辽宁省大连王府高级中学有限公司2023-2024学年高一下学期第二学段 数学试卷

大连王府高级中学2023-2024学年度下学期第二学段考试高一数学试题满分150分 时间120分钟一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。1．已知复数，则的虚部为（）A． B．i C． D．12．已知，则（）A． B． C． D．3．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中煎下的扇形制作而成；一个半径为的扇形，它的周长是，则这个扇形所含弓形的面积是（）A． B． C． D．4．锐角中，角所对的边分别为，若，则的取值范围是（）A． B． C． D．5．在中，三个内角的对边分别为，若的面积为，且，则等于（）A． B． C．1 D．6．已知均为锐角，，则取得最大值时，的值为（）A． B． C．1 D．27．若，且，则的最小值为（）A． B． C． D．8．已知中，角的对边分别是，下列命题中，真命题的个数是（）（1）若，则是等腰三角形；（2）若，则是直角三角形；（3）若，则是钝角三角形；（4）若，则是等边三角形．A．1 B．2 C．3 D．4二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中有多项是符合题目要求的。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选项的得0分。9．下列各式运算结果为有理数的是（）A． B．C． D．10．南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幕，减中斜幂，余半之，自乘于上：以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实：一为从隅，开平方得积可用公式，其中为三角形的三边和面积）表示．在中，分别为角所对的边，若，且，则下列命题正确的是（）A．面积的最大值是 B．C． D．面积的最大值是11．“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知是内一点，，，的面积分别为，且．以下命题正确的是（）A．若，则为的重心B．若为的内心，则C．若为的外心，则D．若为的垂心，，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12．如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，则平面图形中对角线的长度为______．13．设锐角的三个内角，满足，则的最小值为______．14．在2022年2月4日举行的北京冬奥会开幕式上，贯穿全场的雪花元素为观众带来了一场视觉盛宴，象征各国、各地区代表团的“小雪花”汇聚成一朵代表全人类“一起走向未来”的“大雪花”的意境惊艳了全世界（如图①，顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形（如图②）．已知正六边形的边长为2，点满足，则______；若点是正六边形边上的动点（包括端点），则的最大值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分15．已知函数．（1）求函数的最小正周期和最大值；（2）设的内角的对边分别，且，若，求的值．16．已知的内角所对的边分别为，且满足．（1）求证：；（2）若，且为锐角三角形，求的面积的取值范围．17．在大力推进城镇化的旧房改造进程中，晓颖家旧房拆迁拿到一套新房外加一间店面．晓颖准备将店面改建成超市，遇到如下问题：如图所示，一条直角走廊宽为2米，现有一转动灵活的平板车希望能自如在直角走廊运行．平板车平板面为矩形，它的宽为1米．直线分别交直线于，过墙角作于于；请你结合所学知识帮晓颖解决如下问题：（1）若平板车卡在直角走廊内，且，试将平板面的长表示为的函数；（2）证明：当时，；（3）若平板车要想顺利通过直角走廊，其长度不能超过多少米？18，筒车（chinesenoria）亦称“水转筒车”．一种以水流作动力，取水灌田的工具，据史料记载，筒车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，这种靠水力自动的古老筒车，在家乡郁郁葱葱的山间、溪流间构成了一幅幅远古的田园春色图，水转筒车是利用水力转动的筒车，必须架设在水流湍急的岸边，水激轮转，浸在水中的小筒装满了水带到高处，筒口向下，水即自筒中倾泻入轮旁的水槽而汇流入田，某乡间有一筒车，其最高点到水面的距离为6m，筒车直径为8m，设置有8个盛水筒，均匀分布在筒车转轮上，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转一周需要24s，如图，盛水筒A（视为质点）的初始位置距水面的距离为4m．（1）盛水筒经过后距离水面的高度为（单位：），求筒车转动一周的过程中，关于的函数的解析式；（2）盛水筒（视为质点）与盛水筒相邻，设盛水筒在盛水筒的顺时针方向相邻处，求盛水筒与盛水筒的高度差的最大值（结果用含的代数式表示），及此时对应的．（参考公式：）19．已知为平面内不共线的三点，表示的面积．（1）若，求；（2）若，证明：（3）若，其中，且坐标原点恰好为的重心，判断是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

大连王府高级中学2023-2024学年度下学期第二学段考试高一数学试题参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。1．【解答】解：，则，其虚部为．故选：C．2．【解答】解：设则故选：B．3．【解答】解：设扇形的圆心角为，因为扇形的半径为，周长为，所以，所以扇形所含弓形的面积是．故选：C．4．【解答】解：由及正弦定理得，即，所以，因为，所以，由为锐角得，由题意得，解得，则．故选：D．5．【解答】解：，，代入已知等式得：，即，，，，解得：（不合题意，舍去），，，则．故选：A．6．【解答】解：已知均为锐角，，则，即，即，即，则，当且仅当，即时取等号，则取得最大值时，的值为2．故选：D．7．【解答】解：，由正弦函数的性质可知，，因为，所以为函数的最值，则的最小值为．故选：B．8．【解答】解：中，，由正弦定理得，因为，所以，即，即，所以或，所以或，故（1）错误；中，因为，所以，所以或，故（2）错误；中，，当时，都为钝角，显然不满足；当中有1为负，2个为正，不妨设，则，所以是针角三角形；故（3）正确；中，，所以，所以，因为，所以，所以，则是等边三角形，故（4）正确．故选：B．二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中有多项是符合题目要求的。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选项的得0分。9．【解答】解：A，原式，为有理数，正确，B，原式，为有理数，正确，C，原式，为无理数，错误，D，原式，为有理数，正确．故选：ABD．10．【解答】解：由题意，得，即，所以，故B正确，C错误．由，得，当，即时，面积取到最大值是，A错误，D正确；故选：BD．11．【解答】解：对于，取的中点，连接，由，则，所以，所以三点共线，且，设分别为的中点，同理可得，所以为的重心，故A项正确；对于，由为的内心，设内切圆半径为，则有，所以，即，故B项正确；对于C，由为的外心，设的外接圆半径为，又因为，所以，所以，，，所以，故C项错误；对于D，延长交于点，延长交于点，延长交于点，由为的垂心，，则，又，则，设，则，所以即所以，同理，故，D正确．故选：ABD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12．【解答】解：根据题意，由直观图知原几何图形是直角梯形ABCD，如图，由斜二测法则知，所以，13．【解答】解，当时取等号14．【解答】解：由题意得，，又以及正六边形的几何特征可知为的中点，则要使最大，可知当在处时，最大，此时最大，即故答案为：2；6．四、解答题：本题共5小题，共77分15．【解答】解：（1），的最大值为0，最小正周期是．（2）由，可得，，，由正弦定理得①，由余弦定理得，，②，由①②解得．16．【解答】（1）证明：（1）因为，由正弦定理可得：，在三角形中，所以，整理可得：，即，所以或，又因为，所以；（2）解：因为，所以，可得，由正弦定理可得，且，可得，所以，因为为锐角三角形且，，，所以因为为锐角三角形，即，，令，设在单调递减，可得，所以．17．【解答】解：（1）由图可知，，，即；证明：（2），，又，即，．；解：（3）平板车要想顺利通过直角走廊，则平板车长度，由，令，则．原函数化为，即，则，函数化为，在上单调递减，则当时，取得最小值为．18．【解答】解：（1）以筒车转轮的中心为原点，与水面平行的直线为轴建立平面直角坐标系，设，由题意知，，，即，当时，，解得，结合图像初始位置可知，，综上．（2）经过后距