2022-2023学年上海市民办民远某中学高二（上）期中数学试卷（附答案详解）

2022-2023学年上海市民办民远高级中学高二（上）期中数学试

卷

1.直线/和平面a相交于点A,用符号表示为.

2.两条或的直线可以确定一个平面.

3.己知/,用是两条直线,a是平面，若要得到“〃/a”，则需要在条件“mua,〃/m”中

另外添加的一个条件是.

4.在长方体力BCD-&B1C1D1的棱所在直线中，与直线4B异面的条数为.

5.一个正四面体的棱长为1,则它的表面积是.

6.一个正四棱柱ABCD-4再传1久的底面边长为4cm,对角线&C=y/68cm,则它的体积为

cm3.

7.若一个球的表面积是4万，则它的体积是.

8.已知斜线段的长度是斜线段在这个平面内射影的长的四倍，则这条斜线和这个平面所成

的角的大小为.

9.在正方体ABCO-4/165，二面角力一BD一4的大小为“「

10.如图是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中，下列说法中，正确的序号是.

①直线AD与直线OE相交;

②直线C”与直线。E平行;

③直线8G与直线OE是异面直线;

④直线CH与直线8G成60。角.

11.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A/iCiDi中，点P在

截面4OB上，则线段AP的最小值等于.

12.异面直线a、b成80。角，点P是〃、6外的一个定点，若过户点有且仅有2条直线与a、b

所成的角相等且等于。，贝帕的范围为.

13.“两条直线没有公共点”是“两条直线为异面直线”的条件.（）

A.充分非必要B.必要非充分C.充分必要D.非充分非必要

14.垂直于同一条直线的两条直线一定（）

A.平行B.相交C.异面D.以上都有可能

15.若小匕表示两条直线，a表示平面，下列命题中的真命题为（）

A.若a_La,alb,贝！|b〃aB.若a〃a,alb,则b1a

C.若aJLa,baa,则a1bD.若。〃。，b//a,则a//b

16.如图，己知正方体4BC0-A/iCiDi，M,N分别是&C,的

中点，贝l」（）

A.直线41。与直线垂直，直线MN〃平面ABCD

B.直线&D与直线D/平行，直线MN，平面BD2B1

C.直线与直线相交，直线MN〃平面A8CZ）

D.直线与直线异面，直线MN1平面BDaB1

17.如图，在正方体4BCD-AiBiGO中，

（1）求异面直线4记与0c所成的角的大小;

（2）求证:D1B1AC.

18.已知圆锥的底面半径为3,沿该圆锥的母线把侧面展开后可得到圆心角为兀的扇形.

(1)求该圆锥的高；

(2)求圆锥的母线与底面所成角的大小.

19.阿基米德是伟大的古希腊数学家，他和高斯、牛顿并称为世界三大数学家.他的一个重要

数学成就是“圆柱容球”定理：即在带盖子的圆柱形容器(容器的厚度忽略不计)里放一个球,

该球与圆柱形容器的两个底面和侧面都相切，则球的体积是圆柱形容器的容积的|,并且球的

表面积也是圆柱形容器的表面积的|.求该圆柱形容器的容积与它的外接球的体积之比.

20.如图，P41矩形A8CQ所在的平面，M,N分别是AB,PC的中点.

(1)求证：MN〃平面PAD；

(2)若尸。与平面ABC。所成的角为a,当a为多少度时，MN1平面PCD?

21.用一块钢锭浇铸一个厚度均匀，且全面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器(如图)，设容

器的高为人米，盖子边长为“米.

(1)求。关于〃的函数解析式；

(2)设容器的容积为丫立方米，则当人为何值时，M最大？求出丫的最大值.(求解本题时,

不计容器的厚度)

答案和解析

1.【答案】，na=4

【解析】解：直线/和平面a相交于点A,用符号表示为Ina=4

故答案为：lC\a=A.

直接把文字语言表示为符号语言得答案.

本题考查空间中直线与平面的位置关系的表示法，是基础题.

2.【答案】相交

平行

【解析】解：根据平面公理的推理，得：

经过两条相交直线，有且只有一个平面，

经过两条平行直线，有且只有一个平面，

所以，两条相交或平行的直线可以确定一个平面.

故答案为：相交、平行.

根据平面公理的推理，得出经过两条相交直线，或经过两条平行直线，有且只有一个平面.

本题考查了平面公理的推论与应用问题，是基础题目.

3.【答案】Ita

【解析】解：,.」，山是两条直线，a是平面，me.a,l//m,

Iua或〃/a.

••・若要得到/〃a”，

则需要在条件“mua,l//mv中另外添加的一个条件是1a.

故答案为：/Ca.

则/,机是两条直线，a是平面，mca,l//m,得至”ua或〃/a.由此能求出结果.

本题考查线面平行的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求

解能力，是基础题.

4【答案】4

【解析】解:由图形结合正方体的性质，与直线AB异面的直线有42,BiG，

CC1，DD14条;

故答案为:4.

根据正方体的性质以及异面直线的定义，分析正方体中各棱的位置关系.得到答案.

本题考查了正方体中异面直线的判断；关键是空间想象能力的考查.

5.【答案】V3

【解析】解：由题意，正四面体的四个面均为正三角形边长为1,

每个面的面积为S=11x1x年=今

224

则它的表面积为4xf=6.

故答案为：V3

根据正四面体的性质，正四面体的四个面均为正三角形，计算每个面的面积求和即可.

本题考查了三棱锥表面积的计算问题，属于基础题.

6.【答案】144

【解析】解：如图，正四棱柱4BCD-4当的久的底面边长为4aw,

则AC=4A/2,对角线4C=V68,则GC=V68-32=6,

故正四棱柱ABCD-AiBiGA的体积为4x4X6=144(cm3),

故答案为：144.

求出正四棱柱的高，根据体积公式即可求得答案.

本题考查空间几何体的体积的求法，属基础题.

7.【答案】^兀

【解析】解：设球的半径为R,

•・•球的表面积是4兀，・•・4TT/?2=4/r,

解得R=1,

•••球的体积V=^71XI3=^71.

故答案为：gzr.

由球的表面积是4兀，求出球半径为1,由此能求出球的体积.

本题考查球的体积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意球的表面积、体积的计算公式的

合理运用.

8.【答案】J

【解析】解：设斜线和平面所成角为a(O〈a<》则cosa=*=亭:.a弋

故答案为：a

由cosa=容可直接得到结果.

本题考查了线面角的计算，属于基础题.

9.【答案】arctanV2

【解析】解：连接AC,ACCiBD=0,连接40,贝吐为。4为

二面角4-BD-Ai的平面角

设正方体力BCD-4/iGDi的棱长为a,

A0—a>

•••tan/4104=r=-=V2；

Ta

所以乙41。4=arctanV2.

故答案为：arctan>/2.

连接AC,ACnBD=0,连接为。，贝吐4。4为二面角力一8。一4的平面角;

本题考查面面角与线面角，解题的关键是确定线面角与面面角，属于基础题.

10.【答案】③④

【解析】解：如图所示，原正方体为:

在这个正方体中：

①直线AF与直线。E异面直线，因此不正确;

②直线C/7与直线异面直线，因此不正确；

③直线BG与直线DE是异面直线，因此正确；

④连接BE,EG,贝ABEG为等边三角形，:BE与BG成60°角，因此CH与BG成60。角，

因此正确；

以上四个命题中，正确的是③④.

故答案为：③④.

将正方体的展开图还原为正方体后，即可得到所求正确结论.

本题考查了正方体的性质、空间角、空间线面位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档

题.

11.【答案】y

【解析】解：如图，连接AC】交截面42B于P,由CCi_L底面，可得CCi1

BD,

又4c1BD,可得BO1平面4CG，则AG1BD.

同理可得4G14$,得到4cli平面&DB,此时线段AP最小.

由棱长为1，可得等边三角形为DB的边长为鱼.

S

A41DB=2*V2X­=—,VVA1ADB=匕-ADS，

A|x|xlxlxl=|x^x/lP,解得AP=4.

故答案为：y

由己知可得4cl，平面&DB,可得「为AC1与截面4DB的垂足时线段AP最小，然后利用等积法

求解.

本题考查点、线、面间的距离的求法，利用「等积法求距离，是中档题.

12.【答案】（40°,50°）

【解析】解：先将异面直线a,〃平移到点P,贝ij4BPE=80°,乙EPD=C、：D

1。。。,

而NBPE的角平分线与a和b的所成角为40。，D

NEPC的角平分线与a和6的所成角为50。，'

当。满足40。＜0＜50。时，直线与“，人所成的角相等且等于。有且只有2条，

当0=40。时只有1条，当。＜40。时不存在，当0=50。时有3条，当50。＜。＜90。时有4条，

当。=90。时有1条.

故答案为：（40。,50。）.

先将异面直线m6平移到点P,求出NBPE的角平分线和4EP。的角平分线与。和6的所成角，再

由运动思想分析得答案.

本题主要考查异面直线所成的角的求法，考查空间想象能力和推理论证能力，考查化归与转化、

数形结合思想，是中档题.

13.【答案】B

【解析】解：①若两条直线没有公共点，则两条直线为异面直线或平行直线,

②若两条直线为异面直线，则两条直线没有公共点，

故选：B.

利用空间直线的位置关系，再结合充分必要条件的定义判断即可.

本题考查了空间直线的位置关系，充分必要条件的判断，属于基础题.

14.【答案】D

【解析】解：分两种情况：①在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行;

②在空间内垂直于同一条直线的两条直线可以平行、相交或异面.

故选：D.

根据在同一平面内两直线平行或相交，在空间内两直线平行、相交或异面判断.

本题主要考查在空间内两条直线的位置关系.

15.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查的是线面平行的判定与性质，考查学生分析解决问题的能力，掌握线面平行的判定与性

质是关键.

对4个选项分别进行判断，即可得出结论.

【解答】

解：选项A中，由ala,al.b,则b〃a或力在平面a内，故该命题为假命题；

选项B中，由。〃戊，alb,则bJLa或b〃a或b在平面a内，故该命题为假命题；

选项C中，由线面垂直的判定定理可知，该命题为真命题；

选项。中，由0/a,b〃a可得到a,b相交或平行或异面，故该命题是假命题，

故选：C.

16.【答案】A

【解析】解：连接4名，如图：

由正方体可知41。■!_ArD1AB,；•力1。1平面,

■.A^DLD^B,由题意知MN为△DiHB的中位线，MN〃AB,

XvABu平面ABCD,MN，平面ABCD,:.MN//平面4BCD.二4又寸；

由正方体可知与平面BO%相交于点。，QBu平面BCD1，D氏D、B,

•••直线与直线D]B是异面直线，二B、C错;

vMN//AB,AB不与平面垂直，二MN不与平面8。。1勺垂直，0错.

故选：A.

通过证明直线40，平面AB。1，MN是△ABD1的中位线，可判断A；根据异面直线的判断可知&0

与直线。1B是异面直线，可判断8；根据异面直线的判断可知直线与直线是异面直线，可

判断C;由例N〃4B,可知MN不与平面BDDiBi垂直，可判断D.

本题考查了线面平行的判定定理和线面垂直的判定定理与性质，考查了逻辑推理核心素养，属于

中档题.

17.【答案】解：（1）在正方体4BCD-4B1C1D中，

如图所示：

由于4B〃CD,

所以异面直线与。。所成的角，即为异面直线为B与AB所成的角，

故乙4B4=45°.

证明：（2）连接3。，

由于801AC,DDi1平面ABCD,

所以皿1AC,

所以4cJ_平面。

故。iBA.AC.

【解析】（1）直接利用正方体的性质求出异面直线的夹角；

（2）利用正方体的性质和线面的垂直转换为直线的垂直.

本题考查的知识要点：异面直线的夹角，线面垂直的判定和性质，主要考查学生的运算能力和数

学思维能力，属于基础题.

18.【答案】解：（1）因为底面半径r=3,所以底面周长/=2nr=6TT,及侧面展开图的弧长为2=2nr,

因为侧面展开图的圆心角a=兀，所以侧面展开图的半径R='=6,及母线长为R=6,

a

根据勾股定理可知圆锥的高九=V/?2-r2=3V3；

（2）圆锥与底面所成角记作。G（0得），则cos。=所以。=*

LKZJ

【解析】（1）先利用底面周长为侧面展开图的弧长，求出母线长，然后利用勾股定理求解即可；（2）

求母线与底面夹角的余弦值，计算出其夹角即可.

本题考查了圆锥的高和线面角的计算，属于中档题.

19.【答案】解：设圆柱形容器里的球的半径为r,

则圆柱形容器的底面半径为r,圆柱形容器的高五=2r,

则圆柱形容器的外接球的半径R=J（y）2+r2=V2r,

则圆柱形容器的容积为匕=nr2-2r=2nr3,它的外接球的体积为%=［兀（鱼^>=竽TTN,

则该圆柱形容器的容积与它的外接球的体积之比为3=黑=衅.

【解析】先阅读题意，然后结合空间几何体的体积的求法求解即可.

本题考查了空间几何体的体积的求法，属基础题.

20.【答案】解：(1)证明：取的中点E,连接NE、AE,如图:

1

又「N是PC的中点，NE〃DC,NE=^DC,

11

又•：DC“AB,AM=^AB,.-.AM=^CD,.-.NE=AM,

四边形AMNE是平行四边形，

"AEu平面PAD,MN仁平面PAD,MN〃平面PAD.

(2)•••PA11平面ABCD,

^PDA即为尸。与平面ABCD所成的角a,

若MNJL平面PCD,

■：MN//AE,

AE_L平面PCD,

PDciFffi