宁夏石嘴山市平罗四中学2025届数学九上期末经典试题含解析

宁夏石嘴山市平罗四中学2025届数学九上期末经典试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题（每题4分，共48分）1．对于函数，下列说法错误的是（）A．这个函数的图象位于第一、第三象限B．这个函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形C．当x＞0时，y随x的增大而增大D．当x＜0时，y随x的增大而减小2．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的有几个（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个3．如图，点A、B、C在⊙O上，若∠BAC＝45°，OB＝2，则图中阴影部分的面积为（）A．π﹣2 B． C．π﹣4 D．4．⊙O的半径为5cm，弦AB//CD，且AB=8cm,CD=6cm,则AB与CD之间的距离为（）A．1cm B．7cm C．3cm或4cm D．1cm或7cm5．已知x1，x2是一元二次方程的两根，则x1＋x2的值是（）A．0 B．2 C．－2 D．46．已知，则为（）A． B． C． D．7．如图，为了测量池塘边A、B两地之间的距离，在线段AB的同侧取一点C，连结CA并延长至点D，连结CB并延长至点E，使得A、B分别是CD、CE的中点，若DE＝18m，则线段AB的长度是（）A．9m B．12m C．8m D．10m8．如图，已知矩形ABCD的顶点A，D分别落在x轴、y轴上，OD=2OA=6，AD：AB=3：1，则点C的坐标是（）A．（2，7） B．（3，7） C．（3，8） D．（4，8）9．已知二次函数，当自变量取时，其相应的函数值小于0，则下列结论正确的是（）A．取时的函数值小于0B．取时的函数值大于0C．取时的函数值等于0D．取时函数值与0的大小关系不确定10．如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠ABC=120°，对角线AC与BD相交于点O，以点O为圆心的圆与菱形ABCD的四边都相切，则图中阴影区域的面积为（）A． B． C． D．11．如图，太阳在房子的后方，那么你站在房子的正前方看到的影子为（）A．B．C．D．12．下列事件为必然事件的是（）A．打开电视机，正在播放新闻 B．任意画一个三角形，其内角和是C．买一张电影票，座位号是奇数号 D．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上二、填空题（每题4分，共24分）13．如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG＝2，GD＝1，DF＝5，那么的值等于________．14．圆的半径为1，AB是圆中的一条弦，AB=，则弦AB所对的圆周角的度数为____．15．如果关于x的一元二次方程x2+2ax+a+2=0有两个相等的实数根，那么实数a的值为．16．如图，一个长为4，宽为3的长方形木板斜靠在水平桌面上的一个小方块上，其长边与水平桌面成30°夹角，将长方形木板按逆时针方向做两次无滑动的翻滚，使其长边恰好落在水平桌面l上，则木板上点A滚动所经过的路径长为_____．17．有一个二次函数的图象,三位同学分别说了它的一些特点:甲:图象与轴只有一个交点；乙:图象的对称轴是直线丙:图象有最高点，请你写出一个满足上述全部特点的二次函数的解析式__________.18．如图，△ABC中，AB＞AC，D，E两点分别在边AC，AB上，且DE与BC不平行．请填上一个你认为合适的条件：_____，使△ADE∽△ABC．（不再添加其他的字母和线段；只填一个条件，多填不给分！）三、解答题（共78分）19．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作半圆O，交BC于点D，交AC于点E．（1）求证：BD＝CD．（2）若弧DE＝50°，求∠C的度数．（3）过点D作DF⊥AB于点F，若BC＝8，AF＝3BF，求弧BD的长．20．（8分）如图，在O中，弦BC垂直于半径OA，垂足为E，D是优弧BC上一点，连接BD，AD，OC，∠ADB=30°.(1)求∠AOC的度数.(2)若弦BC=8cm，求图中劣弧BC的长.21．（8分）如图，已知反比例函数y＝的图象与一次函数y＝x+b的图象交于点A(1，4)，点B(﹣4，n)．(1)求n和b的值；(2)求△OAB的面积；(3)直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量x的取值范围．22．（10分）某商场以每件42元的价格购进一种服装，由试销知，每天的销量t（件）与每件的销售价x（元）之间的函数关系为t=204-3x.（1）试写出每天销售这种服装的毛利润y（元）与每件售价x（元）之间的函数关系式（毛利润=销售价-进货价）；（2）每件销售价为多少元，才能使每天的毛利润最大？最大毛利润是多少？23．（10分）定义：如图1，点P为∠AOB平分线上一点，∠MPN的两边分别与射线OA，OB交于M，N两点，若∠MPN绕点P旋转时始终满足OM•ON＝OP2，则称∠MPN是∠AOB的“相关角”．（1）如图1，已知∠AOB＝60°，点P为∠AOB平分线上一点，∠MPN的两边分别与射线OA，OB交于M，N两点，且∠MPN＝150°．求证：∠MPN是∠AOB的“相关角”；（2）如图2，已知∠AOB＝α（0°α90°），OP＝3，若∠MPN是∠AOB的“相关角”，连结MN，用含α的式子分别表示∠MPN的度数和△MON的面积；（3）如图3，C是函数（x0）图象上的一个动点，过点C的直线CD分别交x轴和y轴于点A，B两点，且满足BC＝3CA，∠AOB的“相关角”为∠APB，请直接写出OP的长及相应点P的坐标．24．（10分）为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对A、B两地间的公路进行改建．如图，A、B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地需途径C地沿折线ACB行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶．已知BC=80千米，∠A=45°，∠B=30°．（1）开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走多少千米？（2）开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走多少千米？（结果精确到0.1千米）（参考数据：≈1.41，≈1.73）25．（12分）某校在向贫困地区捐书活动中全体师生积极捐书.为了解所捐书籍的种类，某同学对部分书籍进行了抽样调查，并根据调查数据绘制了如图所示不完整统计图.请根据统计图回答下面问题：（1）本次抽样调查的书籍有多少本？请通过计算补全条形统计图；（2）求出图中表示科普类书籍的扇形圆心角度数；（3）本次活动师生共捐书本，请估计有多少本文学类书籍？26．已知关于的一元二次方程：.(1)求证：对于任意实数，方程都有实数根；(2)当为何值时，方程的两个根互为相反数？请说明理由.

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、C【解析】试题分析：根据反比例函数的图像与性质，可由题意知k=4＞0，其图像在一三象限，且在每个象限y随x增大而减小，它的图像即是轴对称图形又是中心对称图形.故选C点睛：反比例函数的图像与性质：1、当k＞0时，图像在一、三象限，在每个象限内，y随x增大而减小；2、当k＜0时，图像在二、四象限，在每个象限内，y随x增大而增大.3、反比例函数的图像即是轴对称图形又是中心对称图形.2、D【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】解：第一个图形是轴对称图形，不是中心对称图形；第二个图形是轴对称图形，是中心对称图形；第三个图形是轴对称图形，不是中心对称图形；第四个图形不是轴对称图形，是中心对称图形；既是中心对称图形又是轴对称图形的有1个，故选：D．【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．3、A【分析】先证得三角形OBC是等腰直角三角形，通过解直角三角形求得BC和BC边上的高，然后根据S阴影=S扇形OBC-S△OBC即可求得．【详解】∵∠BAC＝45°，∴∠BOC＝90°，∴△OBC是等腰直角三角形，∵OB＝2，∴△OBC的BC边上的高为：，∴∴S阴影=S扇形OBC-S△OBC=，故选：A．【点睛】本题考查了扇形的面积公式：（n为圆心角的度数，R为圆的半径）．也考查了等腰直角三角形三边的关系和三角形的面积公式．4、D【分析】分AB、CD在圆心的同侧和异侧两种情况求得AB与CD的距离．构造直角三角形利用勾股定理求出即可.【详解】当弦AB和CD在圆心同侧时，如图①，过点O作OF⊥CD，垂足为F，交AB于点E，连接OA，OC，∵AB∥CD，∴OE⊥AB，∵AB=8cm，CD=6cm，∴AE=4cm，CF=3cm，∵OA=OC=5cm，∴EO=3cm，OF=4cm，∴EF=OF-OE=1cm；当弦AB和CD在圆心异侧时，如图②，过点O作OE⊥AB于点E，反向延长OE交AD于点F，连接OA，OC，∵AB∥CD，∴OF⊥CD，∵AB=8cm，CD=6cm，∴AE=4cm，CF=3cm，∵OA=OC=5cm，∴EO=3cm，OF=4cm，∴EF=OF+OE=7cm．故选D．【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理；熟练掌握垂径定理和勾股定理，根据题意画出图形是解题的关键，要注意有两种情况．5、B【解析】∵x1，x1是一元二次方程的两根，∴x1+x1=1．故选B．6、D【分析】由题意先根据已知条件得出a＝b，再代入要求的式子进行计算即可得出答案．【详解】解：∵，∴a＝b，∴＝＝．故选：D．【点睛】本题考查比例的性质和代数式求值，熟练掌握比例的性质是解题的关键．7、A【分析】根据三角形的中位线定理解答即可．【详解】解：∵A、B分别是CD、CE的中点，DE＝18m，∴AB＝DE＝9m，故选：A．【点睛】本题考查了三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半．8、A【解析】过C作CE⊥y轴于E，∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB，∠ADC=90°，∴∠ADO+∠CDE=∠CDE+∠DCE=90°，∴∠DCE=∠ADO，∴△CDE∽△ADO，∴，∵OD=2OA=6，AD：AB=3：1，∴OA=3，CD：AD=，∴CE=OD=2，DE=OA=1，∴OE=7，∴C（2，7），故选A．9、B【分析】画出函数图象，利用图象法解决问题即可；【详解】由题意，函数的图象为：∵抛物线的对称轴x=，设抛物线与x轴交于点A、B，∴AB＜1，∵x取m时，其相应的函数值小于0，∴观察图象可知，x=m-1在点A的左侧，x=m-1时，y＞0，故选B．【点睛】本题考查二次函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是学会利用函数图象解决问题，体现了数形结合的思想．10、C【分析】如图，分别过O作OE⊥AB于E、OF⊥BC于F、OG⊥CD于G、OH⊥DA于H，则．分别求出上式中各量即可得到解答．【详解】如图，过O作OE⊥AB于E，由题意得：∠EOB=∠OAB=-∠ABO=-∠ABC=-=，AB=4∴OB=2，OA=2，OE=,BE=1，∠HOE=-=∴BD=2OB=4,AC=2OA=4，∴∴．故选C．【点睛】本题考查圆的综合应用，在审清题意的基础上把图形分割成几块计算后再综合是解题关键．11、C【解析】根据平行投影的性质可知烟囱的影子应该在右下方，房子左边对应的突起应该在影子的左边．12、B【分析】必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件.【详解】∵A，C，D选项为不确定事件，即随机事件，故不符合题意．∴一定发生的事件只有B，任意画一个三角形，其内角和是，是必然事件，符合题意．故选B．【点睛】本题考查的是对必然事件的概念的理解.解决此类问题，要学会关注身边的事物，并用数学的思想和方法去分析、看待、解决问题，提高自身的数学素养.用到的知识点为：必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件.二、填空题（每题4分，共24分）13、【详解】∵AB∥CD∥EF，∴，故答案为．14、60°或120°【解析】试题解析：如图，作OH⊥AB于H，连接OA、OB，∠C和∠C′为AB所对的圆周角，∵OH⊥AB，∴AH=BH=AB=，在Rt△OAH中，∵cos∠OAH=，∴∠OAH=30°，∴∠AOB=180°-60°=120°，∴∠C=∠AOB=60°，∴∠C′=180°-∠C=120°，即弦AB所对的圆周角为60°或120°．点睛：圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．15、﹣1或1【解析】试题分析：根据方程有两个相等的实数根列出关于a的方程，求出a的值即可．∵关于x的一元二次方程x1+1ax+a+1=0有两个相等的实数根，∴△=0，即4a1﹣4（a+1）=0，解得a=﹣1或1．考点：根的判别式．16、π【分析】木板转动两次的轨迹如图（见解析）：第一次转动是以点M为圆心，AM为半径，圆心角为60度；第二次转动是以点N为圆心，为半径，圆心角为90度，根据弧长公式即可求得.【详解】由题意，木板转动两次的轨迹如图：（1）第一次转动是以点M为圆心，AM为半径，圆心角为60度，即所以弧的长（2）第二次转动是以点N为圆心，为半径，圆心角为90度，即所以弧的长（其中半径）所以总长为故答案为.【点睛】本题考查了图形的翻转、弧长公式（弧长，其中是圆心角弧度数，为半径），理解图形翻转的轨迹是解题关键.17、（答案不唯一）【解析】利用二次函数的顶点式解决问题即可．【详解】由题意抛物线的顶点坐标为（3，0），设抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）1．∵开口向下，可取a=－1，∴抛物线的解析式为y=－（x﹣3）1．故答案为y=－（x﹣3）1（答案不唯一）．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．18、∠B=∠1或【解析】此题答案不唯一，注意此题的已知条件是：∠A=∠A，可以根据有两角对应相等的三角形相似或有两边对应成比例且夹角相等三角形相似，添加条件即可.【详解】此题答案不唯一，如∠B=∠1或．∵∠B=∠1，∠A=∠A，∴△ADE∽△ABC；∵，∠A=∠A，∴△ADE∽△ABC；故答案为∠B=∠1或【点睛】此题考查了相似三角形的判定：有两角对应相等的三角形相似；有两边对应成比例且夹角相等三角形相似，要注意正确找出两三角形的对应边、对应角，根据判定定理解题.三、解答题（共78分）19、（1）详见解析；（2）65°；（3）．【分析】（1）连接AD，利用圆周角定理推知AD⊥BD，然后由等腰三角形的性质证得结论；（2）根据已知条件得到∠EOD＝50°，结合圆周角定理求得∠DAC＝25°，所以根据三角形内角和定理求得∠ABD的度数，则∠C＝∠ABD，得解；（3）设半径OD＝x．则AB＝2x．由AF＝3BF可得AF＝AB＝x，BF＝AB＝x，根据射影定理知：BD2＝BF•AB，据此列出方程求得x的值，最后代入弧长公式求解．【详解】（1）证明：如图，连接AD．∵AB是圆O的直径，∴AD⊥BD．又∵AB＝AC，∴BD＝CD．（2）解：∵弧DE＝50°，∴∠EOD＝50°．∴∠DAE＝∠DOE＝25°．∵由（1）知，AD⊥BD，则∠ADB＝90°，∴∠ABD＝90°﹣25°＝65°．∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABD＝65°．（3）∵BC＝8，BD＝CD，∴BD＝1．设半径OD＝x．则AB＝2x．由AF＝3BF可得AF＝AB＝x，BF＝AB＝x，∵AD⊥BD，DF⊥AB，∴BD2＝BF•AB，即12＝x•2x．解得x＝1．∴OB＝OD＝BD＝1，∴△OBD是等边三角形，∴∠BOD＝60°．∴弧BD的长是：＝．【点睛】此题主要考查圆的综合，解题的关键是熟知圆周角定理、三角形内角和及射影定理的运用.20、（1）60°；（2）【分析】（1）先根据垂径定理得出BE=CE，，再根据圆周角定理即可得出∠AOC的度数；（2）连接OB，先根据勾股定理得出OE的长，由弦BC=8cm，可得半径的长，继而求劣弧的长；【详解】解：（1）连接OB，∵BC⊥OA，∴BE=CE，，又∵∠ADB=30°，∴∠AOC=∠AOB=2∠ADB，∴∠AOC=60°；（2）连接OB得，∠BOC=2∠AOC=120°，∵弦BC=8cm，OA⊥BC，∴CE=4cm，∴OC=cm，∴劣弧的长为：【点睛】本题主要考查了勾股定理，垂径定理，圆周角定理，掌握勾股定理，垂径定理，圆周角定理是解题的关键.21、（1）-1；（2）7.5；（3）x＞1或﹣4＜x＜0.【分析】（1）把A点坐标分别代入反比例函数与一次函数解析式，求出k和b的值，把B点坐标代入反比例函数解析式求出n的值即可；（2）设直线y＝x+3与y轴的交点为C，由S△AOB=S△AOC+S△BOC，根据A、B两点坐标及C点坐标，利用三角形面积公式即可得答案；（3）利用函数图像，根据A、B两点坐标即可得答案.【详解】（1）把A点（1，4）分别代入反比例函数y＝，一次函数y＝x+b，得k＝1×4，1+b＝4，解得k＝4，b＝3，∵点B（﹣4，n）也在反比例函数y＝的图象上，∴n＝＝﹣1；（2）如图，设直线y＝x+3与y轴的交点为C，∵当x＝0时，y＝3，∴C（0，3），∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝×3×1+×3×4＝7.5，（3）∵B（﹣4，﹣1），A（1，4），∴根据图象可知：当x＞1或﹣4＜x＜0时，一次函数值大于反比例函数值．【点睛】本题主要考查了待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式和反比例函数y＝中k的几何意义，这里体现了数形结合的思想．22、（1）y=-3x2+330x-8568；（2）每件销售价为55元时，能使每天毛利润最大，最大毛利润为507元.【分析】（1）根据毛利润＝销售价−进货价可得y关于x的函数解析式；（2）将（1）中函数关系式配方可得最值情况．【详解】（1）根据题意,y=(x-42)(204-3x)=-3x2+330x-8568；（2）y=-3x2+330x-8568=-3(x-55)2+507因为-3<0，所以x=55时，y有最大值为507.答：每件销售价为55元时，能使每天毛利润最大，最大毛利润为507元.【点睛】本题主要考查二次函数的应用，理解题意根据相等关系列出函数关系式，并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．23、（1）见解析；（2）；（3），P点坐标为或【分析】（1）由角平分线求出∠MOP＝∠NOP＝∠AOB＝30°，再证出∠OMP＝∠OPN，证明△MOP∽△PON，即可得出结论；（2）由∠MPN是∠AOB的“相关角”，判断出△MOP∽△PON，得出∠OMP＝∠OPN，即可得出∠MPN＝180°﹣α；过点M作MH⊥OB于H，由三角形的面积公式得出：S△MON＝ON•MH，即可得出结论；（3）设点C（a，b），则ab＝3，过点C作CH⊥OA于H；分两种情况：①当点B在y轴正半轴上时；当点A在x轴的负半轴上时，BC＝3CA不可能；当点A在x轴的正半轴上时；先求出，由平行线得出△ACH∽△ABO，得出比例式：，得出OB，OA，求出OA•OB，根据∠APB是∠AOB的“相关角”，得出OP，即可得出点P的坐标；②当点B在y轴的负半轴上时；同①的方法即可得出结论．【详解】（1）证明：∵∠AOB＝60°，P为∠AOB的平分线上一点，∴∠AOP＝∠BOP＝∠AOB＝30°，∵∠MOP+∠OMP+∠MPO＝180°，∴∠OMP+∠MPO＝150°，∵∠MPN＝150°，∴∠MPO+∠OPN＝150°，∴∠OMP＝∠OPN，∴△MOP∽△PON，∴，∴OP2＝OM•ON，∴∠MPN是∠AOB的“相关角”；（2）解：∵∠MPN是∠AOB的“相关角”，∴OM•ON＝OP2，∴，∵P为∠AOB的平分线上一点，∴∠MOP＝∠NOP＝α，∴△MOP∽△PON，∴∠OMP＝∠OPN，∴∠MPN＝∠OPN+∠OPM＝∠OMP+∠OPM＝180°﹣α，即∠MPN＝180°﹣α；过点M作MH⊥OB于H，如图2，则S△MON＝ON•MH＝ON•OMsinα＝OP2•sinα，∵OP＝3，∴S△MON＝sinα；（3）设点C（a，b），则ab＝4，过点C作CH⊥OA于H；分两种情况：①当点B在y轴正半轴上时；Ⅰ、当点A在x轴的负半轴上，如图3所示：BC＝3CA不可能，Ⅱ、当点A在x轴的正半轴上时，如图4所示：∵BC＝3CA，∴，∵CHOB，∴△ACH∽△ABO，∴，∴,∴OB＝4b，OA＝a，∴OA•OB＝a•4b＝ab＝，∵∠APB是∠AOB的“相关角”，∴OP2＝OA•OB，∴，∵∠AOB＝90°，OP平分∠AOB，∴点P的坐标为：；②当点B在y轴的负半轴上时，如图5所示：∵BC＝3CA，∴AB＝2CA，∴，∵CHOB，∴△ACH∽△ABO，∴，∴∴OB＝2b，OA＝a，∴OA•OB＝a•2b＝ab＝，∵∠APB是∠AOB的“相关角”，∴OP2＝OA•OB，∴，∵∠AOB＝90°，OP平分∠AOB，∴点P的坐标为：；综上所述：点P的坐标为：或．【点睛】本题考查反比例函数与几何综合，掌握数形结合和分类讨论的思想是解题的关键．24、（1）开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走136.4千米；（2）汽车从A地到B地比原来少走的路程为27.2千米【分析】（1）过点C作AB的垂线CD，垂足为D，在直角△ACD中，解直角三角形求出CD，进而解答即可；（2）在直角△C