2024年四川省雅安市中考数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2024年四川省雅安市中考数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.2024的相反数是(

)A.2024 B.−2024 C.12024 D.2.计算(1−3)0的结果是(

)A.−2 B.0 C.1 D.43.下列几何体中，主视图是三角形的是(

)A. B. C. D.4.下列运算正确的是(

)A.a+3b=4ab B.(a2)3=a5.如图，直线AB，CD交于点O，OE⊥AB于O，若∠1=35°，则∠2的度数是(

)A.55°

B.45°

C.35°

D.30°6.不等式组3x−2≥42x<x+6的解集在数轴上表示为(

)A. B.

C. D.7.在平面直角坐标系中，将点P(1,−1)向右平移2个单位后，得到的点P1关于x轴的对称点坐标是(

)A.(1,1) B.(3,1) C.(3,−1) D.(1,−1)8.如图，⊙O的周长为8π，正六边形ABCDEF内接于⊙O.则△OAB的面积为(

)A.4

B.43

C.6

9.某校开展了红色经典故事演讲比赛，其中8名同学的成绩(单位：分)分别为：85，81，82，86，82，83，92，89.关于这组数据，下列说法中正确的是(

)A.众数是92 B.中位数是84.5 C.平均数是84 D.方差是1310.已知2a+1b=1(a+b≠0).A.12 B.1 C.2 D.11.在数学课外实践活动中，某小组测量一栋楼房CD的高度(如图)，他们在A处仰望楼顶，测得仰角为30°，再往楼的方向前进50米至B处，测得仰角为60°，那么这栋楼的高度为(人的身高忽略不计)(

)

A.253米 B.25米 C.252米12.已知一元二次方程ax2+bx+c=0有两实根x1=−1，x2=3，且abc>0，则下列结论中正确的有(

)

①2a+b=0；

②抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为(1,4c3)A.1个 B.2个 C.3个 D.4个二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。13.要使式子x−1有意义，则x的取值范围是______．14.将−2，87，π，0，2，3.14这6个数分别写在6张同样的卡片上，从中随机抽取1张，卡片上的数为有理数的概率是______．15.如图是1个纸杯和若干个叠放在一起的纸杯的示意图，在探究纸杯叠放在一起后的总高度H与杯子数量n的变化规律的活动中，我们可以获得以下数据(字母)，请选用适当的字母表示H=______．

①杯子底部到杯沿底边的高ℎ；

②杯口直径D；

③杯底直径d；

④杯沿高a．

16.如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，∠BAC=∠DAE=40°，将△ADE绕点A顺时针旋转一定角度，当AD//BC时，∠BAE的度数是______．

17.如图，把矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点E处，BE与AD交于点F，若AB=6，BC=8，则cos∠ABF的值是______．

三、解答题：本题共7小题，共69分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。18.(本小题12分)

(1)计算：9−(12)−1+(−5)×|−1519.(本小题8分)

某中学对八年级学生进行了教育质量监测，随机抽取了参加15米折返跑的部分学生成绩(成绩划分为优秀、良好、合格与不合格四个等级)，并绘制了不完整的统计图(如图所示).根据图中提供的信息解答下列问题：

(1)请把条形统计图补充完整；

(2)若该校八年级学生有300人，试估计该校八年级学生15米折返跑成绩不合格的人数；

(3)从所抽取的优秀等级的学生A、B、C、D、E中，随机选取两人去参加即将举办的学校运动会，请利用列表或画树状图的方法，求恰好抽到A、B两位同学的概率．20.(本小题8分)

如图，点O是▱ABCD对角线的交点，过点O的直线分别交AD，BC于点E，F．

(1)求证：△ODE≌△OBF；

(2)当EF⊥BD时，DE=15cm，分别连接BE，DF.求此时四边形BEDF的周长．21.(本小题9分)

某市为治理污水，保护环境，需铺设一段全长为3000米的污水排放管道，为了减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加25%，结果提前15天完成铺设任务．

(1)求原计划与实际每天铺设管道各多少米？

(2)负责该工程的施工单位，按原计划对工人的工资进行了初步的预算，工人每天人均工资为300元，所有工人的工资总金额不超过18万元.该公司原计划最多应安排多少名工人施工？22.(本小题10分)

如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象l与反比例函数y=kx的图象交于M(12,4)，N(n,1)两点．

(1)求反比例函数及一次函数的表达式；

(2)求△OMN的面积；

(3)若点P是y轴上一动点，连接PM，PN.当PM+PN23.(本小题10分)

如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，点P是BA延长线上的一点，连接AC，∠PCA=∠B．

(1)求证：PC是⊙O的切线；

(2)若sin∠B=12，求证：AC=AP；

(3)若CD⊥AB于D，PA=4，BD=6，求24.(本小题12分)

在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+3的图象与x轴交于A(1,0)，B(3,0)两点，与y轴交于点C．

(1)求二次函数的表达式；

(2)如图①，若点P是线段BC上的一个动点(不与点B，C重合)，过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，当线段PQ的长度最大时，求点Q的坐标；

(3)如图②，在(2)的条件下，过点Q的直线与抛物线交于点D，且∠CQD=2∠OCQ.在y轴上是否存在点E，使得△BDE为等腰三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

答案解析1.【答案】B

【解析】解：根据只有符号不同的两个数互为相反数可得2024的相反数是−2024，

故选：B．

2.【答案】C

【解析】解：原式=(−2)0=1．

故选：C．

3.【解析】解：A、圆锥的主视图是三角形，故此选项符合题意；

B、圆柱的主视图是矩形，故此选项不符合题意；

C、三棱柱的主视图是长方形，中间还有一条虚线，故此选项不符合题意；

D、正方体的主视图为正方形，故此选项不符合题意；

故选：A．

4.【答案】D

【解析】解：A.a与3b不是同类项，不能合并运算，因此选项A不符合题意；

B.(a2)3=a6，因此选项B不符合题意；

C.a3⋅a2=a5，因此选项C不符合题意；

D【解析】解：∵OE⊥AB，∠1=35°，

∴∠AOC=55°，

∴∠2=∠AOC=55°，

故选：A．

6.【答案】C

【解析】解：解不等式3x−2≥4，得：x≥2，

解不等式2x<x+6，得：x<6，

则不等式组的解集为2≤x<6，

将不等式组的解集表示在数轴上如下：

故选：C．7.【答案】B

【解析】解：∵将点P(1,−1)向右平移2个单位后，

∴平移后的坐标为(3,−1)，

∴得到的点P1关于x轴的对称点坐标是(3,1)．

故选：B．

8.【答案】B【解析】解：设半径为r，由题意得，2πr=8π，

解得r=4，

∵六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，

∴∠AOB=360°6=60°，

∵OA=OB，

∴△AOB是正三角形，

∴弦AB所对应的弦心距为32OA=23，

∴S△AOB【解析】解：排列得：81，82，82，83，85，86，89，92，

出现次数最多是82，即众数为82；

最中间的两个数为83和85，平均数为84，即中位数为84；

(81+82+82+83+85+86+89+92)÷8=85，即平均数为85；

18×[(81−85)2+2(82−85)2+(83−85)2+(85−85)2+(86−85)2【解析】解：∵2a+1b=1(a+b≠0)，

∴2b+aab=1，

∴a+2b=ab，

∴a+aba+b

=a+a+2ba+b

【解析】解：设DC=x米，

在Rt△ACD中，∠A=30°，

tanA=DCAC，即tan30°=xAC=33，

整理得：AC=3x米，

在Rt△BCD中，∠DBC=60°，

tan∠DBC=DCBC，即tan60°=xBC=3，

整理得：BC=33x米，

∵AB=50【解析】解：由题意，∵ax2+bx+c=0有两实根x1=−1，x2=3，

∴a−b+c=0①9a+3b+c=0②．

∴②−①得，8a+4b=0．

∴2a+b=0，故①正确．

∴b=−2a．

∴抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=−b2a=−−2a2a=1．

∴抛物线y=ax2+bx+c的顶点为(1,a+b+c)．

又b=−2a，a−b+c=0，

∴3a+c=0，即a=−c3．

∴b=−2a=23c.

∴a+b+c=43c.

∴顶点坐标为(1,43c)，故②正确．

∵3a+c=0，

∴c=−3a．

又b=−2a，abc>0，

∴abc=a⋅(−2a)⋅(−3a)=6a3>0．

∴a>0，故③错误．

∵m(am+b)<4a+2b，

∴am2+bm+c<4a+2b+c．【解析】解：∵式子x−1有意义，

∴x−1≥0，

解得x≥1．

故答案为：x≥1．

14.【答案】2【解析】解：在−2，87，π，0，2，3.14这6个数中，

有理数为：−2，87，0，3.14，共4个数，

则P(卡片上的数为有理数)=46=23．

【解析】解：如图可知，纸杯叠放在一起后的总高度H=杯子底部到杯沿底边的高ℎ+杯子数量n×杯沿高a，

∴H=ℎ+an，

故答案为：ℎ+an．

16.【答案】30°或150°

【解析】解：当点D在点A的左侧时，如图1所示．

∵AB=AC，∠BAC=40°，

∴∠ABC=12(180°−∠BAC)=70°．

∵AD/​/BC，

∴∠BAD=∠ABC=70°，

∴∠BAE=∠BAD−∠DAE=70°−40°=30°．

当点D在点A的右侧时，如图2所示．

∵AB=AC，∠BAC=40°，

∴∠ACB=12(180°−∠BAC)=70°．

∵AD/​/BC，

∴∠DAC=∠ACB=70°，

∴∠BAE=∠BAC+∠DAC+∠DAE=40°+70°+40°=150°．

∴当AD//BC时，∠BAE的度数为30°或150°．

故答案为：17.【答案】2425【解析】解：∵折叠，

∴∠DBC=∠DBF，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD//BC，

∴∠ADB=∠DBC，

∴∠DBF=∠ADB，

∴BF=DF，

∴AF=AD−DF=8−BF，

在Rt△ABF中，AB2+AF2=BF2，

∴62+(8−BF)2=BF2，

解得BF=254，

∴cos∠ABF=ABBF=2425．

故答案为：2425．

18.【答案】解：(1)原式=3−2+(−5)×1【解析】(1)先化简二次根式、负整数指数幂和绝对值，然后根据有理数的加减法计算即可；

(2)先计算分式的减法，再计算分式的除法进行化简，最后代入求出答案即可．19.【答案】解：(1)根据题意得：12÷40%=30(人)，

∴不合格的为：30−(5+12+10)=3(人)，

补全条形统计图，如图所示：

(2)根据题意得：300×330=30(人)，

则该校八年级学生15米折返跑成绩不合格的人数约为30人；

(3)ABCDEA(A,B)(A,C)(A,D)(A,E)B(B,A)(B,C)(B,D)(B,E)C(C,A)(C,B)(C,D)(C,E)D(D,A)(D,B)(D,C)(D,E)E(E,A)(E,B)(E,C)(E,D)所有等可能的情况有20种，其中恰好抽到A、B两位同学的情况数为2种，

则P(恰好抽到A、B两位同学)=220【解析】(1)根据成绩为良好的人数除以占的百分比求出调查的总人数，进而求出不合格的人数，补全条形统计图即可；

(2)由样本中成绩不合格的百分比估计总体中成绩不合格的百分比，乘以300即可得到结果；

(3)列出得出所有等可能的情况数，找出恰好抽到A、B两位同学的情况数，即可求出恰好抽到A、B两位同学的概率．20.【答案】(1)∵四边形ABCD是平行四边形，

∵AD/​/CB，

∴∠OED=∠OFB，

∵点O是▱ABCD对角线的交点，

∴OD=OB，

在△ODE和△OBF中，

∠OED=∠OFB∠DOE=∠BOFOD=OB，

∴△ODE≌△OBF(AAS)．

(2)解：连接BE，DF，

由(1)得△ODE≌△OBF，

∴DE=BF，

∵DE//BF，

∴四边形BEDF是平行四边形，

∵EF⊥BD，

∴四边形BEDF是菱形，

∴DF=BF=BE=DE=15cm，

∴DF+BF+BE+DE=4DE=4×15=60(cm)，

∴四边形BEDF的周长为60cm．【解析】(1)由平行四边形的性质得AD/​/CB，则∠OED=∠OFB，而∠DOE=∠BOF，OD=OB，即可根据“AAS”证明△ODE≌△OBF；

(2)由△ODE≌△OBF，得DE=BF，而DE/​/BF，所以四边形BEDF是平行四边形，因为EF⊥BD，所以四边形BEDF是菱形，则DF+BF+BE+DE=4DE=60cm，于是得到问题的答案．

21.【答案】解：(1)设原计划每天铺设管道x米，则实际施工每天铺设管道(1+25%)x=1.25x米，

根据题意得：30001.25x+15=3000x，

解得：x=40，

经检验x=40是分式方程的解，且符合题意，

∴1.25x=50，

则原计划与实际每天铺设管道各为40米，50米；

(2)设该公司原计划应安排y名工人施工，3000÷40=75(天)，

根据题意得：300×75y≤180000，

解得：y≤8，

∴不等式的最大整数解为8，

【解析】(1)设原计划每天铺设管道x米，则实际施工每天铺设管道(1+25%)x，根据原计划的时间=实际的时间+15列出方程，求出方程的解即可得到结果；

(2)设该公司原计划应安排y名工人施工，根据工作时间=工作总量÷工作效率计算出原计划的工作天数，进而表示出所有工人的工作总额，由所有工人的工资总金额不超过18万元列出不等式，求出不等式的解集，找出解集中的最大整数解即可．22.【答案】解：(1)由题意，∵M(12,4)在反比例函数y=kx上，

∴k=12×4=2．

∴反比例函数表达式为y=2x．

又N(n,1)在反比例函数y=2x上，

∴n=2．

∴N(2,1)．

设一次函数表达式为y=ax+b，

∴12a+b=42a+b=1．

∴a=−2，b=5．

∴一次函数的表达式为y=−2x+5．

(2)由题意，如图，设直线l交x轴于点A，交y轴于点B，

又直线l为y=−2x+5，

∴A(52,0)，B(0,5)．

∴OA=52，OB=5．

∴S△OMN=S△AOB−S△AON−S△BOM=12×AO×BO−12×AO⋅yN−12×BO×xM

=12×52×5−12×52【解析】(1)依据题意，由M(12,4)在反比例函数y=kx上，可得k的值，进而求出反比例函数，再将N代入求出N的坐标，最后利用待定系数法求出一次函数的解析式；

(2)依据题意，设直线l交x轴于点A，交y轴于点B，由直线l为y=−2x+5，可得A(52,0)，B(0,5)，故OA=52，OB=5，再由S△OMN=S△AOB−S△AON−S△BOM=12×AO×BO−12×AO⋅yN−12×BO×xM，进而计算可以得解；

(3)依据题意，作点23.【答案】(1)证明：如图，连接OC，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠BCO+∠OCA=90°，

∵OB=OC，

∴∠B=∠BCO，

∵∠PCA=∠B，

∴∠PCA=∠BCO，

∴∠PCA+∠OCA=90°，

∴OC⊥PC，

∴PC是⊙O的切线；

(2)证明：∵sin∠B=12，

∴∠B=30°，

∴∠PCA=∠B=30°，

由(1)知∠ACB=90°，

∴∠CAB=60°，

∴∠P=∠CAB−∠PCA=30°，

∴∠PCA=∠P，

∴AC=AP；

(3)设AD=x，

在Rt△ACB中，CD⊥AB，

∴CD2=AD×BD=6x，

∵∠P=∠P，∠PCA=∠B，

∴△PAC∽△PCB，

∴PAPC=PCPB，

∴PC2=PA⋅PB=4(6+4+x)=4(10+x)，

在Rt△PCD中，由勾股定理得PD2+CD2=PC【解析】(1)如图，连接OC，根据AB是⊙O的直径，可知∠ACB=90°，根据OB=OC，可得∠B=∠BCO，再根据∠PCA=∠B，可知OC⊥PC，故PC是⊙O的切线；

(2)根据sin∠B=12，可知∠B=30°，则∠PCA=