江苏省徐州市2023-2024学年高一下学期6月期末考试 数学试题【含答案】

2023～2024学年度第二学期期末抽测高一年级数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数的共轭复数为（

）A． B． C． D．2．某圆锥的侧面展开图是半径为2，圆心角为π的扇形，则该圆锥的高为（

）A．1 B． C．2 D．3．已知一组数据4，8，9，3，3，5，7，9，则（

）A．这组数据的上四分位数为8 B．这组数据没有众数C．这组数据的极差为5 D．这组数据的平均数为64．已知，是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，则使得成立的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，5．将扑克牌4种花色的K，Q共8张洗匀，若甲已抽到了2张K后未放回，则乙抽到2张Q的概率为（

）A． B． C． D．6．以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形称为“勒洛三角形”．在如图所示的勒洛三角形中，已知，点在上，且，则（

）A． B． C． D．7．已知，，，，，则（

）A． B． C． D．8．在矩形中，，，将沿对角线折起，使到，形成三棱锥，则异面直线与所成角的范围为（

）A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．盒子里有3个红球和2个白球，从中不放回地依次取出2个球，设事件“两个球颜色相同”，“第1次取出的是红球”，“第2次取出的是红球”，“两个球颜色不同”．则（

）A．与互为对立事件 B．与互斥 C．A与B相互独立 D．10．已知，，，，则下列说法正确的是（

）A．为纯虚数 B．C．的最大值为 D．若，则11．在正四棱台中，，，，点E在内部（含边界），则（

）A．平面 B．二面角的大小为C．该四棱台外接球的体积为 D．的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知向量，，则．13．已知，且，则．14．在中，，分别在边上，且平分，平分，若，则，．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知向量，．(1)若，求；(2)若，且，求．16．2024年4月25日，搭载神舟十八号载人飞船的长征二号F遥十八运载火箭在酒泉卫星发射中心成功发射，航天员叶光富、李聪、李广苏开始了他们的太空征程．为纪念中国航天事业所取得的成就，发掘并传承中国航天精神，某市随机抽取2000名学生进行了航天知识竞赛，将成绩（满分：150分）整理后分成五组，从左到右依次记为[50,70），[70,90），[90,110），[110,130），[130,150]，并绘制成如图所示的频率分布直方图．(1)补全频率分布直方图，并估计这2000名学生成绩的平均数、求85%分位数（求平均值时同一组数据用该组区间的中点值作代表）；(2)现从以上各组中采用分层抽样的方法抽取200人，若第三组中被抽取的学生成绩的平均数为94，方差为1，第四组中被抽取的学生成绩的平均数为124，方差为2，求这200人中分数在区间[90,130）的学生成绩的方差．17．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．(1)求A；(2)若点D在边BC上，且，，求的值．18．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，平面平面，，，，点E，F分别为棱PD，BC的中点，点G在线段AF上．(1)证明：平面；(2)求点到平面的距离；(3)设直线与平面，平面，平面所成的角分别为，，，求的最大值．19．在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点，对于任意相邻三点都不共线的有序整点列：，，，…，与；，，，…，，其中，若同时满足：①两点列的起点和终点分别相同；②，其中，2，3，…，，则称与互为正交点列．(1)求：，，的正交点列；(2)判断：，，，是否存在正交点列？并说明理由；(3)证明：，，都存在整点列无正交点列．1．A【分析】先化简复数，再求出共轭复数即可.【详解】,则复数的共轭复数为.故选：A.2．B【分析】求出圆锥底面圆半径，再利用圆锥的结构特征求出高.【详解】依题意，圆锥的母线长，设圆锥的底面圆半径为，依题意，，解得，所以圆锥的高.故选：B3．D【分析】根据给定条件，结合上四分位数、众数、极差、平均数的意义依次判断即得.【详解】对于A，给定数据由小到大排列为3，3，4，5，7，8，9，9，而，所以这组数据的上四分位数为，A错误；对于B，这组数据的众数是3和9，B错误；对于C，这组数据的极差为6，C错误；对于D，这组数据的平均数为，D正确.故选：D4．C【分析】根据空间中线线、线面、面面的位置关系一一判断即可.【详解】对于A：若，，则或若，又，则与可能平行、相交（不垂直）、异面（不垂直）、相交垂直、异面垂直，若，又，则与可能平行、异面（不垂直）、异面垂直，故A错误；对于B：若，，，则，故B错误；对于C：若，，则，又，所以，故C错误；对于D：若，，则与可能平行或相交（不垂直）或垂直或，又，此时不能保证成立，如，此时与可能平行、异面（不垂直）、异面垂直，故D错误；故选：C5．B【分析】根据给定条件，利用缩小空间的方法，结合古典概率求解即得.【详解】甲抽到了2张K后未放回，则乙从余下6张牌中任取2张有种方法，抽到2张Q有种方法，所以乙抽到2张Q的概率为.故选：B6．A【分析】建立平面直角坐标系，利用平面向量的坐标运算求解.【详解】如图，以为坐标原点，所在直线为轴，垂直于方向为轴，建立平面直角坐标系，因为，，所以，即，且,所以,所以.故选：A.7．C【分析】把两个方程移项平方以后再相加即可判断AB，然后再根据三角函数值以及角的范围计算出和即可判断CD.【详解】由得，两边平方得：，①由得，两边平方得：，②①+②得：，因为，所以，由可得：，即，所以，又，所以，所以，故A错误；由，两边平方得，③由得，两边平方得：，④

③+④得：，因为，所以，故，由，，可得，故C正确，D错误；综上不是定值，故B错误.

故选：C8．C【分析】根据题意，可知初始状态时直线与直线所成的角为，由于，可得异面直线与不垂直，翻折过程中当平面与平面重合时，与所成锐角为异面直线与所成角的临界值，求出.，即可得到答案.【详解】由题可知，四边形是矩形，，所以初始状态时直线与直线所成的角为，已知矩形中，，，，翻折过程中，如下图，因为，所以，则与平面不垂直，因为，，所以异面直线与不垂直，翻折过程中，当平面与平面重合时，与所成锐角为异面直线与所成角的临界值，如下图：因为矩形中，,，，，所以，同理，所以，即异面直线与所成角的临界值为,所以异面直线与所成角的范围为；故选：C9．AD【分析】依次列出样本空间，事件、、、包含的基本事件，由事件的基本关系及概率公式一一判定选项即可.【详解】依题意可设个红球为，，，2个白球为，，则样本空间为：，共个基本事件.事件，共个基本事件.事件，共个基本事件.事件，共个基本事件.事件，共个基本事件.对于A，显然、不可能同时发生，且与中一定有一个会发生，所以与互为对立事件，故A正确；对于B：注意到，则与不互斥，故B错误；对于C：因为，则，故与不独立，故C错误；对于D：，故D正确.故选：AD10．BC【分析】根据复数的乘方化简，再根据复数的乘方判断A，根据复数模的性质判断B，根据复数模的几何意义判断C，设所对应的向量为，所对应的向量为，再根据向量的数量积的运算律判断D.【详解】对于A：因为，所以，故A错误；对于B：因为，，所以，故B正确；对于C：设，则，又，所以，所以点为以为圆心，为半径的圆上的点所以，表示点与点的距离，因为，所以，故C正确；对于D：设所对应的向量为，所对应的向量为，因为，则，所以，所以，所以，所以，即，故D错误.故选：BC11．ABD【分析】对于A，为中点，证明证得平面；对于B，几何法求二面角的大小；对于C，先假设球心的位置，利用勾股定理与半径相等建立方程组进而确定的位置，可求得球的半径并计算体积；对于D，先判断落在上，再进一步判断与重合时，取得最小值.【详解】对于A，如图1，设底面对角线交于点，由棱台的结构特征易知与的延长线必交于一点，故共面，又面面，而面面，面面，故，即；由，，，得，，即；所以四边形是平行四边形，故，而面，面，所以平面，故A正确；对于B，正四棱台中，为中点，，则，由，则有，所以二面角的平面角为，，，为正三角形，所以二面角的大小为，故B正确；对于C，如图2，设为的中点，为正四棱台外接球的球心，设外接球的半径为，则，在等腰梯形中，易得，为方便计算，不妨设，则由，即，得，又，解得，即与重合，故，故球的体积为，故C错误；对于D，由图2易得，，，面，故面，不妨设落在图3(在外)处，过作，交于，则面，面，故，故在中，（直角边小于斜边）；同理，，所以，故动点只有落在上，才有可能取得最小值；再看图4，由AB选项可知，，，和都为正三角形，关于的对称点为，可知，即与重合时，有最小值，故D正确；故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本题D选项为难点，关键点在于确定点的位置，先假设在外(记为)，由匀股边小于斜边推得，进而得到只有落在上，再利用推得与重合时，有最小值；对于动点，我们一般要考虑特殊位置，可提高我们做题速度.12．1【分析】利用向量线性运算的坐标表示，结合向量模的坐标表示求解即得.【详解】向量，，则，所以.故答案为：113．或【分析】把代入方程解方程即可.【详解】，解得：或，因为，所以或.故答案为：或.14．【分析】使用角平分线定理直接计算出，即可得到的值；根据条件，结合余弦定理，即可得到.【详解】设三个内角所对的边的长度分别为，则由角平分线定理可得，结合知，；同理有，.故.而，故，.故由可得，即.从而.故.由于题目中的条件和所求的量均只涉及线段间的长度比，故可以不妨设，从而.展开，合并同类项，即得.由于，故，从而.所以.同时，之前得到的又等价于，故，所以.从而，这就得到，故.假设，则，矛盾，故.从而由上面已经得到的，就有.故，结合和就有.这就得到.所以.这就得到.最后，设，则，且.故，所以，即，从而或.而，故，所以，即.由于，故.而，故，从而.又因为，故.所以，故，从而，这得到，故，从而由知.将弧度转换为角度，就得到.故答案为：，.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对角平分线定理和余弦定理的使用.15．(1)(2)【分析】（1）根据向量共线的坐标表示求出，再由二倍角公式计算可得；（2）由数量积的坐标表示、两角和的正弦公式及诱导公式求出，即可求出，最后根据两角和的余弦公式计算可得.【详解】（1）因为，且，所以，则，所以.（2）因为，且，所以，则，所以，则，所以，又，所以，所以，所以.16．(1)平均数是88；85%分位数是120(2)217.4【分析】（1）利用所有数据频率之和为1算出的频率，再根据平均数和分位数的概念直接计算即可.（2）直接利用分层抽样方差公式计算即可.【详解】（1）频率为，所以该组数据的纵坐标为，补齐的直方图如图：平均数为，因为前三组的频率之和，而前四组的频率之和，所以第分位数为第四组数据的中点即.（2）设第三组的平均数是，权重为，方差为，设第四组的平均数是，权重为，方差为，两组的平均数是，方差为，由直方图可知则，，则，根据分层抽样方差公式得：.17．(1)(2)【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再借助三角恒等变换求解即得；（2）由向量关系式，平方得边的关系即可求解.【详解】（1）在中，因为，所以，所以，因为，,结合题意知，所以，所以，因为，所以（2）因为，所以，所以，所以，所以，化简得，因为，所以，所以.18．(1)证明见解析(2)(3)【分析】（1）连接，取的中点，连接，根据面面垂直的性质得到平面，即可得到，再由，即可得证；（2）利用等体积法求出点到平面的距离；（3）连接，，取的中点，连接，确定直线与平面，平面，平面所成的角，再根据锐角三角函数得到，设，，利用换元法求出函数的最大值.【详解】（1）连接，取的中点，连接，因为底面为菱形，且，所以、为等边三角形，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，平面，所以，又，，平面，所以平面；（2）因为平面，平面，所以，，又，，，所以，所以，又，所以，设点到平面的距离为，则，即，解得，即点到平面的距离.（3）连接，，则且，又平面，所以平面，则为直线与平面所成的角，即，所以，取的中点，连接，则且，又为中点，所以，又，所以，由平面，平面，所以，，又，平面，所以平面，则平面，又，平面，所以平面，连接，，则为直线与平面所成的角，即，所以，为直线与平面所成的角，即，所以，所以，又，设，，所以，所以，令，则，所以，因为，所以，所以当时取得最