河南省周口市鹿邑县第二高级中学校2023-2024学年高一下学期月考测试（二）（4月） 数学试题【含答案】

2023～2024学年度高中同步月考测试卷（二）高一数学测试模块：必修第二册考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑：非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4．本试卷主要命题范围：人教A版必修第二册第六章～第七章.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（

）A． B． C． D．2．（

）A． B．C． D．3．已知向量，若与垂直，则（

）A． B． C． D．4．在中，角的对边分别为，若，则（

）A． B． C． D．5．若复数，为实数，则（

）A．0 B．1 C． D．6．在中，角的对边分别为，若，则为（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．锐角三角形 D．钝角三角形7．若向量，的夹角是，是单位向量，，，则向量与的夹角为（

）A． B． C． D．8．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则面积的最大值为（

）A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．已知复数，则（

）A．的虚部为B．是纯虚数C．的模是D．在复平面内对应的点位于第四象限10．在中，角的对边分别为，则下列对的个数的判断正确的是（

）A．当时，有两解B．当时，有一解C．当时，无解D．当时，有两解11．在中，角的对边分别为，已知的周长为，则（

）A．若，则是等边三角形B．存在非等边满足C．内部可以放入的最大圆的半径为D．可以完全覆盖的最小圆的半径为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知x、，若，则．13．在中，已知向量与满足，且，则角.14．若平面有不共线的五点A，B，C，D，O，记，，，，满足.，，则的最小值为．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知复数．(1)当m为何值时，z为纯虚数?(2)当时，求．16．已知，．(1)求和的值；(2)若向量，，证明：．17．在中，角的对边分别为，已知．(1)求和的值；(2)求的面积．18．如图、某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西方向且与该港口相距的A处，并以的航行速度沿正东方向匀速行驶，假设该小艇沿直线方向以的航行速度匀速行驶，经过与轮船相遇.（假设水面平静）(1)要使相遇时小艇的航行距离最短，小艇的航行速度应为多少？(2)假设小艇的速度最快只能达到，要使小艇最快与轮船相遇，应向哪个方向航行？19．在中，角的对边分别为，且．(1)求角的大小；(2)若为锐角三角形，且，求周长的取值范围．1．A【分析】由正弦定理解三角形.【详解】中，由正弦定理，得.故选：A.2．C【分析】利用和幂的运算性质计算可得结果【详解】.故选：3．A【分析】根据与垂直，由求解.【详解】解：，与垂直，，.故选：A.4．C【分析】根据余弦定理求出答案.【详解】由余弦定理得，因为，所以.故选：C.5．A【分析】根据复数代数形式的除法运算化简，再根据复数的类型得到，解得即可.【详解】因为，又为实数，，.故选：A.6．B【分析】利用诱导公式及正弦定理将角化边即可判断.【详解】因为，又，即，由正弦定理可得，即，所以为直角三角形且为直角.故选：B7．A【分析】首先根据数量积的定义求出，再求出、，最后根据夹角公式计算可得.【详解】∵两个向量，的夹角是，是单位向量，，∴．∵，∴，∴．设向量与的夹角为，则，∵，∴．故选：A．8．D【分析】结合余弦定理及基本不等式，利用三角形面积公式求解即可.【详解】由余弦定理：，因为，当且仅当时，等号成立，所以，故面积.即面积的最大值为.故选：D9．AC【分析】根据复数的基本概念，以及复数的几何意义，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】对A：由虚部定义知的虚部为，故A正确；对B：纯虚数要求实部为0，故B错误；对C：，故C正确；对D：在复平面内对应的点为，位于第一象限，故D错误.故选：AC.10．AC【分析】由正弦定理对四个选项一一判断，得到答案.【详解】对于A，由正弦定理得，即，所以，又因为，所以或，有两解，故A正确；对于B，由正弦定理得，无解，故B错误；对于C，由正弦定理得，无解，故C正确；对于D，由正弦定理得，又，所以为锐角，此三角形只有一解，故D错误.故选：AC.11．ACD【分析】由余弦定理与正弦定理及三角形的面积公式逐项求解即可.【详解】因为的周长为3，且，可得，由余弦定理得．对于A，因为，所以，即，则，所以为等边三角形，故A正确；对于B，假设，则，即，则，此时为等边三角形，故B错误；对于C，由，可得，当且仅当时等号成立，解得或（舍去），所以的面积的内切圆半径为，所以内部可以放入的最大圆的半径为，故C正确；对于D，设外接圆的半径为，因为，当且仅当时等号成立，所以，解得或（舍去），由，可得，因为，所以，所以可以完全覆盖的最小圆的半径为，故D正确．故选：ACD．12．2【分析】根据相等复数的概念列出方程组，解之即可求解.【详解】由题意，得，所以.故答案为：2.13．##【分析】依题意可得，设角的平分线交于，即可得到，从而得到为等腰直角三角形，即可得解.【详解】设角的平分线交于，因为，故，即，又表示与同向的单位向量，表示与同向的单位向量，设，（如图所示），，因为，故四边形为正方形，所以为角的平分线，故在上.因为，故，故.综上，为等腰直角三角形且，所以.故答案为：

14．##【分析】利用平面向量的几何意义，结合图像即可得到答案.【详解】由,可得，且，即.作，如图所示，则，，均为正三角形，且，

由，得，化简可得，，所以在直线上.由图像可知，，所以，可得点在以点为圆心，以为半径的圆E上，所以.如图过E作MN垂线垂足为C，交圆E于D点，则显然，此时的最小值为.15．(1)或．(2)90.【分析】（1）先化简复数z，再利用复数的相关概念求解；（2）先求得复数z和其共轭复数，再利用复数的乘法求解.【详解】（1）解：由已知得，若z为纯虚数，则解得或．（2）当时，，，所以．16．(1)，．(2)证明见解析【分析】（1）根据同角三角函数的基本关系计算可得；（2）利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系求出，再根据平面向量共线的坐标表示计算可得.【详解】（1）因为，，所以．所以．（2）证明：因为，所以，所以．17．(1)；(2)．【分析】（1）根据同角的三角函数关系求出，结合正、余弦定理计算即可求解；（2）由（1），结合三角形的面积公式计算即可求解.【详解】（1）在中，由，可得．又由及，可得．由余弦定理得，得，由，解得．所以．（2）由（1）知，，所以的面积．18．(1)(2)航行方向为北偏东【分析】（1）利用余弦定理和二次函数的最值求解；（2）要用时最小，则首先速度最高，然后是距离最短，则由（1）利用余弦定理得到方程解得对应的时间，再解得相应角，即可求解.【详解】（1）如图设小艇的速度为，时间为相遇，相遇点为C，则由余弦定理得：，即,当时，取得最小值，此时速度，此时小艇的航行方向为正北方向，航行速度为.（2）要用时最小，则首先速度最高，即为，则由（1）可得：，即，解得，此时相遇点为B，此时，在中，，则，故可设计航行方案如下:航行方向为北偏东，航行速度为，小艇能以最短时间与轮船相遇.19．(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理进行角化边，然后根据余弦定理求解出的值，即可求出角；（2）法一：根据正弦定理可得，根据三角恒等变换化简可得，再根据的范围求解即可；法二：过点作，垂足为，根据直角三角形性质结合图形分析求解.【详解