贵州省黔西南州金成实验学校2023-2024学年高一下学期3月月考 数学试题【含答案】

2023—2024学年度第二学期0330第一次质量检测试题高一年级数学一､单选题（共40分）1．已知，则等于（）A．10 B． C．3 D．2．如图，已知是的边上的中线，若，，则等于（）A． B． C． D．3．设是两个单位向量，且，那么它们的夹角等于（

）A． B． C． D．4．已知向量，不共线，则下列向量不可以作为一组基底的是（

）A．和 B．和C．和 D．和5．已知向量，不共线，向量，，且，则（

）A．－3 B．3 C．－6 D．66．在中，若，且，那么一定是（

）A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形7．如图在边长为1的正方形组成的网格中，平行四边形ABCD的顶点D被阴影遮住，则＝（

）A．10 B．11 C．12 D．138．秦九韶是我国南宋时期的著名数学家，他在著作《数书九章》中提出，已知三角形三边长计算三角形面积的一种方法“三斜求积术”，其公式为：.若，，，则利用“三斜求积术”求的面积为（

）A． B． C． D．二､多选题（共18分）9．下列说法不正确的是（

）A．若，则与的方向相同或者相反B．若，为非零向量，且，则与共线C．若，则存在唯一的实数使得D．若是两个单位向量，且，则10．在平面直角坐标系中，已知点，，，则（

）A．B．与的夹角为C．在方向上的投影向量的坐标为D．与垂直的单位向量的坐标为或11．已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，下面四个结论正确的是（

）A．若，则为等腰三角形B．在锐角中，不等式恒成立C．若，，且有两解，则b的取值范围是D．若，的平分线交于点D，，则的最小值为9三､填空题（共15分）12．设平面向量，点，则点B的坐标为.13．已知，向量，则的最大值为.14．在中，，，则外接圆半径为.四､解答题（共77分）15．已知向量．(1)若，求的坐标；(2)若，求与的夹角．16．如图，在中，，E是AD的中点，设，.

(1)试用，表示，；(2)若，与的夹角为，求.17．的内角，，的对边分别为，，，已知，．(1)求的值；(2)若，求的面积．18．在中，内角，，的对边分别为，，，．(1)若，证明：；(2)若，求周长的最大值．19．如图，在中，点在边上，．(1)若，求；(2)若是锐角三角形，，求的取值范围．1．B【分析】根据题意，利用向量的数量积的坐标运算公式，准确计算即可求解.【详解】由向量，可得，所以.故选：B.2．C【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得.【详解】因为是的边上的中线，所以，所以.故选：C3．C【分析】由向量的模的平方结合单位向量的定义可得，由此即可得解.【详解】由题意是两个单位向量，且，所以，解得，由，所以.故选：C.4．B【分析】判断两向量是否为非零的不共线向量，若是可作为基底，若不是则不可以作为一组基底.【详解】A选项，设，则，无解，故和是不共线的向量，可作为一组基底，A错误；B选项，∵，∴和共线，不能作为一组基底，故B正确；C选项，设，则，无解，故和不共线，故可作为一组基底，C错误；D选项，设，则，无解，和不共线，可作为一组基底，D错误..故选：B5．D【分析】设，从而得到，得到方程，求出的值.【详解】设，则，故．故选：D6．D【分析】由两角和的正弦公式并结合正弦定理可得，即，又由化简可得，得，从而得解.【详解】因为，则，因为，则，所以，则，又因为，，则，则，即，即，又因为，则，所以，即.即一定是等边三角形，故D正确.故选：D.7．B【分析】以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，利用向量数量积的坐标运算即可求解.【详解】以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(4，1)，C(6，4)，＝(4，1)，＝(2，3)，＝4×2＋1×3＝11，故选：B.【点睛】本题考查了向量数量积的坐标运算，考查了基本运算能力，属于基础题.8．D【分析】由余弦定理得，又，代入面积公式计算即可.【详解】因为，，所以，则，故选：D.9．ACD【分析】利用零向量与任意向量平行可判定A，利用共线向量的定义可判定B，利用共线向量的充要条件可判定C，利用平面向量的数量积与模长关系可判定D.【详解】对A，若为零向量时，与的方向不确定，故A错误；对B，分别表示，方向上的单位向量，根据题意可知B正确；对C，若为零向量，不为零向量时，不存在实数使得，故C错误；对D，由，所以，故D错误.故选：ACD10．BD【分析】求出即可判断A选项，设与的夹角为，求出即可判断B选项，设与同向的单位向量为，求出，根据在方向上的投影向量的坐标为即可判断C选项，设与垂直的单位向量为，解即可判断D选项．【详解】因为点，，，所以，，所以，所以，故A选项错误；设与的夹角为，所以，所以与的夹角为，故B选项正确；设与同向的单位向量为，，所以在方向上的投影向量的坐标为，故C选项错误；因为，设与垂直的单位向量为，则，解得或，所以与垂直的单位向量的坐标为或.故D选项正确.故选：BD.11．BCD【分析】A项，用余弦定理统一成边形式化简判断；B项，由为锐角三角形，与正弦函数的单调性可得；C项，结合图形，根据边角的关系与解的数量判断；D项，根据三角形面积可得到，将变为，展开后利用基本不等式，即可求得答案.【详解】选项A，因为，即，所以有整理可得，所以或，故为等腰三角形或直角三角形，故A错误；选项B，若为锐角三角形，所以，所以，由正弦函数在单调递增，则，故B正确.选项C，如图，若有两解，则，所以，则b的取值范围是，故C正确．选项D，的平分线交于点D，，由，由角平分线性质和三角形面积公式得，得，即，得，得，当且仅当，即时，取等号，故D正确.故选：BCD.12．【分析】由向量加减法的三角形法则可得.【详解】设，则，点的坐标为.故答案为：13．##0.125【分析】根据向量的数量积的坐标运算可得，结合题意利用基本不等式，即可求得答案.【详解】由题意知，故，又，所以，故，当且仅当，结合，即时取等号，故的最大值为，故答案为：14．【分析】根据面积公式和数量积的定义可求，根据同角的三角函数基本关系式和正弦定理可求外接圆的半径.【详解】因为，故,故，故为锐角，故，故外接圆的半径为，故答案为：.15．(1)或；(2)．【分析】（1）根据向量模的坐标表示求解即可；（2）利用坐标表示向量的数量积及向量夹角公式得解.【详解】（1）由题意，设，因为，所以，所以，所以或．（2）因为，所以，所以，即，设与的夹角为，则，又，所以，所以与的夹角．16．(1)，(2)【分析】（1）利用向量加法减法的三角形法则及数乘运算即可求解；（2）根据（1）的结论，利用向量的数量积运算法则即可求解.【详解】（1）因为，所以，所以.因为E是AD的中点，所以.（2）因为，与的夹角为，所以，由（1）知，，，所以.17．(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理角化边求解；（2）利用余弦定理与三角形的面积公式求解．【详解】（1），，则．又，所以．（2），，因为，则，故的面积．18．(1)证明见解析(2)6【分析】（1）利用余弦定理结合题设可得，再利用正弦定理边化角，即可证明结论；（2）由可推出，利用基本不等式可推出，即可求得周长的最大值.【详解】（1）证明：由余弦定理知和，得，又，则，结合正弦定理得，；（2）由（1）知，又，故，即，，所以，则，故，当且仅当，即时取等