2024年湖南省长沙市开福区立信中学中考数学二模试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024年湖南省长沙市开福区立信中学中考数学二模试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.−2的绝对值是(

)A.−2 B.2 C.±2 D.−2.如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的左视图是(

)A.B.C.D.3.下列说法错误的是(

)A.必然事件发生的概率是1

B.通过大量重复试验，可以用频率估计概率

C.概率很小的事件不可能发生

D.投一枚图钉，“钉尖朝上”的概率不能用列举法求得4.下列运算正确的是(

)A.2m+3m=5m2 B.m2⋅m35.点P(2,−5)关于原点对称点的坐标是(

)A.(−5,−2) B.(2,5) C.(−2,5) D.(−5,2)6.一把直尺和一块三角板ABC(其中∠B=30°，∠C=90°)摆放位置如图所示，直尺一边与三角板的两直角边分别交于点D，点E，另一边与三角板的两直角边分别交于点F，点A，且∠CDE=50°，那么∠BAF的大小为(

)A.20° B.40° C.45° D.50°7.费尔兹奖是国际上享有崇高声誉的一个数学奖项，每四年评选一次，主要授予年轻的数学家．下面的数据是部分获奖者获奖时的年龄(单位：岁)：29，32，33，35，35，40，则这组数据的众数和中位数分别是(

)A.35，35 B.34，33 C.34，35 D.35，348.如图，AB是⊙O的直径，C，D是圆上两点，连接AC，BC，AD，CD.若∠CAB=55°，则∠ADC的度数为(

)

A.55° B.45° C.35° D.25°9.《孙子算经》中有个问题：若三人共车，余两车空；若两人共车，剩九人步.问人与车各几何？意思是：若三个人乘一辆车，则空余两辆车；若两个人乘一辆车，则剩余9人需要步行.试问人和车辆各有多少？设有x辆车，则根据题意可列出方程为(

)A.3(x+2)=2x−9 B.3(x+2)=2x+9

C.3(x−2)=2x−9 D.3(x−2)=2x+910.如图，在△ABC中，∠C=90°，利用尺规在BC，BA上分别截取BE，BD，使BE=BD，分别以D，E为圆心，以大12DE的长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点F，作射线BF交AC于点G，若AC=9，AG=5，过点G作GP⊥AB交AB于点P，则GP的值为(

)A.2 B.3 C.4 D.5二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。11.二次根式x−3有意义，则x的取值范围是

．12.分式方程32x=2x+1的解是13.已知a，b是一元二次方程x2−4x+2=0的两根，则a+b=______．14.如图，⊙O的半径为13，弦AB的长为24，ON⊥AB，垂足为N，则ON的长为______．

15.为了解某区九年级3200名学生中观看2022北京冬奥会开幕式的情况，随机调查了其中200名学生，结果有150名学生全程观看了开幕式，请估计该区全程观看冬奥会开幕式的九年级学生人数约为______．16.高速公路某收费站出城方向有编号为A，B，C，D，E的五个小客车收费出口，假定各收费出口每20分钟通过小客车的数量是不变的．同时开放其中的某两个收费出口，这两个出口20分钟一共通过的小客车数量记录如下：收费出口编号A，BB，CC，DD，EE，A通过小客车数量(量)260330300360240在A，B，C，D，E五个收费出口中，每20分钟通过小客车数量最多的一个收费出口的编号是

．三、计算题：本大题共1小题，共6分。17.计算：(13)四、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。18.(本小题6分)

解不等式组：3x−4<2x+15x+3219.(本小题6分)

如图，某楼房AB顶部有一根天线BE，为了测量天线的高度，在地面上取同一条直线上的三点C，D，A，在点C处测得天线顶端E的仰角为60°，从点C走到点D，测得CD=5米，从点D测得天线底端B的仰角为45°，已知A，B，E在同一条垂直于地面的直线上，AB=25米．

(1)求A与C之间的距离；

(2)求天线BE的高度．(参考数据：3≈1.73，结果保留整数)20.(本小题6分)

为提高学生的安全意识，某学校组织学生参加了“安全知识答题”活动.该校随机抽取部分学生答题成绩进行统计，将成绩分为四个等级：A(优秀)，B(良好)，C(一般)，D(不合格)，并根据结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．

根据图中所给信息解答下列问题：

(1)这次抽样调查共抽取______人，条形统计图中的m=______；

(2)将条形统计图补充完整，在扇形统计图中，求C等所在扇形圆心角的度数；

(3)学校要从答题成绩为A等且表达能力较强的甲、乙、丙、丁四名学生中，随机抽出两名学生去做“安全知识宣传员”，请用列表或画树状图的方法，求抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率．21.(本小题9分)

如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于点F，且∠BDE=∠CDF，

(1)求证：AD平分∠BAC．

(2)若AB=5，AD=4，求△ABC的面积．22.(本小题9分)

我校九年级学生准备观看电影《长津湖》.由各班班长负责买票，每班人数都多于40人，票价每张30元，一班班长问售票员买团体票是否可以优惠，售票员说：40人以上的团体票有两种优惠方案可选：

方案一：全体人员打8折；

方案二：打9折，有5人可以免票．

(1)若一班有50人，则方案一需付______元钱，方案二需付款______元钱；

(2)一班班长思考一会儿说，我们班无论选择哪种方案要付的钱是一样的，你知道一班有多少人吗？23.(本小题10分)

如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，连接BE．

(1)求证：∠DAC=∠E；

(2)若tan∠ABC=43，BE=10，求线段24.(本小题10分)

如图，在菱形ABCD中，点E是BC边上一动点(且与点B、C不重合)，连接AE交BD于点G．

(1)若AE⊥BC，∠BAE=18°，求∠BGE的度数；

(2)若AG=BG，求证BE2−GE2=AG⋅GE；

(3)过点G作GM//BC交AB于点M，记.S△AMG为S1，S四边形DGEC为S2，BC=xBE，S1S2=y25.(本小题10分)

对于抛物线y=14ax2(a≠0)，我们发现其图象上任意一点到点(0,a)的距离和到直线y=−a的距离总是相等，于是规定点(0,a)为抛物线的焦点，直线y=−a为抛物线的准线．

例如：如图1，y=14ax2(a>0)，其焦点为A(0,a)，准线为直线y=−a，抛物线上任意一点P(x,y)到准线的距离为PH，则PH=|y−(−a)|=|y+a|=|14ax2+a|，PA=(x−0)2+(y−a)2=x2+(14ax2−a)2=116a2x4+12x2+a2=(14ax2+a)2=|14ax2+a|，即PA=PH；同理可得a<0时，PA=PH也成立参考答案1.B

2.B

3.C

4.D

5.C

6.A

7.D

8.C

9.D

10.C

11.x≥3

12.x=3

13.4

14.5

15.2400人

16.B

17.解：(13)−1−2sin60°+|−3|+(−2022)018.解：3x−4<2x+1①5x+32>x②，

解不等式①得：x<5，

解不等式②得：x>−1，

∴原不等式组的解集为：19.解：(1)由题意得，在Rt△ABD中，∠ADB=45°，

∴AD=AB=25米，

∵CD=5米，

∴AC=AD+CD=25+5=30(米)，

即A与C之间的距离是30米；

(2)在Rt△ACE中．∠ACE=60°，AC=30米，

∴AE=30⋅tan60°=303(米)，

∵AB=25米，

∴BE=AE−AB=(303−25)米，

∵3≈1.7320.解：(1)50，7．

(2)由(1)知，m=7，等级为A的有：50−16−15−7=12(人)，

补充完整的条形统计图如图所示，C等所在扇形圆心角的度数为：360°×1550=108°．

(3)树状图如下所示：

由上可得，一共存在12种等可能性，其中抽出的两名学生恰好是甲和丁的可能性有2种，

∴抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率为212=16．

21.(1)证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，

∴∠DEB=∠DFC=90°，

∵D是BC的中点，

∴BD=CD，

在△BED和△CFD中，

∠BDE=∠CDF∠BED=∠CFD,BD=CD

∴△BED≌△CFD(AAS)，

∴DE=DF，

∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于点F，

∴AD平分∠BAC．

(2)解：∵△BED≌△CFD，

∴∠B=∠C，

∴AB=AC，

∵D是BC中点，

∴AD⊥BC，

∴BD=AB222.(1)1200；1215；

(2)设一班共有x人，依题意得，

30×80% x=30×90%×(x−5)，

解得x=45，

答：一班共有45人．23.(1)证明：连接OC，

∵PD切圆于C，

∴半径OC⊥PD，

∵AD⊥PD，

∴OC/​/AD，

∴∠DAC=∠OCA，

∵OC=OA，

∴∠OAC=∠OCA，

∴∠DAC=∠OAC，

∵∠BEC=∠OAC，

∴∠DAC=∠BEC；

(2)解：连接AE，

∵弦CE平分∠ACB，

∴AE=BE，

∴AE=BE，

∵AB是圆的直径，

∴∠AEB=∠ACB=90°，

∴△AEB是等腰直角三角形，

∴AB=2BE=102，

∵tan∠ABC=ACBC=43，

∴令BC=3x，AC=4x，

∵AB=AC2+BC2=5x=1024.(1)解：根据题意可得∠AEB=90°，∠BAE=18°，

∴∠ABE=90°−18°=72°，

∵四边形ABCD是菱形，

∴∠ABG=∠EBG=12∠ABE=12×72°=36°，

∴∠BGE=∠ABG+∠BAG=18°+36°=54°．

(2)证明：∵AG=BG，

∴∠ABG=∠BAG，

∵∠GBE=∠ABG，

∴∠GBE=∠BAG，

又∵∠AEB=∠GEB，

∴△AEB∽△BEG，

∴BEAE=GEBE，

∴BE2=AE⋅GE，

∴BE2=(AG+GE)GE，

∴BE2−GE2=AG⋅GE．

(3)①证明：∵GM/​/BC，BC/​/AD，

∴MG//AD，

∴△BMG∽△BAD，△AMG∽△ABE，

∴MGAD=BMAB，MGBE=AMAB，

两式相加得MGAD+MGBE=BMAB+AMAB，

即MGAD+MGBE=1，

∴1BE+1AD=1MG．

②解：∵BC=xBE，AD//BC，

∴BEBC=BEAD=1x，△ADG25.解：(1)∵抛物线y=14x2可化为x2=4y，其中p为2，

∴焦点(0,1)，准线y=−1．

(2)∵AM⊥CD，BN⊥CD，

∴AM//BN，

∴△AMC∽△BNC，

∴AMBN=ACBC，

即AMAC=BNBC，

∵点C为焦点，PQ为准线，

∴AC=AP，BC=BQ，

∴AMAP=BNBQ，

∵四边形APDM，BQDN为矩形，

∴AP=MD，BQ=DN，

∴AMMD=BNDN，

∴tan∠ADC=tan∠BDC．

(3)①由已知可知在y=14px2(p>0)，F为焦点，连接FE，过点E作准线的垂线，垂足为M，

∴F(0,p)，准线y=−p，

设E(xE,yE