2023-2024学年广西示范性高中高一下学期期末考试数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年广西示范性高中高一下学期期末考试数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。1.下列各对角中终边相同的是(

)A.π2和7π2 B.−π3和22π3 C.−7π92.对于α∈R，下列等式恒成立的是(

)A.tanπ+α=tan2π−α B.cos3π23.在▵ABC中，角A,B,C对边为a,b,c，且2c⋅cos2A2=b+c，则A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形4.已知sinα+π8=2A.23 B.−23 C.15.如图，在▵ABC中，AD=2DC，若BA=a，BC=b，则BD=A.a+2b B.a+12b6.函数y=cosx+π3A.

12,1 B.32,1 7.如图，▵AOB的斜二测画法的直观图是腰长为32的等腰直角三角形，y′轴经过A′B′的中点，则AB=(

)

A.6 B.36 C.12 8.设a,b为两条不同的直线，α,β为两个不同的平面，则下列命题正确的是(

)A.若a//α,b//α，则a/​/b

B.若a//α,b//α,a⊂β,b⊂β，则β//α

C.若α//β,a⊂α，则a//β

D.若α//β,b//α，则b//β二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。9.下列各组向量中，能作为基底的是(

)A.e1=0,0，e2=1,−2 B.e1=2,−3，e210.已知函数f(x)=−2sin(2x+φ)(−π<φ<0)，将函数f(x)图象向右平移π6个单位长度后所得的函数图象过点A.7π12,0是f(x)的一个对称中心 B.在区间π6,π3上单调递增

C.x=−π11.已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，下列说法正确的是(

)A.若sinA>sinB，则A>B

B.若a2+b2−c2>0，则△ABC一定是锐角三角形

C.若12.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，E，F，G，H分别为BB1，CC1A.E，F，G，H四点共面 B.EF//GH

C.EG，FH，AA1三线共点 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知向量a=y,−2,b=1,3，若a⊥14.已知角α的终边经过点(1,22)，则sin(2α+15.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A为锐角，tanBcosC=1−sinC，△ABC的面积为2，则△ABC16.已知函数fx=2cos2x−23sinxcosx−a四、解答题：共6小题，共70分。17.（10分）已知sinθ=45，(1)求sin2θ(2)求cosθ−π18.（12分）已知a=(1,0)，b=(2,1)(1)当k为何值时，ka−b(2)若AB=2a+3b，BC=a+mb且A19.（12分）▵ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，(1)求A；(2)若a=4，求▵ABC面积的最大值．20.（12分）在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E(1)求证：E、F、B、D四点共面；(2)求异面直线EF与AD121.（12分）某校开展数学专题实践活动，要求就学校新建的体育馆进行研究，为了提高研究效率，小王和小李打算分工调查测量并绘图，完成两个任务的研究．(1)小王获得了以下信息：a.教学楼AB和体育馆CD之间有一条笔直的步道BD；b.在步道BD上有一点M，测得M到教学楼顶A的仰角是45∘，到体育馆楼顶C的仰角是30c.从体育馆楼顶C测教学楼顶A的仰角是15∘d.教学楼AB的高度是20米．请帮助小王完成任务一：求体育馆的高度CD．(2)小李获得了以下信息：a.体育馆外墙大屏幕的最低处到地面的距离是4米；b.大屏幕的高度PQ是2米；c.当观众所站的位置N到屏幕上下两端P，Q所张的角∠PNQ最大时，观看屏幕的效果最佳．请帮助小李完成任务二：求步道BD上观看屏幕效果最佳地点N的位置．22.（12分）如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1

(1)求证：BD1‖(2)CC1上是否存在一点F，使得平面AEC‖平面BFD1？若存在，请确定点答案和解析1.【答案】C

【解析】【分析】根据终边相同的角的集合形式即可判断各选项．【详解】对于A，7π2=4π−π2，其终边与−π对于B，22π3=8π−2π3，其终边与−2π对于C，11π9=2π−7π9，其终边与对于D，20π3=6π+2π3，其终边与2π3故选：C2.【答案】D

【解析】【分析】根据诱导公式化简即可．【详解】对于A，tanπ+α=tanα，对于B，cos3π2−α对于C，cos−α=cos对于D，sin3π−α=sin故选：D．3.【答案】B

【解析】【分析】先根据二倍角公式化简cos2A【详解】因为2c⋅cos所以2c⋅1+cosA所以ccos在▵ABC中，由余弦定理：cosA=代入得，c⋅b2+所以c2所以▵ABC直角三角形．故选：B4.【答案】D

【解析】【分析】根据诱导公式及二倍角的余弦公式求解即可．【详解】因为cosα−所以cos2α−故选：D．5.【答案】C

【解析】【分析】根据AD=23【详解】因为AD=2DC，所以AD=所以BD=故选：C．6.【答案】A

【解析】【分析】由x的范围，可得x+π【详解】因为x∈−π2因为函数t=cosx在−π又cos−π6=3即y∈1故选：A．7.【答案】D

【解析】【分析】本题考查投影与斜二测画法，属于基础题．

先将直角坐标系中的原图作出，再比对直观图与原图直接求出即可．【解答】解：由题意得▵AOB的原图如图所示，其中D为AB的中点，且OA=3OD=所以AD=OA故选：D．8.【答案】C

【解析】【分析】根据题意，结合线面平行的判定与性质，以及面面平行的判定与性质，逐项判定，即可求解．【详解】对于A中，若a//α,b//α，则a//b，a与b相交或异面，所以A错误对于B中，若a//α,b//α,a⊂β,b⊂β，则β//α或α与β相交，所以B错误；对于C中，若α//β,a⊂α，根据面面平行的性质，可得a//β，所以C正确；对于D中，若α//β,b//α，则b//β或b⊂β，所以D错误．故选：C9.【答案】BD

【解析】【分析】两个向量若不共线即可作为一组基底，所以找出不共线的向量组即可．【详解】只要两个向量不共线，即可作为基底向量对于A，因为e1=0,0，e2=1,−2，所以对于B，因为e1=2,−3，e2=12对于C，因为e1=3,5，e2=6,10，所以对于D，因为e1=−1,2，e2=5,7，所以故选：BD．10.【答案】ACD

【解析】【分析】本题考查三角函数图象的平移变换，考查正弦型函数的图象与性质，属于中档题．

根据三角函数图象的平移变换可得平移后的解析式为，由P(0,2)在其图象上可求φ=−π6，故，由可以判断A，结合正弦函数的单调性可以判断B、D，x=−π6时，，可以判断C．【解答】

解：将函数f(x)图象向右平移π6个单位长度得到的图象，

又其图象过点P(0,2)，所以，得．

因为，所以，

所以，解得φ=−π6，

所以．

对于A，，

所以7π12,0是f(x)的一个对称中心，故A正确；

对于B，x∈π6,π3时，，

所以y=2sin⁡(2x−π6)在区间π6,π3上单调递增，

所以在区间π6,π3上单调递减，故B错误；

对于C，x=−π6时，，

所以x=−π6是f(x)的一条对称轴，故C正确；

对于D，x∈−5π6,−2π3，，

因为11.【答案】AC

【解析】【分析】根据正弦定理结合已知可得a>b，即可得出A；B根据余弦定理只能得出C为锐角，无法判断A、B的情况；根据余弦定理角化边，结合已知整理，即可判断C、D项．【详解】对于A项，由正弦定理asinA=bsinB可得，ab对于B项，由余弦定理可得cosC=a2+b2−对于C项，由余弦定理cosB=a2+c2−b2对于D项，由余弦定理cosB=a2+c2−b22ac以及cosA=故选：AC．12.【答案】D

【解析】【分析】本题考查空间中的共面、共点问题及直线与直线的位置关系，属于中档题．根据空间中的共面、共点及直线与直线的位置关系相关定理判断即可．【解答】

解：选项A，如图，

连接EF，GH．

∵GH是△A1B1C1的中位线，∴GH/​/B1C1．

∵B1E//C1F，且B1E=C1F，∴四边形B1EFC1是平行四边形，

∴EF//B1C1，∴EF/​/GH，∴E，F，G，H四点共面，故A、B正确;

对于选项C，如图，延长EG，FH相交于点P．

∵P∈EG，EG⊂平面ABB1A1，

∴P∈平面ABB1A1，

∵P∈FH，FH⊂平面ACC1A113.【答案】6

【解析】【分析】根据向量垂直列方程，由此求得y的

值．【详解】因为向量a=y,−2,所以a⋅b=y−6=0故答案为：6．14.【答案】−7【解析】【分析】根据诱导公式、二倍角的余弦公式及三角函数定义求解．【详解】因为角α的终边经过点(1,2所以cosα=所以sin(2α+故答案为：−15.【答案】4+2【解析】【分析】本题考查同角三角函数关系，两角和与差的正弦公式、三角形面积公式，基本不等式求最值，属于中档题．

由三角恒等变换公式求得C=π2或B+C+B+π【解答】

解：由tan

Bcos

C=1−sin

C，得sinBcosBcosC=1−sinC，sin

Bcos

C+cos

Bsin

C=cos

B，sin(B+C)=cosB=sin(B+π2)，故C=π2或B+C+B+π2=π，

若2B+C=π2，则B+C<π2，A>π2，不合题意，16.【答案】−∞,−1

【解析】【分析】首先逆用两角和差公式化简函数表达式，从而原题条件等价于2cos【详解】由题意fx=2cos即2cos2x+π3+1≥a而对任意的x∈0,π2所以当2x+π3=π，即x=所以a≤−1．综上，实数a的取值范围为−∞,−1．故答案为：−∞,−1．17.【答案】解：(1)∵sinθ=45

，∴cosθ=−则

sin2θ=2sin(2)cos (θ−π

【解析】本题考查三角函数的同角公式、二倍角公式以及两角差的余弦公式，属于基础题．

(1)根据同角三角函数结合已知得出

cosθ

(2)根据两角和差的余弦公式代入数值得出答案．18.【答案】解：(1)∵a=(1,0)，∴ka又ka−b与b垂直，得2(k−2)−1=0(2)AB=2a+3∵A、B、C三点共线，∴AB则8m−3(1+2m)=0，解得：m=3

【解析】【分析】(1)先利用向量坐标运算求出ka−b与b(2)先利用向量坐标运算求出AB,AC，利用向量平行可求19.【答案】解：(1)根据正弦定理及

2bcosA=c得

2sinB∵

sinB≠0

，∴

cosA=∵

0<A<π

，∴

A=π3(2)由(1)知

A=π3

，又

a=4由余弦定理得

16=b2即

b2+∵

b2+∴

2bc−bc≤16

，即

bc≤16

，当且仅当

b=c=4

时取等号．∴

S△ABC=∴

S▵ABC

的最大值为

4

【解析】本题主要考查正余弦定理的应用，三角形面积公式，是中档题．

(1)由正弦定理将边化为角，结合三角函数的两角和的正弦公式，可求得答案;(2)由余弦定理结合基本不等式可求得

bc≤16

，再利用三角形面积公式求得答案．20.【答案】(1)连接B1∵E为棱B1C1的中点，F为棱∵正方体ABCD−∴四边形BB1D∴BD//EF,BD,EF确定一平面．∴E、F、B、D四点共面；(2)由(1)得∴EF//∴∠AD1B1或补角为异面直线在ΔAD1∴异面直线EF与AD1所成角为

【解析】【分析】(1)根据三角形中位线定理和平行线的传递性，可证EF//BD，即可推证结论;(2)由直线间的平行关系，可得异面直线EF与AD1所成角就是角本题考查点共面，关键要对确定平面的条件要熟练掌握;考查空间角，空间角用几何法求，要体现作、证、算三步骤．21.【答案】解：(1)由题意知AB=BM=20，AB⊥BM，由勾股定理得AM=且可知∠AMC=180∠ACM=15由正弦定理可得20则体育馆的高度CD为10米．(2)设ND=x，则tan∠PND=4x∴=6当且仅当x=24x⇒x=26

【解析】【分析】(1)先得到AM，∠AMC,∠CAM，由正弦定理求出MC=20，求出CD；(2)设ND=x，则tan∠PND=4x，tan22.【答案】解：(1)证明：如图，连接BD交AC于O，连接E