湖北省武汉市常青联合体2023-2024学年高一下学期期末考试 数学试卷【含答案】

武汉市常青联合体2023—2024学年度第二学期期末考试高一数学试卷试卷满分：150分一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知是虚数单位，，则复数的模为（

）A． B． C．5 D．32．已知平面向量的夹角为，，，则＝（

）A．2 B． C． D．3．在一次数学测试中，高二某班名学生成绩的平均分为，方差为，则下列四个数中不可能是该班数学成绩的是（

）A． B． C． D．4．，为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，下列说法中正确的个数是（

）①若，，则

②若，，则③若，，则

④若，，，则A．1 B．2 C．3 D．45．已知棱长为1的正方体中，分别为和的中点，则到平面的距离为（

）A． B． C． D．6．已知在中，满足，点在边上，且平分，，则的最大值为（

）A．3 B．1 C． D．47．已知为三角形内一点，且满足和，则角为（

）A． B． C． D．8．在正三棱锥中，分别为的中点，为棱上的一点，且，，若，则此正三棱锥的外接球的表面积为（

）A． B． C． D．二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中有多项符合要求，全部选对得6分，部分选对的得部分.9．已知i为虚数单位，以下说法正确的是（

）A．复数在复平面对应的点在第一象限B．若复数，满足，则C．为纯虚数，则实数D．复数z满足，则10．在中，角所对的边分别是，下列说法正确的是（

）A．若，则是等腰三角形B．若为锐角三角形，则C．若，则满足条件的三角形有2个D．若不是直角三角形，则11．已知正方体的棱长为分别为的中点，且与正方体的内切球（为球心）交于两点，则下列说法正确的是（

）A．线段的长为B．三棱锥的体积为C．过三点的平面截正方体所得的截面面积为D．设P为球上任意一点，则的范围为三､填空题：本题共3小题，每题5分，共15分.12．某歌手在一次比赛中评委给分为（十分制）则该歌手得分的第七十五百分位数是.13．如图所示，是的中点，是平行四边形内（含边界）的一点，且，则当时，的范围是.14．已知在三角形中，角的对边分别为，且，角为锐角，向量与共线，且，则三角形的周长为.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15．已知向量.(1)若与垂直，求的值；(2)若与共线，求的值.16．如图，在四棱锥中，底面，，，点为棱的中点.(1)证明：平面；(2)求直线与平面所成角的大小.17．已知在中，角的对边分别为，且.(1)求；(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.18．随着社会的进步､科技的发展，人民对自己生活的环境要求越来越高，尤其是居住环境的环保和绿化受到每一位市民的关注，因此，2019年6月25日，生活垃圾分类制度入法，提倡每位居民做好垃圾分类储存､分类投放，方便工作人员依分类搬运，提高垃圾的资源价值和经济价值，力争物尽其用.某市环卫局在A､B两个小区分别随机抽取6户，进行生活垃圾分类调研工作，依据住户情况对近期一周（7天）进行生活垃圾分类占用时间统计如下表：住户编号123456A小区（分钟）220185220225205235B小区（分钟）205195245235225215(1)分别计算小区每周进行生活垃圾分类所用时间的平均值和方差；以及两个小区抽取的一共12户每周进行生活垃圾分类所用时间的平均值和方差；(2)如果两个小区住户均按照1000户计算，小区的垃圾也要按照垃圾分类搬运，市环卫局与两个小区物业及住户协商，初步实施下列方案：①小区方案：号召住户生活垃圾分类“从我做起”，为了利国利民，每200位住户至少需要一名工作人员进行检查和纠错生活垃圾分类，每位工作人员月工资按照3000元（按照28天计算标准）计算，则每位住户每月至少需要承担的生活垃圾分类费是多少？②小区方案：为了方便住户，住户只需要将垃圾堆放在垃圾点，物业让专职人员进行生活垃圾分类，一位专职工作人员对生活垃圾分类的效果相当于5位普通居民对生活垃圾分类效果，每位专职工作人员（每天工作8小时）月工资按照4000元（按照28天计算标准）计算，则每位住户每月至少需要承担的生活垃圾分类费是多少？(3)市环卫局与两个小区物业及住户协商分别试行一个月，根据实施情况，试分析哪个方案惠民力度大，值得进行推广？19．如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，，D，E分别是线段的中点，在平面内的射影为D．

(1)求证：平面；(2)若点F为棱的中点，求三棱锥的体积；(3)在线段上是否存在点G，使二面角的大小为，若存在，请求出的长度，若不存在，请说明理由．1．A【解析】略2．D【分析】利用数量积的定义把模转化为数量积的运算即可得．【详解】由题意，，故选：D.【点睛】本题考查求向量的模，解题关键是把模转化为向量的数量积的运算．3．D【分析】可检验与平均数差最大的数，计算，看是否满足题意，即可求得答案.【详解】方差，若存在，则导致方差必然大于，不符合题意.不可能是该班数学成绩故选：D.【点睛】本题考查平均数、方差的相关运算，解题关键是掌握方差的计算公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.4．B【分析】根据空间中点线面的位置关系即可结合选项逐一求解.【详解】①，若，，则，①正确.②，若，，则m，n有可能平行或异面；②不正确.③，若，，由线面垂直的判定定理可得，，③正确.④，若，，，因为m不一定在平面内，所以m不一定垂直，④不正确，故选：B.5．C【解析】略6．A【解析】略7．B【解析】略8．D【解析】略9．CD【分析】根据复数的乘法可得，根据几何意义即可求解A，举反例即可求解B，根据纯虚数的定义即可求解C，根据共轭复数的定义求解D.【详解】对于A，复数在复平面对应的点为在虚轴上，故A错误，对于B，若，满足，但不相等，故B错误，对于C，为纯虚数，可得，可得，故C正确，对于D，由得，所以，故，D正确，故选：CD.10．BD【解析】略11．ABD【解析】略12．【解析】略13．【解析】略14．【解析】略15．(1)(2)【详解】（1），，.与垂直，.（2）由（1）知，，得..16．(1)证明见解析(2)【详解】（1）如图，取中点，连接，由于分别为的中点，故，且，又，可得，且，故四边形为平行四边形，所以，又因为平面平面，所以平面.（2）因为底面底面，又平面，平面.又平面.为的中点，，又平面平面，直线在平面内的射影为直线，故为直线与平面所成的角，由底面底面可得，，为等腰直角三角形，且平分，，所以直线与平面所成的角为.17．(1)(2)【详解】（1）故得所以，即.由正弦定理，得，显然，所以，所以.因为，所以.（2）由题设及（1）可知，的面积为锐角三角形，∴0<C<π2，又，，.18．(1)215分钟，220分钟，(2)①15元；②52元(3)选择方案推广，有利于国民热爱劳动及素质的提升【详解】（1）（分钟），（分钟），总体的平均数，总体的方差（2）①按照方案，A小区一月至少需要5名工作人员进行检查和纠错生活垃圾分类，其费用是元，每位住户每月需要承担的生活垃圾分类费为（元）；②由（1）知，小区平均每位住户每周需要220分钟进行垃圾分类，一月需要（分钟），小区一月平均需要分钟的时间用于生活垃圾分类，一位专职工人一天的工作时间按照8小时作为计算标准，每月按照28天作为计算标准，一位专职工作人员对生活垃圾分类效果相当于5名普通居民对生活垃圾分类的效果，小区一月需要专职工作人员至少（名），则每位住户每月需要承担的生活垃圾分类费为（元），（3）根据上述计算可知，按照每位住户每月需要承担的生活垃圾分类费来说，选择A方案惠民力度大，但需要住户平时做好生活垃圾分类事项；如果对于高档小区的居民来说，可以选择方案，这只是方便个别高收入住户，综上，选择方案推广，有利于国民热爱劳动及素质的提升.19．(1)证明见详解；(2)(3)【分析】（1）通过几何图形的性质证明即可；（2）构造线面平行，求得F到平面的距离结合三棱锥的体积公式计算即可；（3）根据二面角的定义结合（1）作出其平面角，解三角形即可.【详解】（1）

如图所示，连接，由题意可知面ABC，四边形是菱形.∵面ABC，∴，又∵D是AC中点，是正三角形，∴，显然面，∴面，∵面，∴，在菱形中，有，而D，E分别是线段的中点，则，∴,∵面，∴面;（2）

如图所示，取的中点S，连接，过F作交于I，过I作分别交的延长线于H、N，易知分别是的中点，则由条件可得，面，面，故面，即到面的距离等于到面的距离，由（1）得，面，所以面，是直角三角形，在菱形中，易得，所以