北京市2024年中考数学试卷（含答案）

北京市2024年中考数学试卷阅卷人一、单选题得分1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是()A． B． C． D．2．如图，直线AB和CD相交于点O，OE⊥OC，若∠AOC=58°，则∠EOB的大小为() A．29° B．32° C．45° D．58°3．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是() A．b>−1 B．|b|>2 C．a+b>0 D．ab>04．若关于x的一元二次方程x2−4x+c=0有两个相等的实数根，则实数A．−16 B．−4 C．4 D．165．不透明的袋子中装有一个红色小球和一个白色小球，除颜色外两个小球无其他差别.从中随机取出一个小球后，放回并摇匀，再从中随机取出一个小球，则两次都取到白色小球的概率为（）A．34 B．12 C．136．为助力数字经济发展，北京积极推进多个公共算力中心的建设.北京数字经济算力中心日前已部署上架和调试的设备的算力为4×1017Flops（Flops是计算机系统算力的一种度量单位），整体投产后，累计实现的算力将是日前已部署上架和调试的设备的算力的5倍，达到mFlops，则A．8×1016 B．2×1017 C．7．下面是“作一个角使其等于∠AOB”的尺规作图方法.（1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；（2）作射线O'A'，以点O'为圆心，OC长为半径画弧，交O'A'于点C（3）过点D'作射线O'B上述方法通过判定△C'O'DA．三边分别相等的两个三角形全等B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等8．如图，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，O为对角线的交点.将菱形ABCD绕点O逆时针旋转90°得到菱形A'B'C'D'，两个菱形的公共点为E，F①该八边形各边长都相等； ②该八边形各内角都相等；③点O到该八边形各顶点的距离都相等； ④点O到该八边形各边所在直线的距离都相等.上述结论中，所有正确结论的序号是()A．①③ B．①④ C．②③ D．②④阅卷人二、填空题得分9．若x−9在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是.10．分解因式：x3−25x=11．方程12x+3+112．在平面直角坐标系xOy中，若函数y=kx(k≠0)的图象经过点(3,y1)13．某厂加工了200个工件，质检员从中随机抽取10个工件检测了它们的质量（单位：g），得到的数据如下：50.0349.9850.0049.9950.0249.9950.0149.9750.0050.02，当一个工件的质量x（单位：g）满足49.98≤x≤50.14．如图，⊙O的直径AB平分弦CD（不是直径）.若∠D=35°，则∠C=°.15．如图，在正方形ABCD中，点E在AB上，AF⊥DE于点F，CG⊥DE于点G.若AD=5，CG=4，则△AEF的面积为.16．联欢会有A，B，C，D四个节目需要彩排.所有演员到场后节目彩排开始.一个节目彩排完毕，下一个节目彩排立即开始.每个节目的演员人数和彩排时长（单位：min）如下：节目ABCD演员人数102101彩排时长30102010已知每位演员只参演一个节目.一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其他因素）.若节目按“A−B−C−D”的先后顺序彩排，则节目D的演员的候场时间为min；若使这23位演员的候场时间之和最小，则节目应按的先后顺序彩排阅卷人三、解答题得分17．计算：(π−5)0+8−2sin30°+|−2|19．已知a−b−1=0，求代数式3(a−2b)+3ba20．如图，在四边形ABCD中，E是AB的中点，DB，CE交于点F，DF=FB，AF//DC.（1）求证：四边形AFCD为平行四边形；（2）若∠EFB=90°，tan∠FEB=3，EF=1，求BC21．为防治污染，保护和改善生态环境，自2023年7月1日起，我国全面实施汽车国六排放标准6b阶段（以下简称“标准”）.对某型号汽车，“标准”要求A类物质排放量不超过35mg/km，A，B两类物质排放量之和不超过50mg/km.已知该型号某汽车的A，B两类物质排放量之和原为92mg/km.经过一次技术改进，该汽车的A类物质排放量降低了50%，B类物质排放量降低了75%，22．在平面直角坐标系xOy中，函数y=kx+b(k≠0)与y=−kx+3的图象交于点(2,（1）求k，b的值；（2）当x>2时，对于x的每一个值，函数y=mx(m≠0)的值既大于函数y=kx+b的值，也大于函数y=−kx+3的值，直接写出m的取值范围.23．某学校举办的“青春飞扬”主题演讲比赛分为初赛和决赛两个阶段.（1）初赛由10名数师评委和45名学生评委给每位选手打分（百分制）对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息.a.教师评委打分：86889091919191929298b.学生评委打分的频数分布直方图如下（数据分6组：第1组82≤x<85，第2组85≤x<88，第3组88≤x<91，第4组91≤x<94，第5组94≤x<97，第6组97≤x≤100）：c.评委打分的平均数、中位数、众数如下：

平均数中位数众数教师评委9191m学生评委90n93根据以上信息，回答下列问题：①m的值为，n的值位于学生评委打分数据分组的第组；②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为x，则x91（填“>”“=”或“<”）；（2）决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）.对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差.平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前，5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下：评委1评委2评委3评委4评委5甲9390929392乙9192929292丙90949094k若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是，表中k（k为整数）的值为.24．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，OD平分∠AOC.（1）求证：OD//BC；（2）延长DO交⊙O于点E，连接CE交OB于点F，过点B作⊙O的切线交DE的延长线于点P.若OFBF=56，25．小云有一个圆柱形水杯（记为1号杯），在科技活动中，小云用所学数学知识和人工智能软件设计了一个新水杯，并将其制作出来，新水杯（记为2号杯）示意图如下，当1号杯和2号杯中都有VmL水时，小云分别记录了1号杯的水面高度h1（单位：cm）和2号杯的水面高度hV/mL040100200300400500h102.55.07.510.012.5h202.84.87.28.910.511.8（1）补全表格（结果保留小数点后一位）；（2）通过分析数据，发现可以用函数刻画h1与V，h2与（3）根据以上数据与函数图象，解决下列问题：①当1号杯和2号杯中都有320mL水时，2号杯的水面高度与1号杯的水面高度的差约为cm（结果保留小数点后一位）；②在①的条件下，将2号杯中的一部分水倒入1号杯中，当两个水杯的水面高度相同时，其水面高度约为cm（结果保留小数点后一位）.26．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax（1）当a=1时，求抛物线的顶点坐标；（2）已知M(x1,y1)和N(x2,27．已知∠MAN=α(0°<α<45°)，点B，C分别在射线AN，AM上，将线段BC绕点B顺时针旋转180°−2α得到线段BD，过点D作AN的垂线交射线AM于点E.（1）如图1，当点D在射线AN上时，求证：C是AE的中点；（2）如图2，当点D在∠MAN内部时，作DF//AN，交射线AM于点F，用等式表示线段EF与AC的数量关系，并证明.28．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，对于⊙O的弦AB和不在直线AB上的点C，给出如下定义：若点C关于直线AB的对称点C'在⊙O上或其内部，且∠ACB=α，则称点C是弦AB的“ α （1）如图，点A(0,1)，①在点C1(2,0)，C2(1,2)，C3(1②若点D是弦AB的“90°可及点”，则点D的横坐标的最大值为；（2）已知P是直线y=3x−3上一点，且存在⊙O的弦MN，使得点P是弦MN的“60°可及点”.记点P的横坐标为t，直接写出t

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：A、此选项中的图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；

B、此选项中的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；

C、此选项中的图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

D、此选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意.

故答案为：B.

【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形；把一个平面图形，绕着某一点旋转180°后，能与自身重合的图形就是中心对称图形，根据定义即可逐一判断得出答案.2．【答案】B【解析】【解答】解：∵OE⊥OC，

∴∠COE=90°，

∵∠AOC=58°，

∴∠EOB=180°-∠AOC-∠COE=180°-58°-90°=32°.

故答案为：B.

【分析】由垂直的定义得∠COE=90°，从而根据平角的定义，由∠EOB=180°-∠AOC-∠COE代入计算即可得出答案.3．【答案】C【解析】【解答】解：A、由数轴可得-2＜b＜-1，故A选项错误，不符合题意；

B、由数轴可得-2＜b＜-1，∴1＜|b|＜2，故B选项错误，不符合题意；

C、由数轴可得-2＜b＜-1＜2＜a，∴|a|＞|b|，∴a+b＞0，故C选项正确，符合题意；

D、由数轴可得-2＜b＜-1＜2＜a，∴ab＜0，故D选项错误，不符合题意.

故答案为：C.

【分析】由数轴可得-2＜b＜-1＜2＜a，据此可直接判断A选项；然后根据绝对值的几何意义，可判断B选项；由有理数的加法法则“绝对值不相等得异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值”，据此可判断C选项；由有理数的乘法法则“异号两数相乘，积为负数”可判断D选项.4．【答案】C【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2-4x+c=0有两个相等的实数根，

∴△=b2-4ac=0，即（-4）2-4c=0，

解得c=4.

故答案为：C.

【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此斌结合题意列出方程，求解即可.5．【答案】D【解析】【解答】解：由题意可得：

第一次取到白球的概率为：12

第二次取到白球的概率为：12

则两次都取到白球的概率为：12×6．【答案】D【解析】【解答】解：m=5×4×1017=20×1017=2×10×1017=2×1018.

故答案为：D.

【分析】根据m=5×日前已部署上架和调试的设备的算力列出式子，然后根据单项式乘以单项式法则进行计算，进而再根据用科学记数法表示较大的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤a＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此可得答案.7．【答案】A【解析】【解答】解：由作图过程可得OC=O'C'，OD=O'D'，CD=C'D'，

∴△COD≌△C'O'D'（SSS），

∴∠AOB=∠A'O'B'.

故答案为：A.

【分析】根据作图过程可得OC=O'C'=OD=O'D'，CD=C'D'，从而结合全等三角形的判定定理即可答案.8．【答案】B【解析】【解答】解：延长BD和DB，连接OH，

∵菱形ABCD中，∠BAD=60°，

∴∠BAO=∠DAO=30°，∠AOD=∠AOB=90°，

∵菱形ABCD绕点O逆时针旋转90°得到菱形A'B'C'D'，

∴点A'、B'、C'、D'一定在对角线AC、BD上，且OD=OD'=OB=OB'，OA=OA'=OC=OC'，∴AD'=C'D，∠D'AH=∠DC'H=30°，

又∵∠D'HA=∠DHC'，

∴△AD'H≌△C'DH（AAS），

∴D'H=DH，C'H=AH，

同理可证D'E=BE，BF=B'F，B'G=DG，

∵∠EA'B=∠HC'D=30°，A'B=C'D，∠A'BE=∠C'DH=120°，

∴△A'BE'≌△C'DH（ASA），

∴DH=BE，

∴DH=BE=D'H=D'E=BF=B'F=B'G=DG，

∴该八边形各边都相等，故①正确；

根据角平分线的性质定理得点O到该八边形各边所在直线的距离相等，故④正确；

根据题意得∠ED'H=120°，

∵∠D'OD=90°，∠OD'H=∠ODH=60°，

∴∠D'HD=150°，

∴该八边形各个内角不相等，故②错误；

∵OD=OD'，D'H=DH，OH=OH，

∴△D'OH≌△DOH（SSS），

∴∠D'OH=∠DOH=45°，∠D'HO=∠DHO=75°，

∴OD≠OH，

∴点O到该八边形各顶点的距离不相等，故③错误，

综上，正确的有①④.

故答案为：B.

【分析】延长BD和DB，连接OH，由菱形性质得∠BAO=∠DAO=30°，∠AOD=∠AOB=90°，由旋转性质得点A'、B'、C'、D'一定在对角线AC、BD上，且OD=OD'=OB=OB'，OA=OA'=OC=OC'，从而可用AAS判断出△AD'H≌△C'DH，得D'H=DH，C'H=AH，同理可证D'E=BE，BF=B'F，B'G=DG；由ASA判断出△A'BE'≌△C'DH，得DH=BE，据此可判断①；根据角平分线的性质定理得点O到该八边形各边所在直线的距离相等，可判断④；通过角度计算可判断②；用SSS判断出△D'OH≌△DOH，得∠D'OH=∠DOH=45°，∠D'HO=∠DHO=75°，​​​​​​​据此可判断③.9．【答案】x≥9【解析】【解答】解：由题意得x-9≥0，

解得x≥9.

故答案为：x≥9.

【分析】由二次根式的被开方数不能为负数，列出不等式，求解即可.10．【答案】x(x+5)(x−5)【解析】【解答】解：x3-25x=x(x2-25)=x(x+5)(x-5).

故答案为：x(x+5)(x-5).

【分析】先提取各项的公因式x，再将剩下的商式利用平方差公式进行第二次分解即可.11．【答案】x=−1【解析】【解答】解：12x+3+1x=0，

方程两边同时乘以x(2x+3)约去分母，

得x+2x+3=0，

解得x=-1，

当x=-1时，x(2x+3)≠0，

∴12．【答案】0【解析】【解答】解：∵点(3，y1)在函数y=kx(k≠0)的图象的图象上，

∴y1=k3

∵点(-3，y2)在函数y=kx(k≠0)的图象的图象上，

∴y2=-k13．【答案】160【解析】【解答】解：∵工件的质量满足49.98≤x≤50.02时，评定该工件为一等品，

∴抽取的十个工件质量为一等品的有49.98，50.00，49.99，50.02，49.99，50.01，50.00，50.02共8个，

∴估计这200个工件中一等品的个数是200×810=160（个）.

14．【答案】55【解析】【解答】解：∵直径AB平分非直径的弦CD，

∴AB⊥CD，

∴∠B=90°-∠D=55°，

∴∠C=∠B=55°.

故答案为：55.

【分析】由平分非直径的弦得直径垂直于弦可得AB⊥CD，由直角三角形两锐角互余可得∠B的度数，进而再根据同弧所对的圆周角相等可得∠C的度数.15．【答案】27【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=CD=5，∠ADC=∠DAB=90°，AB∥CD，

∵CG⊥DE，AF⊥DE，

∴∠AFD=∠AFE=90°，

∴∠CGD=90°，

在Rt△CDG中，∠CGD=90°，

∴DG=CD2-CG2=52-42=3，

∵∠ADF+∠CDG=∠CDG+∠DCG=90°，

∴∠ADF=∠DCG，

在△ADF与△DCG中，

∵∠CGD=∠DFA=90°，∠ADF=∠DCG，AD=CD，

∴△ADF≌△DCG（AAS），

∴DG=AF=3，

∵AB∥CD，

∴∠CDG=∠AEF，

∴tan∠CDG=tan∠AEF，

∴CGDG=AFEF，即416．【答案】60；C−A−B−D【解析】【解答】解：节目D的演员的候场时间为30+10+20=60min；

若使这23位演员的候场时间之和最小，则节目应按C-A-B-D的先后顺序进行彩排.

故答案为：60；C-A-B-D.

【分析】根据候场时间的定义进行计算可得第一空的答案；由题意得节目A和C演员人数一样，彩排时长不一样，那么时长长的节目应该放在后面，故那么C在A的前面；B和D彩排时长一样，人数不一样，那么人数少的应该往后排，这样等待时长会短一些，故B在D前面.17．【答案】解：原式=1+2=1+22-1+【解析】【分析】先根据零指数幂的性质“任何一个不为零的数的零次幂都等于1”、二次格式的性质、特殊锐角三角函数值、绝对值的性质分别化简，再计算乘法，最后计算有理数的减法及合并同类二次根式即可.18．【答案】解：3(x−1)<4+2x①解不等式①，得x<7，

解不等式②，得x>−1，∴不等式组的解集为−1<x<7【解析】【分析】分别解出不等式组中两个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定出解集即可.19．【答案】解：原式===3∵a−b−1=0，∴a−b=1，∴原式=【解析】【分析】将待求式子的分子去括号合并同类后利用提取公因式法分解因式，分母利用完全平方公式分解因式，进而约分化简；由已知等式可得a-b=1，从而整体代入化简后的式子计算即可.20．【答案】（1）证明：∵E是AB的中点，DF=FB，∴EF//AD，∵AF//DC，∴四边形AFCD为平行四边形；（2）解：∵∠EFB=90°，∴∠CFB=180°−90°=90°，在Rt△EFB中，tan∠FEB=FBFE∴FB=3，∵E是AB的中点，DF=FB，∴AD=2EF=2，∵四边形AFCD为平行四边形，∴CF=AD=2，∴在Rt△CFB中，由勾股定理得CB=C【解析】【分析】（1）由三角形的中位线定理得EF∥AD，然后根据两组对边分别平行得四边形是平行四边形可得结论；

（2）在Rt△EFB中，由∠FEB的正切函数及EF的长可求出FB的长，由三角形的中位线定理可求出AD=2EF=2，由平行四边形的对边相等可得CF=AD=2，最后在Rt△BCF中，利用勾股定理可算出BC的长.21．【答案】解：设技术改进后该汽车的A类物质排放量为xmg/km，则B类物质排放量为由题意得：x1−50解得：x=34，∵34<35，∴这次技术改进后该汽车的A类物质排放量是符合“标准”.【解析】【分析】设技术改进后该汽车的A类物质排放量为xmg/km，则B类物质排放量为(40-x)mg/km，改进前该汽车的A类物质排放量为x1-50%mg/km，B类物质排放量为40-x22．【答案】（1）解：由题意得将（2，1）代入y=−kx+3得：−2k+3=1，解得：k=1，将k=1，（2，1），代入函数y=kx+b(k≠0)中，得：2k+b=1k=1解得：k=1b=−1∴k=1，b=−1；（2）解：m的取值范围为m≥1.【解析】【解答】解：（2）解：∵k=1，b=−1，∴两个一次函数的解析式分别为y=x−1，y=−x+3，当x>2时，对于x的每一个值，函数y=mx(m≠0)的值既大于函数y=x−1的值，也大于函数y=−x+3的值，即当x>2时，对于x的每一个值，直线y=mx(m≠0)的图象在直线y=x−1和直线y=−x+3的上方，则画出图象为：由图象得：当直线y=mx(m≠0)与直线y=x−1平行时符合题意或者当y=mx(m≠0)与x轴的夹角大于直线y=mx(m≠0)与直线y=x−1平行时的夹角也符合题意，∴当直线y=mx(m≠0)与直线y=x−1平行时，m=1，∴当x>2时，对于x的每一个值，直线y=mx(m≠0)的图象在直线y=x−1和直线y=−x+3的上方时，m≥1，∴m的取值范围为m≥1.【分析】（1）将点(2，1)代入y=-kx+3可得-2k+3=1，解得k=1，再将k=1与(2，1)代入y=kx+b，可求出b的值；

（2）由（1）中所求的k、b的值可求出两个一次函数的解析式为y=x-1与y=-x+3，由题意可得当x＞2时，对于x的每一个值，直线y=mx的图象在直线y=x-1和直线y=-x+3的上方，画出草图，由图象可得直线y=mx与y=x-1平行及直线y=mx与x轴的夹角大于直线y=x-1与x轴的夹角两种情况都符合题意，进而根据两直线平行则比例系数k一样可得m=1，再根据直线与x轴夹角越大其比例系数k的绝对值越大可得m＞1，综上即可得出答案.23．【答案】（1）91；4；<（2）甲；92【解析】【解答】解：（1）①从10名教师评委的打分可以发现出现次数最多的是91分，出现了四次，

∴教师评委打分的众数m=91；

根据直方图，学生评委45为同学的打分从低到高排列后，排23位的成绩在第4组，

故答案为：91；4；

②去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为x=1888+90+91+91+91+91+92+92=90.75＜91

故答案为：＜；

（2）甲选手的平均数为15×(93+90+92+93+92)=92，

甲选手的方差S2甲=15×[2×(92-92)2+2×(93-92)2+（90-92）2]=1，

乙选手的平均数为15×(91+92+92+92+92)=91.8，

乙选手的方差S2乙=15×[4×(92-91.8)2+(91-91.8)2]=0.16，

∵甲选手的平均分高于乙选手的平均分，

∴甲的排序在乙的前面，

∵丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，

∴丙选手的平均数大于或等于乙选手的平均数，小于或等于甲选手的平均数，

∵5名专业评委给丙选手的打分为90，94，90，94，k

∴93+90+92+93+92≥90+94+90+94+k≥91+92+92+92+92，

即92≥k≥91，

∵k为整数，

∴k=92或91，

当k=92时，

丙选手的平均数为15×(90+94+90+94+92)=92，

丙选手的方差为S2丙=15×[2×(90-92)2+2×(94-92)2+（92-92）2]=3.2，

甲选手的平均分等于丙选手的平均分，丙选手的平均分大于乙选手的平均分，且丙选手的方差大于甲选手的方差，则丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，这三位选手排序最靠前的是甲，符合题意；

当k=91时丙选手的平均数为15×(90+94+90+94+91)=91.8，

丙选手的方差为S2丙=15×[2×(90-91.8)2+2×(94-91.8)224．【答案】（1）证明：∵OD平分∠AOC，∴∠AOC=2∠AOD，

又∵∠AOC=2∠B，∴∠B=∠AOD，∴OD//BC；（2）解：∵OFBF=不妨设OF=5x，BF=6x，则OB=OF+BF=11x=OC=OE，∴OP=OE+PE=11x+1，∵OD//BC，∴△OFE∽△BFC，∠OBM=∠POB，∴OE∴11x解得BC=66x取BC的中点M，连接OM，

∴BM=33x∴cos∴cos∵PB是⊙O的切线，∴OB⊥PB，∴cos解得x=32

故⊙O半径的长为3【解析】【分析】（1）由角平分线定义得∠AOC=2∠AOD，由圆周角定理得∠AOC=2∠B，则∠B=∠AOD，由同位角相等，两直线平行，得OD∥BC；

（2）由题意设OF=5x，BF=6x，则OB=OF+BF=11x=OC=OE，OP=11x+1，由平行于三角形一边的直线截其它两边，所截三角形与原三角形相似得△OFE∽△BFC，由相似三角形对应边成比例建立方程可得BC=66x25．【答案】（1）解：由题意得，设V与h1的函数关系式为：V=kh由表格数据得：100=2.解得：k=40，∴V=40h∴当V=40时，40h∴h1=1V/mL040100200300400500h101.02.55.07.510.012.5h202.84.87.28.910.511.8（2）解：根据表格所给出的数据，利用描点法画出函数v关于h1的函数图象及v关于h2的函数图象如下：（3）1.2；8.5【解析】【解答】解：（3）①将v=320代入v=40h1，

得40h1=320，

解得h1=8；

由图象可得当v=320时，h2≈9.2cm，

∴当1号杯和2号杯中都有320mL水时，2号杯的水面高度与1号杯的水面高度的差约为9.2-8=1.2cm；

故答案为：1.2；

②从图象可得，当两个水杯中水面高度相同时，其水面高度约为8.5cm.

故答案为：8.5.

【分析】（1）根据表格给出的数据可得v与h1成正比例函数关系，从而利用待定系数法求出v关于h1的解析式，进而将v=40代入计算可求出对应的h1得值，据此补全表格即可；

（2）根据表格所给出的数据，将v的值作为点的横坐标，对应的h1的值作为点的纵坐标，在坐标平行内分别描出各点，再连线，即可得到v关于h1的函数图象，同理可得v关于h2的函数图象；

（3）①将v=320代入v=40h1，算出对应的h1的值，再通过图象读出当v=320时，对应的h2的值，再求差即可；

②通过图象在v=320的左右两侧分别找出h1=h2的值即可.26．【答案】（1）解：把a=1代入y=ax2−2a∴抛物线的顶点坐标为(1,（2）解：由题意得y1=a×(3a)2-2a2×3a=3a3，

y2=ax22-2a2x2，

∵y1＜y2，

∴y2-y1=ax22-2a2x2-3a3=a(x22-2ax2-3a2)=a(x2-3a)(x2+a)＞0，

分两种情况：①当a>0时，(x2-3a)(x2+a)＞0，

∴x2-3a＞0解得x2＞3a或x2＜-a，

又∵3≤x2≤4，

∴3a＜3或-a＞4，

∴a＜1或a＜-4又∵a>0，∴0<a<1；

当a<0时，(x2-3a)(x2+a)＜0，

∴x2-3a＞0解得3a＜x2＜-a，

又∵3≤x2≤4，

∴3a＜3且-a＞4，

解得a＜-4

综上，当0<a<1或a＜-4，都有y1＜y2.【解析】【分析】（1）经a=1代入y=ax2+2a2x得出抛物线的解析式，再将解析式配成顶点式可得顶点坐标；

（2）根据抛物线上点的坐标特点表示出y1与y2，利用作差法建立出x2与a的不等式组，由于a的值不确定，故需要分类讨论，最后再根据取值范围进行取舍即可.27．【答案】（1）证明：连接CD，由题意得：BC=BD，∴∠BDC=∠BCD，∵∠BDC+∠BCD+∠CBD=180°，∠CBD=180°−2α∴∠BDC=180°−(180°−2α)∴∠BDC=∠A，∴CA=CD，∵DN⊥AN，∴∠1+∠A=∠2+∠BDC=90°，∴∠1=∠2，∴CD=CE，∴CA=CE，∴点C是AE的中点；（2）解：EF=2AC，证明如下：在射线AM上取点H，使得BH=BA，取EF的中点G，连接DG，∵BH=BA，∴∠BAH=∠BHA=α，∴∠ABH=180°−2α=∠CBD，∴∠ABC=∠HBD，又∵BC=BD，∴△ABC≌△HBD，∴AC=DH，∠BHD=∠A=α，∴∠FHD=∠BHA+∠BHD=2α，∵DF//AN，∴∠EFD=∠A=α，∠EDF=∠3=90°，∵G是AE的中点，∴GF=GD，EF=2GD，∴∠GFD=∠GDF=α，∴∠HGD=2α，∴∠HGD=∠FHD，∴DG=DH，∵AC=DH，∴DG=AC，∴EF=2AC.【解析】【分析】（1）连接CD，由等边对等角及三角形的内角和定理可求出∠BDC=α，则∠A=∠BDC，由等角对等边得CA=CD，由等角得余角相等可推出∠1=∠2，再由等角对等边得CD=CE，则CA=CE，据此可得结论；

（2）EF=2AC，证明如下：在射线AM上取点H，使得BH=BA，取E