2023-2024学年浙江省衢州市高一（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年浙江省衢州市高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={1,2,4,6,7}，B={1,3,4}，则A∩B=(

)A.{1,4} B.{1,3,4} C.{1,3,4,6} D.{1,2,3,4,6,7}2.已知复数z满足2z−iz=2，则复数z的虚部为(

)A.25i B.45i C.3.“x=π2”是“sinx=1”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.将10个数据按照从小到大的顺序排列如下：11，15，17，a，23，26，27，34，37，38，若该组数据的40%分位数为22，则a=(

)A.19 B.20 C.21 D.225.已知向量|a|=1,|b|=2，且a与b的夹角为45°，则b在aA.22a B.2a 6.如图，AC是圆O的直径，∠DCA=45°，DA垂直于圆O所在的平面，B为圆周上不与点A，C重合的点，AM⊥DC于M，AN⊥DB于N，则下列结论不正确的是(

)A.平面ABC⊥平面DAC

B.CB⊥平面BAD

C.CD⊥平面AMN

D.平面AMN⊥平面DAB7.已知定义在R上的偶函数f(x)满足：当x≥0时，f(x)=2x，且f(x+1)≤af(2−x)对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围为(

)A.(−∞,18] B.[18,+∞)8.美国数学家JackKiefer于1953年提出0.618优选法，又称黄金分割法，是在优选时把尝试点放在黄金分割点上来寻找最优选择.我国著名数学家华罗庚于20世纪60、70年代对其进行简化、补充，并在我国进行推广，广泛应用于各个领域.黄金分割比t=5−12≈0.618，现给出三倍角公式cos3α=4cos3α−3cosαA.2t=3sin18° B.t=2sin18° C.t=5sin18°二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=2且a+cb=sinA−sinBsinA−sinCA.C=π3

B.a的取值范围为(0,2]

C.ab的最大值为4

D.若D为AB的中点，则CD10.一学生在求解以下问题“已知函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称，关于(3,6)中心对称，且f(2)=4，求S=f(1)+f(2)+…+f(10)的值”时，思路如下：令f(x)=Asin(ωx+φ)+b(A>0,0<φ<π)，由对称轴和对称中心可求得T=4，再由对称轴求φ，对称中心求b，根据以上信息可得(

)A.φ=π2 B.b=6 C.S=60 11.如图所示，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，底面ABC是等腰直角三角形，AB=BC=AA1=1，点D为侧棱BB1A.存在点D，使得AD⊥平面BCM

B.△ADC1周长的最小值为1+2+3

C.三棱锥C1−ABC的外接球的体积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.设a=(1,2)，b=(−1,x)，若a⊥b，则x=13.已知x>−12,y>−4，且2x+y=1，则114.已知定义在R上的函数y=f(x+1)−1为奇函数，且函数f(x)在区间[1,+∞)上单调递增，则f(3x−1)+f(2−x)<2的解集为______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知函数f(x)=3sin2x+cos2x．

(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期和对称中心；

(Ⅱ)求函数f(x)在16.(本小题15分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥底面ABCD，PA=2，M是线段PD的中点．

(Ⅰ)求证：PB/​/平面AMC；

(Ⅱ)求三棱锥P−ACM的体积；

(Ⅲ)求直线BM与底面ABCD所成角的正切值．17.(本小题15分)

2023年起我国旅游按下重启键，寒冬有尽，春日可期，先后出现了“淄博烧烤”，“尔滨与小土豆”，“天水麻辣烫”等现象级爆款，之后各地文旅各出奇招，衢州文旅也在各大平台发布了衢州的宣传片：孔子，金庸，搁袋饼纷纷出场.现为进一步发展衢州文旅，提升衢州经济，在5月份对来衢旅游的部分游客发起满意度调查，从饮食、住宿，交通，服务等方面调查旅客满意度，满意度采用百分制，统计的综合满意度绘制成如下频率分布直方图，图中b=4a．

(Ⅰ)求图中a的值并估计满意度得分的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；

(Ⅱ)若有超过60%的人满意度在75分及以上，则认为该月文旅成绩合格.衢州市5月份文旅成绩合格了吗？

(Ⅲ)衢州文旅6月份继续对来衢旅游的游客发起满意度调查.现知6月1日−6月7日调查的4万份数据中其满意度的平均值为80，方差为75；6月8日−6月14日调查的6万份数据中其满意度的平均值为90，方差为70.由这些数据计算6月1日一6月14日的总样本的平均数与方差．18.(本小题17分)

如图，三棱台ABC−A1B1C1中，△ABC是边长为2的等边三角形，四边形ACC1A1是等腰梯形，且A1C1=AA1=1，D为A1C1的中点．

(Ⅰ)证明：AC⊥BD；19.(本小题17分)

利普希兹条件是数学中一个关于函数光滑性的重要概念，设f(x)定义在[a,b]上的函数，若对于[a,b]中任意两点x1，x2(x1≠x2)，都有|f(x1)−f(x2)|≤k|x1−x2|(k>0)，则称f(x)是“k−利普希兹条件函数”．

(Ⅰ)判断函数y=x+1，y=x2在R上是否为“1−利普希兹条件函数”；

(Ⅱ)若函数y=x+2x(1≤x≤2)是“k−利普希兹条件函数”，求参考答案1.A

2.C

3.A

4.C

5.B

6.D

7.D

8.B

9.AC

10.ABD

11.ACD

12.1213.8314.{x|x<115.解：因为f(x)=3sin2x+cos2x=2sin(2x+π6)，

(Ⅰ)函数f(x)的最小正周期T=π，

令2x+π6=kπ，k∈Z，则x=kπ−π62，

故函数的对称中心为(kπ2−π12,0)16.解：(Ⅰ)证明：如图，连接BD，设BD∩AC=N，连接MN，

∵底面ABCD是边长为1的正方形，∴N是BD中点，

又M是线段PD的中点，∴MN/​/PB，

又PB⊄平面AMC，MN⊂平面AMC，

∴PB/​/平面AMC；

(Ⅱ)根据题意可得三棱锥P−ACM的体积为：

VP−ACM=VD−ACM=VM−ACD

=12VP−ACD=12×12VP−ABCD

=14×13×1×1×2=16；

(Ⅲ)取AD的中点H，连接MH，则MH/​/PA，

又PA⊥底面ABCD，∴MH⊥底面ABCD，

17.解：(Ⅰ)由题意知a+4a+0.05=0.1，

∴a=0.01，

估计满意度得分的平均值x−=65×0.15+75×0.35+85×0.4+95×0.1=79.5；

(Ⅱ)超过60%的人满意度在75分及以上，即为40%分位数大于等于75，

又由满意度在[60,70)的频率为0.15<0.4，满意度在[60,80)的频率为0.5>0.4，

知40%分位数位于[70,80)，由70+0.4−0.150.5−0.15×10=5407，

可以估计40%分位数为5407>75，

∴有超过60%的人满意度在75分及以上，衡州市5月份文旅成绩合格了；

(Ⅲ)把6月1日−6月7日的样本记为x1，x2，……，x40000，其平均数记为x−，方差记为sx2，

把6月8日−6月14日的样本记为y1，y2，⋯，y60000，其平均数记为y−，方差记为s18.解：(Ⅰ)证明：如图，取AC中点O，连接OB，OD，

∵△ABC是等边三角形，点O是AC的中点，

∴AC⊥OB，

又四边形ACC1A1是等腰梯形，且D为A1C1的中点，

∴AC⊥OD，

又OB∩OD=O，OB，OD⊂平面BOD，

∴AC⊥平面BOD，又BD⊂平面BOD，

∴AC⊥BD．

(Ⅱ)过D，B1分别作DE⊥BO，B1M⊥BO，B1N⊥BC，垂足为E，M，N，连接MN，

由(Ⅰ)易知平面DB1BO⊥平面ABC，B1M⊥BO，

平面DB1BO∩平面ABC=BO，B1M⊂平面PBO，

∴B1M⊥平面ABC，∴B1M⊥BC，

又∵B1N⊥BC，且B1M∩B1N=B1，

∴BC⊥平面B1MN，

∴BC⊥MN，又∵B1N⊥BC，

∴∠B1NM19.解：(1)由题知，函数y=x+1，定义域为R，

所以|f(x1)−f(x2)|−|x1−x2|=k1−x2|−k1−x2|=0，

所以函数y=x+1在R上是“1−利普希兹条件函数”，

函数y=x2，

所以f(x1)−f(x2)|−|x1−x2|=|x12−x22|−|