点A作AJ_Lx轴于J.设OP3=P3A=X,

在RtZ\A/P3中，则有f=22+(3-x)2,

解得广景

13

*••P3(—0),

综上所述，满足条件的点P的坐标为(-限,0)或(一今，0)或(-6,0).

27.(9分)如图1,△A8C内接于。0,/8AC的平分线A4交。O于点。，交BC于点E,

过点D作DF//BC,交AB的延长线于点F.

(1)求证：△BDEs^ADB；

(2)试判断直线。F与。。的位置关系，并说明理由;

(3)如图2,条件不变，若8C恰好是的直径，且A8=6,AC=8,求。尸的长.

【解答】(1)证明：平分/BAC,

：.ZBAD=ZDAC,

'：ZDAC=ZDBC,

：./DBC=NBAD,

；NBDE=ZADB,

:ABDEsAADB；

(2)相切.

理由：如图1,连接0D,

'：ZBAD=ZDAC,

：.BD=CD,

：.OD±BC,

,JDF//BC,

:.OD±DF,

...OF与。。相切；

(3)如图2,过点B作于点”，连接。£),

则NB/〃)=90°,

是直径，

：.ZBAC=90°,

:.NBHD=NBAC,

,:NBDH=NC,

:.△BDHsABCA,

•_BHB_D_

••—，

BABC

•・・AB=6,AC=8,

：.BC=y)AB2-^AC2=10,

:.08=00=5,

：.BD=yJOB2+0D2=5V2,

.BH_5V2

••———»

610

:.BH=3号,

：.DH=y/BD2-BH2=4V2,AH=yJAB2-BH2=372,

：.AD=AH+DH=7V2,

•rOF与OO相切，

：.4FDB=4FAD,