人教版A版（2019）高中数学必修第一册：第四章综合测试（附答案与解析）

第四章综合测试

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的）

1.已知集合M={x|W<3},A^={x|log3x<l},则McN等于（）

A.0B.{x|0<x<3}

C.{X|JC<3}D.{x|-3<x<3}

2.下列四个函数中，在整个定义域内单调递减的是（）

A./'(%)=©B./(%)=-log〕x

2

c./(x)=logjxD./(x)=x3

2

xax

3.函数y=（0<a<l）的大致图像是（)

ABCD

4.若a=k>gi664,0=lg0.2,c=2L2,则a,。，c的大小关系是()

A.c<b<aB.b<a<cC.a<b<cD.b<c<a

5.设不为1的实数a,b,c满足。>b>c>0,则()

A.log,力>log”bB.log”b>logac

C.ba>bcD.ab>cb

6.若嘉函数/（x）的图象过点（3,百），则/（x）+2—%=0的解为（）

A.1B.2C.3D.4

7.已知函数/(X)=('则/(l+log23)的值为()

/(x+l),x<3,

A.3B.6C.12D.24

8.已知々>0,。>0,且awl力wl,若logq0>l,贝U()

A.(a-l)(/?-l)<0B.(a-l)(a-Z?)>0

C.(b—1)S—a)VOD.(b-r)(b-a)>Q

9・已,知…f(2”-a)x-+3,x<l

是R上单调递增函数，那么a的取值范围是(

A.(1,2)D.(l,+oo)

4x,x^-

2

10.若函数/(幻=1082(如：-1)在(-3,-2)上为减函数，且函数g(x)=<在R上有最大值，则a的

log|fl|x,x>-

取值范围为()

11.某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此

基础上，每年投入的研发资金比上一年增加12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份

是(参考数据：lg1.12~0.05,1g1.3«0.11,1g2~0.30)()

A.2018年B.2019年C.2020年D.2021年

12.函数丁=/(尤)的定义域为。，如果满足：①y=/(x)在。内是连续单调函数，②存在团,切=£),使

y=f(x)在"上的值域为,那么就称为y=f(x)为“半保值函数”.若函数/(x)=log/a»2)

(«>0,且awl)是“半保值函数”，则/的取值范围为()

A/O3B.C。[[C%)D,1吴)

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中的横线上)

13.已知集合M={y|y=l-21,集合N={y|y=lg(/+项，则McN=.

14.设2*=8v+1,9y=3、-9,则x+y=.

15.设2。=5"=机，且上电=2,贝U〃z=.

ab

16.已知对数函数/(%)的图象过点(4,-2),则不等式/(x-1)-/(x+l)>3的解集为.

三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答时写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)

-yrjr

17.［10分］已知KxW4,求函数/(x)=log2log?］的最大值与最小值.

18.［12分］已知函数/。)=2工一41

(1)求y=/(x)在［一1,1］上的值域；

(2)解不等式/(无)>16-9x2”；

(3)若关于x的方程/(X)+m-1=0在上有解，求加的取值范围.

19.［12分］已知幕函数/(x)=x〃+刈(meN*).

(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；

(2)若该函数图象还经过点(2,a)，试确定相的值，并求满足条件“2-a)>/(a-1)的实数a的取值范围.

,,3

20.［12分］已知函数/(x)=ex-l,g(x)=—+l.

(1)求函数g(尤)的值域；

(2)求满足方程“x)-g(x)=0的二的值.

21.[12分]已知函数/(彳)=史上二，其中a为常数.

21'+1

(1)判断函数/(%)的单调性并证明；

(2)当a=l时，对于任意xe[-2,2],不等式加+6)+/(_2〃叱)>0恒成立，求实数机的取值范围.

l,x>0,

22.[12分]已知g(x)=|o,x=O,f(x)=a园其中a>0且awl,

。同2

—1,x<0,

(1)求实数a的值；

(2)解不等式

(3)若/⑵)+时⑺+4部对任意的正实数/恒成立，求实数机的取值范围.

第四章综合测试

答案解析

1.【答案】B

2.【答案】C

3.【答案】D

4.【答案】B

5.【答案】D

6.【答案】D

7.【答案】C

8.【答案】D

9.【答案】C

10.【答案】A

【解析】Q/(x)=log2(依—1)在(-3,-2)上为减函数,

a<0且ax-1>0在(-3,-2)上恒成立，:.-2a一120,

2

又g(x)在R上有最大值，且g(x)在上单调递增,

0<|«|<1,6

在上单调递减，且同

g(x)logg”42=2,|2解得。<向《年,

5》问,2

.•泻Waco或Ma4.

61

综上所述，WaW-二故选A.

22

11.【答案】B

【解析】设2015年后的第〃年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元.由130(1+12%)”>200,得

20

13

32-炮1.3七0.30-0.11

两边取对数并整理，得“〉=3.8,

lgl.120.05

"24，二从2019年开始该公司全年投入的研发资金开始超过200万元.

12.【答案】B

【解析】函数/(%)=1。8〃(虐+»)(。>0且。*1是“半保值函数”，且定义域为R,当。>1时，z=ax+t2

在R上递增，了=1。8/在(0,+8)上递增，可得/(X)为R上的增函数；当0<a<l时，仍为R上的增

函数.

/(%)在其定义域R内为增函数.

Q函数/(x)=log/a*+»)(40且"1)是"半保值函数”，

y=log.("+产)与y=的图象有两个不同的交点，

.,.loga(a*+』)=gx有两个不同的根，

]_x1

/W0,优+产=[2+.2=0

1

令U=E,U>0,则〃2一〃+»=0有两个不同的正数根，

.•,l-4r2>0,且产>0,解得故选B.

—•,、

13.【答案】[0,1)

14.【答案】27

15.【答案】屈

【解析】因为2"=5"=加，则。=log2祖力=log5«i,

利用换底公式可得。=型生，b=皿.

1g21g5

因为0±2=2,即,+1=2,

abba

所以昱+姮=_L=2,所以根=加.

IgmIgmIgm

16.【答案】“，3

【解析】设/(x)=log”X(a>o且aN1).将点(4,—2)的坐标代入得loga4=—2,故a=L则f(x)=log；x.

22

故原不等式可化为logi(x-l)—logi(x+l)>3,

22

x-l>0,

Y-1|x+l>0,解得故原不等式的解集为(1,9

即喝工1>地审所以7

O<-<1,1

X+18

三、

17.【答案】Q/(%)=log2；xlog23=(logzX_2Xk)gzX—l)=(log2X—m]-(，,1.OWlogzXWZ,

3—1

?.^logzx=—,即1=2^=2后时，/(%)取得最小值-屋当logzX=0，即x=l时，/(1)取得最大值

2.

函数/(X)的最大值是2,最小值是.

4

2

18.【答案】(1)设"2。Qxe[-l,l],：.tJ-,2],y=t-t^-(t-^]+L.•.当f=，时，/(x)111ax=L

2I2J42八,E4

当f=2时，/(x)*=-2./(x)的值域为-2,1

(2)设f=2,,由/(%)>16-9x2,,得一户>16-9t,BPt2-lOt+16<0,z.2<f<8,即2<2*<8,/.l<x<3,

不等式的解集为(1,3).

(3)方程有解等价于函数y=机与y=l-/(x)的图像在内有交点，令r=2lQxe-1,1],1,2

；.y=l—/(x)=l+4*—2*=*_.+1=卜_工]+-,其在时的值域为「2,31..•.相的取值范围为

I2；414」

i3.■

19.【答案】(1)Qm2+m=m(m+l),meN+,根与加+1中必有一个为偶数，，加之+根为偶数，.•.函

]

数f(x)=Xm2+m(根£N+)的定义域为[0,+co),并且该函数在其定义域上为增函数.

2]_]

(2)Q函数/(%)的图像经过点(2,后)，「.&=2/+阳，即2万=2m2+相，.•.m2+加=2,即加？+加一2=0,

...加=1或m=一2.又QMEN+,...加=1.

2-“20,

3

Q/(%)在[0,+oo)上是增函数，，由/(2-〃)>/(〃-1)得<a一1三0,解得1WQ<3.

2

2—〃>a—1,

故加的值为1,满足条件/(2-a)>/(a-1)的实数a的取值在相1,1

3(1、同

20.【答案】(1)g(%)=—+l=3l-J+1,

因为国20,所以小屋1,

所以0<2JW3,

则l(g(x)W4,故g(x)是值域是(1,4].

3

(2)由/⑴-g(x)=0,得e*-而-2=0,

当xWO时，方程无解；当x>0时，ex-4-2=0,整理得(ex)2—2ex—3=o,即卜工+1)(/-3)=0.

因为e*>0,所以e*=3,即尤=ln3.

21.【答案】(1)函数f(x)在R上是增函数.

a(2x+U22

证明：函数/(%)=-------——=a------,任取jq,xeR,且不,则

2X+12A,+12-

:.2X1-2-^<0,2为+1>0,

2超+1>0,二/(玉)—/(々)V0,;./(再)</(々)，.,.函数/'(x)在R上是增函数.

2X_12T_ii_

(2)由(1)知函数/(x)在定义域上是增函数,当a=1时，/⑶=-----，则/(-%)=------=-----=-/(%),

2+12一工+11+2工

函数〃x)是奇函数.

对于任意工£[-2,2],不等式/(/+根+6)+/(-2机炉C恒成立，等价于对于任意X£[-2,2],不等式

/(X2+m+6)>-/(-2mx)=/(2机人恒成立，即x2+m+6>2nvc在xe[-2,2]时恒成立，即

x2-2m而留在工£[—2,2]时恒成立，g(x)=x2-2mx+m+6,贝Ug(x)min>0即