2023-2024学年河南省百师联盟高二（下）联考数学试卷（6月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年河南省百师联盟高二（下）联考数学试卷（6月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若直线l的方向向量为(2,1,m)，平面α的法向量为(1,12,2)，且l⊥α，则m=A.2 B.3 C.4 D.52.某学校4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只能去1个小区，且每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法种数为(

)A.6 B.12 C.24 D.363.已知{an}为等比数列，公比q>0，a2+a3A.81 B.27 C.32 D.164.甲、乙两人独立地破译一份密码，破译的概率分别为13,12A.16 B.23 C.565.如图F1，F2是双曲线C1：x2−y28=1与椭圆C2的公共焦点，点A是A.23 B.45 C.356.哈雷彗星大约每76年环绕太阳一周，因英国天文学家哈雷首先测定其轨道数据并成功预言回归时间而得名.已知哈雷是1682年观测到这颗彗星，则人们最有可能观测到这颗彗星的时间为(

)A.2041年～2042年 B.2061年～2062年 C.2081年～2082年 D.2101年～2102年7.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别在DB，ABA.3 B.22 C.28.若a=14ln4,b=2A.a<b<c B.b<a<c C.b<c<a D.a<c<b二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列结论正确的是(

)A.若随机变量ξ服从二项分布B(4,12)，则P(ξ=3)=14

B.若随机变量η服从正态分布N(5,σ2)，P(η<2)=0.1，则P(2<η<8)=0.8

C.若随机变量X服从两点分布，P(X=1)=1210.已知点M在圆x2+y2+2x−3=0上，点P(0,1)，A.存在点M，使得|MP|=1 B.∠MQP≤π4

C.存在点M，使得|MP|=|MQ| 11.已知等差数列{an}的首项a1=2，公差d=8，在{an}A.an=8n−6

B.当k=3时，bn=2n

C.当k=3时，b29不是数列{an}中的项

D.12.设f′(x)是三次函数y=f(x)的导数，f′′(x)是f′(x)的导数，若方程f′′(x)=0有实数解x0，则称点(x0,f(x0))为三次函数y=f(x)的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图像的对称中心A.f(x)的拐点为(−b3,f(b3))

B.f(x)有极值点，则b2−3c>0

C.过f(x)的拐点有三条切线三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.在(x3−314.若函数f(x)=x3+ax2+2在区间[1,+∞)上单调递增，则15.已知数列{an}为正项等比数列，且a2−16.已知点P在抛物线C：y2=2px(p>0)上，过P作C的准线的垂线，垂足为H，点F为C的焦点.若∠HPF=60°，点P的横坐标为1，则p=______．四、解答题：本题共5小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题10分)

已知函数f(x)=1x+2lnx．

(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；

(2)求函数18.(本小题12分)

已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2−a1=1，S5=3a5．

(Ⅰ)求{an}19.(本小题12分)

如图，在四面体ABCD中，AD⊥平面ABC，点M为棱AB的中点，AB=AC=2，BC=22，AD=2．

(1)证明：AC⊥BD；

(2)求平面BCD和平面DCM20.(本小题12分)

已知椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，离心率为e=12且过点(0,3)．

(1)求椭圆方程；

(2)21.(本小题12分)

已知函数f(x)=ex−ax−1，a∈R．

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)已知函数g(x)=(x−1)ln(x−1)−a，若f(x)≥g(x)恒成立，求参考答案1.C

2.D

3.B

4.B

5.C

6.B

7.A

8.A

9.AB

10.ABD

11.ABD

12.ABD

13.−514.[−315.12

16.2317.解：(1)函数f(x)=1x+2lnx，可得f′(x)=−1x2+2x，

所以f′(1)=1且f(1)=1，即切线的斜率为k=1且切点坐标为(1,1)，

所以切线方程为y−1=x−1，即x−y=0．

(2)由(1)知，f′(x)=2x−1x2,x>0，

当x∈(0,12)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；

当x∈(12,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，

所以当x=118.解：(Ⅰ)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2−a1=1，S5=3a5，

设等差数列{an}的公差为d，

由题意得a2−a1=d=15a1+10d=3(a1+4d)，解得a1=1d=1，

所以an=a19.解：(1)证明：∵AD⊥平面ABC，又AC⊂平面ABC，

∴AC⊥AD.∵AB=AC=2,BC=22，

∴AB2+AC2=BC2，∴AC⊥AB．

又AD∩AB=A，AD，AB⊂平面ABD，

∴AC⊥平面ABD．

又BD⊂平面ABD，

∴AC⊥BD．

(2)由题及(1)可知AB，AC，AD两两相互垂直，以AB，AC，AD所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则根据题意可得：D(0,0,2)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，M(1,0,0)，

∴BC=(−2,2,0),DC=(0,2,−2),CM=(1,−2,0)，

设平面BCD和平面DCM的法向量分别为m=(x,y,z),n=(a,b,c)，

则m⊥BCm20.解：(1)根据题目所给已知条件：离心率为e=12且过点(0,3)，我们可以得到b=3，e=1−b2a2=12，所以解得a2=4，

进一步我们可以得到椭圆的标准方程为x24+y23=1．

(2)由(1)知，F1(−1,0)．

根据直线MN的斜率是否存在分两种情况进行讨论．

当直线MN斜率为零时，不妨设M(−2,0)，N(2,0)，

则F1M=(−1,0),F1N=(3,0),F1M⋅F1N=−3,|MN|=4，

此时存在λ=−43，使|MN|=λF1M⋅F1N成立，

21.解：(1)f′(x)=ex−a，

①若a≤0，f′(x)>0，f(x)在(−∞,+∞)上单调递增；

②若a>0，当x∈(−∞,lna)时，f′(x)<0，f(x)在(−∞,lna)上单调递减；

当x∈(lna,+∞)时，f′(x)>0，f(x)在(lna,+∞)上单调递增．

综上，当a≤0时，f(x)在R上单调递增；

当a>0时，f(x)在(−∞,lna)上单调递减，在(lna,+∞)上单调递增．

(2)f(x)≥g(x)，

ex−ax−1≥(x−1)ℎn(x−1)−a，

ex−1≥(x−1)