2023年北京市西城区高考一模数学试卷含答案

西城区高三统一测试试卷

数学2023.3

本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷

上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目

要求的一项。

(1)已知集合4={-1,0,1,2,3},B={X|X2-3X<0},则AIB=

(A){-I}(B){1,2}

(C){1,2,31(D){-1,0,1,2)

(2)下列函数中，在区间（0,+8）上为增函数的是

(A)y=-\x\(B)y=x1-2x

1

(C)3^=sinx(D)y=x一—

x

(3)设。=lg2，Z?=cos2,c=202,则

(A)b<c<a(B)c<b<a

(C)b<a<c(D)a<b<c

7

(4)在（戈-士）5的展开式中，X的系数为

X

(A)40(B)10

(C)-40(D)-10

UL.IUU

(5)已知P为△ABC所在平面内一点,BC=2CP>则

mniuun3urnnuunimin9llLun

(A)AP=--AB+-AC(B)AP=-AB+-AC

2233

uun3uuniuimmm2mli1uun

(C)”=二48-±4。(D)AP=-AB+-AC

2233

(6)函数/(x)=sin2x-tanx是

(A)奇函数，且最小值为0(B)奇函数，且最大值为2

(C)偶函数，且最小值为0(D)偶函数，且最大值为2

(7)已知双曲线C的中心在原点，以坐标轴为对称轴.则“C的离心率为2”是“C的

一条渐近线为y=的

(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件

(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件

(8)在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v(km/s)和燃料的质量M(kg)以及

火箭(除燃料外)的质量N(kg)间的关系为v=21n(l+竺).若火箭的最大速度为

N

12km/s,则下列各数中与空最接近的是

N

(参考数据：e=2.71828L)

(A)200(B)400

(C)600(D)800

x-c,x0,,,

(9)设cwR,函数/(x)=(若/'(x)恰有一个零点，则c的取值范围是

2”-2c,x<0.

(A)(0,1)(B){0}U[l,+oo)

(C)(o，!)(D){0}U[i,+oo)

2

(10)w名学生参加某次测试，测试由机道题组成.若一道题至少有2"名学生未解出来,

3

则称此题为难题；若一名学生至少解出了2机道题，则该生本次测试成绩合格.如

3

果这次测试至少有2〃名学生成绩合格，且测试中至少有2%道题为难题，那么机〃

33

的最小值为

(A)6(B)9

(C)18(D)27

第二部分(非选择题共110分)

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

(11)若复数2=二,则|z|=一.

1+1

(12)已知抛物线y2=2px(p>0)的顶点为O，且过点A,8.若△OA8是边长为4代的等边

三角形，则/?=

(13)已知数列｛a„］的通项公式为«„=2"T,｛b„｝的通项公式为包=1-2〃.记数列｛4,+勿｝

的前〃项和为S,,,则S,=—;5”的最小值为一.

7T

(14)设A(cosa,sina),B(2cos£,2sin£),其中a/wR.当。=兀,£=万时，|A3|二

当|A8|=G时，a-夕的一个取值为____.

(15)如图，在棱长为2的正方体A88-A8CQ中，点分别在线段AR和上.

给出下列四个结论：

①的最小值为2:

4

②四面体MWBC的体积为3；

③有且仅有一条直线与AR垂直：

④存在点M,N,使aMBN为等边三角形.

其中所有正确结论的序号是一.

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（16）（本小题13分）

如图，在△ABC中，ZA=—,AC=&,CD平分N4CB交AB于点。，CD=y/3.

3

（1）求NADC的值；A

（II）求NBCD的面积.

----------------------

（17）（本小题13分）

根据《国家学生体质健康标准》，高三男生和女生立定跳远单项等级如下（单位：cm）：

立定跳远单项等级高三男生高三女生

优秀260及以上194及以上

良好245~259180-193

及格205〜244150-179

不及格204及以下149及以下

从某校高三男生和女生中各随机抽取12名同学，将其立定跳远测试成绩整理如下（精

确到1cm）：

男生：180205213220235245250258261270275280

女生：148160162169172184195196196197208220

假设用频率估计概率，且每个同学的测试成绩相互独立.

（I）分别估计该校高三男生和女生立定跳远单项的优秀率；

（II）从该校全体高三男生中随机抽取2人，全体高三女生中随机抽取1人，设X为这3人中

立定跳远单项等级为优秀的人数，估计X的数学期望EX；

（III）从该校全体高三女生中随机抽取3人，设“这3人的立定跳远单项既有优秀，又有其

它等级”为事件A，”这3人的立定跳远单项至多有1个是优秀”为事件反判断A

与8是否相互独立.（结论不要求证明）

(18)(本小题14分)

如图，在四棱锥P—ABCD中，K4_L平面A8C£>,AB//CD,AB1AD,45=1,

84=49=8=2.E为棱PC上一点，平面ABE与棱交于点再从条件①、条件

②这两个条件中选择一个作为己知，完成下列两个问题:

(1)求证：F为PD的中点；

(II)求二面角8—FC—P的余弦值.

条件①：BE//AF-,

条件②：BE工PC.

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

(19)(本小题15分)

已知函数f(x)=e*-cosx.

(I)求曲线y=/(x)在点(o,/(o))处的切线方程；

(II)设g(x)=x1(x)-/(x),证明:g(x)在(0,内)上单调递增;

(III)判断3/4)与4/(3的大小关系，并加以证明.

34

(20)(本小题15分)

已知椭圆C:d+2y2=2,点A,B在椭圆C上，且Q4LO8(。为原点).设Afi的中

点、为M,射线0M交椭圆C于点N.

(I)当直线43与x轴垂直时，求直线45的方程；

(II)求^^的取值范围.

\OM\

(21)(本小题15分)

给定正整数〃22,设集合M={a|c=6/2，L/")名「{0,1},—,〃}.对于集合M

中的任意元素力=(占,电,L,%,)和，稣),记£•7=占乂+迎％+L+x„y„.

设A=M,且集合A={%|c；=(4"2，L,九)"=1,2,L,〃},对于A中任意元素%,%,若

P，l=J，

ai-aj=\则称A具有性质7(”,p).

H，，力，

(I)判断集合4={(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)}是否具有性质7(3,2)?说明理由：

(II)判断是否存在具有性质T(4,p)的集合A,并加以证明：

(in)若集合A具有性质7(”,P),证明：ttj+t2J+L+tnj=p(./=1,2,L,n).

西城区高三统一测试试卷

数学答案及评分参考2023.3

一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）

(1)B(2)D(3)C(4)A(5)A

(6)C(7)D(8)B(9)D(10)B

二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）

(11)V2(12)1

(13)-1-2（14）亚三（答案不唯一）

(15)①②④

三、解答题（共6小题，共85分）

(16)(共13分)

srCD

解:（I）在△ADC中，由正弦定理得——

sinZADCsinZA

2分

夜

所以4

62

分

JT

因为0</4QC<—,5分

3

所以NAOC=

4

6分

2兀兀兀

(II)由(I)得NACD=NBCD=71-----------=----

3412

7分

由题设,NB=ZACB」,即△ABC为等腰三角形.8

6

分

所以BC=2xACxcos—=瓜.

6

…10分

所以MCD的面积为

西城区高三统一测试试卷数学答案及评分参考2023.3第7页（共13页）

m*小皿二」）=生叵心

S&BCD=-BCCDsmZBCD=-x

22344

13分

(17)（共13分）

解：（I）样本中立定跳远单项等级获得优秀的男生人数为4,获得优秀的女生人数为6,

所以估计该校高三男生立定跳远单项的优秀率为巴=1

2

123

分

估计高三女生立定跳远单项的优秀率为2

4

122

分

（II）由题设，X的所有可能取值为0,1,2,3.

P(X=0)估计为(|)2xg=|；

5分

P(X=l)估计为C；x，x2xL+(2)2x，=±

2332329

6分

P（X=2）估计为C；亭河+铲十得

7分

「（丫=3）估计为（：）2乂；=；

8分

估计X的数学期望欧=0x2+喝4+2x£5+3x^1=(7

10分

（III）A与B相互独立.

.....13分

(18)(共14分)

西城区高三统一测试试卷数学答案及评分参考2023.3第8页（共13页）

解：选条件①：BE//AF.

(I)因为平面PCD,

所以AB〃平面PC。......1分

因为平面4SEFI平面PCD=EF,

所以tW〃£F.

......2分

又况〃"，所以四边形蛙尸为平行四边形.

所以/W〃防且"=£F.......3分

因为4?〃8且A5=』C。，所以防〃CD且£产=

22

所以所为的中位线.

......5分

所以尸为尸。的中点.

,•,6分

(II)因为R4_L平面ABCD,所以小_LAB,尸AJ_AE).

又M_LAT>,所以AB,A£),AP两两相互垂直.

如图建立空间直角坐标系A-xyz,

......7分

则A(0,0,0),8(1,0,0),C(2,2,0),尸(0,0,2),£>(0,2,0),尸(0,1,1).

LILIUUUUULBU

所以BC=(1,2,0),BF=(-1,1,1),/IF=(0,1,1).

uim

m,BC=0,fr+2v=0

设平面8CF的法向量为雁=(x,y,z),则uun即*»"

m-BF=0,1-x+y+z=0-

令y=-l,则x=2,z=3.于是,〃=(2,-1,3).......9

分

因为平面R4D,且AB〃CD,所以CO_L平面皿).

所以A8.

又4=4)，且f为PD的中点，所以AF_LP£>.

111皿

所以A/_L平面尸8,所以是平面PC£)的一个法向量.

......11分

UUU—

,黑、.然V7

cos(m,AF)-——,,umi,=——.

IWIUFI7

13分

西城区高三统一测试试卷数学答案及评分参考2023.3第9页(共13页)

由题设，二面角B-FC-P的平面角为锐角，

所以二面角3-尸。-尸的余弦值为立.

7

.....14分

选条件②：BEA.PC.

(I)因为R4_L平面ABC。，所以P4_L.

在中，PB=y/AB2+AP2=75.

.....1分

在直角梯形ABC。中，

由9=1,AD=CD=2,可求得8C=石，所以PB=BC......2

分

因为BELPC,所以E为PC的中点.

.....3分

因为Afi〃CD,平面PCD,所以AB〃平面PCD.

因为平面ABEFI平面PCD=EF,所以AB//EF.

.....5分

所以CD〃EF.

所以F为PD的中点.

.....6分

(II)以下同条件①.

(19)(共15分)

解:(I)f'(x)=e'+sinx.

.....1分

所以f(0)=0,尸(0)=1.

.....3分

所以曲线y=/(x)在点(0,7(0))处的切线方程为〉=x......4

分

(II)由题设，g(x)=x(ev+sinA)-(ex-cosx)

=(x-l)e*+xsinx+cosx.

所以g'(x)=x(e*+cosx).

.....6分

当x>0时，因为e*+cosx>e°+cosx=l+cosx&0,

所以短(x)>0.

西城区高三统一测试试卷数学答案及评分参考2023.3第10页(共13页)

8分

所以g(x)在(0,+oo)上单调递增.

.....9分

(III)3/(1)>4/(1).

.....10分

证明如下：

设h(x)=/"),x£(0,+oo).

x

.....11分

XX

.....12分

由(II)知g(x)在(0,+oo)上单调递增，

所以g(x)>g(O)=O.

.....13分

所以〃(x)>0,即〃(x)在(0,+oo)上单调递增.

.....14分

所以M-)>吟),即3fq>4/(1).

.....15分

(20)(共15分)

解：（I）当直线■与x轴垂直时，设其方程为.....1

分

由点A,8关于戈轴对称，且Q4J_OB,不妨设A"/）......2

分

将点A的坐标代入椭圆。的方程，得*+2*=2,解得，=±亚......3分

3

所以直线A3的方程为％=±也.

3

…4分

西城区高三统一测试试卷数学答案及评分参考2023.3第11页（共13页）

当直线的斜率不存在时，由()知您

(II)ABIU=5

\OM\

分

当直线4?的斜率存在时，设其方程为>=丘+〃7.

y=kx+m,,、,.

由《，，#(2A:2+l)x2+4hnx+2m2-2=0.6

x-+2y2=2,

分

由4=8(2公一，/+l)>0,得加2<1+2/.

'几4km2nT-2

分

设A(±，M)，B(x2,y2),则%+々=-2中2=炉[8

乙K।1乙K十1

UUL1LIU

因为O4_LO8,所以。4,。8=0.

所以x{x2+y1y2=XjX2+(Ax】+m)(kx2+m)=0.

22

整理得(k+\)x1x2+km*1+x2)+m=0.

...........10分

所以(/+1)(2川-2)+km(-4hn)+nr(2k2+1)=0.

7

解得3>=2公+2,从而

3

...........11分

UlllflUUU

设ON=2OM,其中；l>0.

injurjinrUUB2

则ON=1(OA+aB)=[a+孙y+%)=(涉，耳).

222k+12k'+\

...........12分

将N(斗见,*-)代入椭圆C的方程，得m2A2=2公+1.

2廿+12k2+1

所以m2A2=3m2—1,即分=3—.

m

...........13分

因为〃产22,所以3wx2<3,即巫W/l〈百.

322

...........14分

综上，耍匚的取值范围是[逅,6].

IOM|2

...........15分

(21)(共15分)

解:(I)因为(1,1,0>(1,1,0)=1*1+1*1+0、0=2，同理(1,0,1)=(0,1)=2.

X(1,1,0)-(1,0,l)=lxl+lx0+0xl=l,同理(1,1,0>(0,1,1)=(1,0,1).(0,1,1)=1.

西城区高三统一测试试卷数学答案及评分参考2023.3第12页(共13页)

所以集合4={(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)}具有性质7(3,2).4

分

(II)当“=4时，集合A中的元素个数为4.由题设pw{0,l,2,3,4}........5

分

假设集合A具有性质T(4,p),则

①当夕=0时，A={(0,0,0,0)},矛盾.

②当p=l时，A={(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,01,0),(0,0,0,1)},不具有性质T(4,l),矛

盾.

③当夕=2时，Aa{(l,1,0,0),