2025届新高考数学冲刺突破复习 计数原理、排列与组合

2025届新高考数学冲刺突破复习计数原理、排列与组合高考

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计数原理、排列与组合题型1排列问题的解题策略题型2组合问题的解题策略题型3分组与分配问题的解题策略考点计数原理、排列与组合1.两个计数原理的联系与区别

分类加法计数原理分步乘法计数原理联系都用来计算完成一件事的方法种数区别1.每类方案都能独立完成这件

事;2.各类独立;3.分类——相加1.依次完成每一步才能完成这件

事;2.步步相关;3.分步——相乘2.排列与排列数(1)排列:一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,并按照一定的顺序排成一列,叫

做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.(2)排列数:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数,叫做从n个不

同元素中取出m个元素的排列数,记作

.3.组合与组合数(1)组合:一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组,叫做从n个不同元素

中取出m个元素的一个组合.(2)组合数:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数,叫做从n个不

同元素中取出m个元素的组合数,记作

.注意易混淆排列与组合问题,区分的关键是看选出的元素是否与顺序有关,排列问题与顺

序有关,组合问题与顺序无关.4.排列数、组合数的公式及性质

排列数组合数公式

=n(n-1)(n-2)·…·(n-m+1)=

=

=

=

性质

=n!;0!=1;

=n

;

=m

+

=1;

=

;

=

+

注意n,m∈N*,且m≤n即练即清判断正误(对的打“√”,错的打“✕”)(1)从0,2中选一个数字,从1,3,5中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中奇数的个

数为18.

(

)(2)如果一个三位正整数形如“a1a2a3”满足a1<a2,且a2>a3,则称这样的三位数为凸数(如

120,343,275等),那么所有凸数的个数为240.

(

)(3)如图所示,将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色,并使同一条棱上的两端异色,

如果只有5种颜色可供使用,则不同的染色方法种数为422.

(

)√√×(正确结果为420)题型1排列问题的解题策略

例1在班级活动中,4名男生和3名女生站成一排表演节目.(写出必要的数学式,结果

用数字作答)(1)3名女生不能相邻,有多少种不同的站法?(2)4名男生相邻,有多少种不同的站法?(3)女生甲不能站在左端,女生乙不能站在右端,有多少种不同的站法?(4)甲、乙、丙3人按高矮从左到右有多少种不同的站法?(甲、乙、丙三位同学身高互

不相等)(5)现有7个座位连成一排,仅安排4名男生就座,恰好有两个空座位相邻的不同坐法共

有多少种?

解析

(1)插空法根据题意,分2步进行分析:第一步,将4名男生全排列,有

=24种情况,排好后有5个空位.第二步,在5个空位中任选3个,安排3名女生,有

=60种情况.则3名女生不能相邻的站法有24×60=1440种.(2)捆绑法根据题意,分2步进行分析:第一步,将4名男生看成一个整体,考虑4人间的顺序,有

=24种情况.第二步,将这个整体与3名女生全排列,有

=24种情况.则4名男生相邻的站法有24×24=576种.(3)根据题意,分2种情况讨论:①女生甲站在右端,其余6人全排列,有

=720种站法.②女生甲不站在右端,有5种站法,女生乙有5种站法,将剩余的5人全排列,安排在剩余的位置,有

=120种站法,则此时有5×5×120=3000种站法.则一共有720+3000=3720种站法.(4)根据题意,首先把7名同学全排列,共有

种结果,甲、乙、丙三人内部的排列共有

=6种结果,要使甲、乙、丙3个人按照高矮顺序排列,则有

=840种站法.(5)根据题意分2步进行分析:第一步,将4名男生全排列,有

种情况,排好后有5个空位.第二步,将3个空座位分成2、1的2组,在5个空位中任选2个,安排2组空座位,有

种情况,则有

=480种坐法.即练即清1.(2023河北邯郸二模,5)2023年3月13日,第十四届全国人民代表大会第一次会议在北

京人民大会堂闭幕,为记录这一历史时刻,来自A省的3名代表和B省的3名代表合影留

念.假设6名代表站成一排,则A省的3名代表互不相邻,且B省的3名代表也互不相邻的

概率为

(

)A.

B.

C.

D.

B题型2组合问题的解题策略1.组合问题的两类常见题型(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型:“含”,则先将这些元素取出,再由另

外元素补足;“不含”,则先将这些元素剔除,再从剩下的元素中去选取.(2)“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型:解这类题必须重视“至少”与“最

多”这两个关键词的含义,谨防重复与遗漏,用直接法和间接法都可以求解,通常分类

少时用直接法,分类复杂时,考虑逆向思维,用间接法处理.2.有限制条件的组合问题的解题思路从限制条件入手,组合问题只是从整体中选出部分即可,常见情况有:(1)某些元素必选;(2)某些元素不选;(3)把元素分组,根据在各组中分别选多少分类.例2

(2023山东烟台二模,7)已知集合U={2,4,6,8,10,12,14,16,18,20},若从U的所有子集

中,等可能地抽取满足条件“A∪B=U,A∩B=⌀”和“若x∈A,则22-x∈B”的两个非

空集合A,B,则集合A中至少有三个元素的概率为

(

)A.

B.

C.

D.

解析

由A∪B=U,A∩B=⌀可得A、B中没有重复数字,由x∈A,则22-x∈B可得A、B不为空集,且可将U中10个数字分为5组,分别为2和20,4和18,6和16,8和14,10和12,且每组数中的一个数如果在集合A中,另一个

必在集合B中,所以集合A中元素的个数小于或等于集合B中元素的个数,所以集合A中

元素的个数可能为1,2,3,4,5,所以集合A的个数为

+

+

+

+

=242,所以所求概率P=1-

=

,故选C.

答案

C即练即清2.(2023山东潍坊二模,14)某学校门口现有2辆共享电动单车,8辆共享自行车.现从中一

次性随机租用3辆,则恰好有2辆共享自行车被租用的概率为

.答案

题型3分组与分配问题的解题策略

例3

(2023广东佛山二模,4)“基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”,

是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划,旨在培养中国自己的学术

大师.已知浙江大学、复旦大学、武汉大学、中山大学均有开设数学学科拔尖学生培

养基地,某班级有5位同学从中任选一所学校作为奋斗目标,则每所学校至少有一位同

学选择的不同方法数共有

(

)A.120种

B.180种

C.240种

D.300种

解析

将5位同学分为2,1,1,1的4组,再分配到4所学校,共有

=240种方法.故选C.

答案

C即练即清3.(2023湖北黄冈中学三模,5)中国救援力量在国际自然灾害中为拯救生命作出了重要

贡献,很好地展示了国家