八年级数学上 角平分线的作法

-.教学内容：

1.角平分线的作法.

2.角平分线的性质及判定.

3.角平分线的性质及判定的应用.

二.知识要点：

1.角平分线的作法（尺规作图）

①以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA、0B于C、D两点;

②分别以C、D为圆心，大于|CD长为半径画弧，两弧交于点P；

③过点P作射线0P,射线0P即为所求.

A

0

2.角平分线的性质及判定

（1）角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.

①推导

已知：OC平分NMON,P是OC上任意一点，PA±OM,PB1ON,

垂足分别为点A、点B.

求证：PA=PB.

证明：VPA±OM,

...NPAO=/PBO=90"

VOC平分NMON

ZPAO=ZPBO

在△PAO和△PBO中,Z1=Z2

OP=OP

.'.△PAO0△PBO

，PA=PB

②几何表达：（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）

M

如图所示，:OP平分NMON（Z1=Z2）,PA1OM,PB±ON,

；.PA=PB.

（2）角平分线的判定：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.

①推导

已知：点P是/MON内一点，PA_LOM于A,PB_LON于B,且PA=PB.

求证：点P在NMON的平分线上.

证明：连结0P

（PA=PB

在RfZ\PAO和RfZ^PBO中，bp=op

ARrAPAO^RrAPBO（HL）

.•.Z1=Z2

，0P平分NMON

即点P在NMON的平分线上.

②几何表达：（到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.）

如图所示，VPA±OM,PB1ON,PA=PB

AZ1=Z2（OP平分/MON）

3.角平分线性质及判定的应用

①为推导线段相等、角相等提供依据和思路;

②实际生活中的应用.

例：一个工厂，在公路西侧，到公路的距离与到河岸的距离相等，并且到河上公路桥头的

距离为300米.在下图中标出工厂的位置，并说明理由.

4.画一个任意三角形并作出两个角（内角、外角）的平分线，观察交点到这个三角形三条

边所在直线的距离的关系.

（3）两曲卜角的角平分线

三.重点难点：

1.重点：角平分线的性质及判定

2.难点：角平分线的性质及判定的应用

【考点分析】

本讲内容作为基础内容来讲，它在中考题中偶尔以选择题或填空题的形式出现，但角平分

线的性质及判定有时出现在综合题题目当中，因此还是比较重要的.

【典型例题】

例1.已知：如图所示，NC=NC'=90°,AC=AC

求证：（1）ZABC=ZABC,；

（2）BC=BC'（要求：不用三角形全等判定）.

分析：由条件NC=NC'=90°,AC=AC',可以把点A看作是NCBC'平分线上的

点，由此可打开思路.

证明：（1）,.,ZC=ZC,=90°（已知）,

；.AC_LBC,AC'_LBC'（垂直的定义）.

又,.•AC=AC'（已知），

...点A在/CBC的角平分线上（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）.

AZABC=ZABC\

（2）NABC=NABC,

...180°-（ZC+ZABC）=180°-（ZC+ZABC）（三角形内角和定理）.

即NBAC=/BAC,

VAC±BC,AC,±BC,,

；.BC=BC（角平分线上的点到这个角两边的距离相等）.

评析：利用三角形全等进行问题证明对平面几何的学习有一定的积极作用，但也会产生消

极作用，在解题时，要能打破思维定势，寻求解题方法的多样性.

例2.如图所示，己知AABC中，PE〃AB交BC于E,PF〃AC交BC于F,P是AD上一

点，且D点到PE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分NBAC,并说明理由.

A

分析：判定一条射线是不是一个角的平分线，可用角平分线的定义和角平分线的判定定

理.根据题意，首先由角平分线的判定定理推导出Nl=/2,再利用平行线推得/3=N4,最

后用角平分线的定义得证.

解：AD平分NBAC.

；D至ljPE的距离与到PF的距离相等，

...点D在/EPF的平分线上.

.*.Z1=Z2.

又：PE〃AB,AZ1=Z3.

同理，Z2=Z4.

；./3=/4,；.AD平分NBAC.

评析：由角平分线的判定判断出PD平分NEPF是解决本例的关键.“同理”是当推理过

程相同，只是字母不同时为书写简便可以使用“同理”.

例3.如图所示，已知4ABC的角平分线BM,CN相交于点P,那么AP能否平分/BAC?

请说明理由.由此题你能得到一个什么结论？

分析：由题中条件可知，本题可以采用角的平分线的性质及判定来解答，因此要作出点P

到三边的垂线段.

解：AP平分NBAC.

结论：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等.

理由：过点P分别作BC,AC,AB的垂线，垂足分别是E、F、D.

VBM是NABC的角平分线且点P在BM上，

/.PD=PE(角平分线上的点到角的两边的距离相等).

同理PF=PE,；.PD=PF.

AP平分NBAC(到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上).

例4.如图所示的是互相垂直的一条公路与铁路，学校位于公路与铁路所夹角的平分线上的

P点处，距公路400m,现分别以公路、铁路所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系.

(1)学校距铁路的距离是多少？

(2)请写出学校所在位置的坐标.

分析：因为角平分线上的点到角的两边距离相等，所以点P到铁路的距离与到公路的距离

相等，也是400m；点P在第四象限，求点P的坐标时要注意符号.

解：(1)•.•点P在公路与铁路所夹角的平分线上，

...点P到公路的距离与它到铁路的距离相等，

又；点P到公路的距离是400,

.•.点P(学校)到铁路的距离是400,〃.

(2)学校所在位置的坐标是(400,-400).

评析：角平分线的性质的作用是通过角相等再结合垂直证明线段相等.

例5.如图所示，在AABC中，ZC=90°,AC=BC,DA平分NCAB交BC于D,问能否

在AB上确定一点E,使4BDE的周长等于AB的长？若能，请作出点E,并给出证明；若不

能，请说明理由.

分析：由于点D在NCAB的平分线上，若过点D作DE_LAB于E,则DE=DC.于是有

BD+DE=BD+DC=BC=AC,只要知道AC与AE的关系即可得出结论.

解：能.过点D作DEJ_AB于E,则4BDE的周长等于AB的长.理由如下：

；AD平分/CAB,DC1AC,DE_LAB,

ADC=DE.

[DC=DE

在RfZXACD和RfZ\AED中，，

[AD=AD

.•.RrAACD^R/AAED(HL).

；.AC=AE.

又；AC=BC,.\AE=BC.

AABDE的周长=BD+DE+BE=BD+DC+BE=BC+BE=AE+BE=AB.

评析：本题是一道探索题，要善于利用已知条件获得新结论，寻找与要解决的问题之间的

联系.本题利用角平分线的性质将要探究的结论进行转化.这是初中几何中常用的一种数学思

想.

【方法总结】

学过“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”与“到角的两边的距离相等的点在角的

平分线上”这两个结论后，许多涉及角的平分线的问题用这两个结论解决很方便，需要注意的

是有许多同学对证明两个三角形全等的问题已经很熟悉了，所以证题时，不习惯直接应用这两

个结论，仍然去找全等三角形，结果相当于重新证明了一次这两个结论.所以特别提醒大家，

能用简单方法的，就不要绕远路.

【模拟试题】(答题时间：90分钟)

选择题

1.如图所示，OP平分NAOB,PCJ_OA于C,PDJ_OB于D,则PC与PD的大小关系是

()

A.POPDD.不能确定

2.在Rf^ABC中，ZC=90°,AD是角平分线，若BC=10,BD：CD=3：2,则点D到

AB的距离是()

A.4B.6C.8D.10

3.在AABC中,/C=90°,E是AB边的中点，BD是角平分线，且DELAB,贝ij()

A.BOAEB.BC=AEC.BC<AED.以上都有可能

4.如图所示，点P是/BAC的平分线AD上一点，PE1AC于点E,已知PE=3,则点P

到AB的距离是()

A.3B.4D.6

5.如图所示，在AABC中，/C=90°,AD平分/BAC,AE=AC,下列结论中错误的是

)

A.DC=DEB.ZAED=90°C.NADE=/ADCD.DB=DC

6.到三角形三边距离相等的点是()

A.三条高的交点B.三条中线的交点

C.三条角平分线的交点D,不能确定

7.如图所示，^ABC中，ZC=90°,AC=BC,AD平分NCAB交BC于D,DE_LAB于

E,且AB=6CTH,则4DEB的周长为()

B

E

4A

A.4cmB.6cmC.\OcmD.以上都不对

8.如图所示，三条公路两两相交，交点分别为A、B、C,现计划修一个油库，要求到三条

公路的距离相等，可供选择的地址有（）

A

A.一■处B.一处C.二处D.四处

二.填空题

9.如图所示，点P是NCAB的平分线上一点，PF±AB于点F,PE±AC于点E,如果PF

=3C7〃，那么PE=__________.

EC

10.如图所示，DB_LAB,DC±AC,BD=DC,ZBAC=80°,则ZBAD=__________,

ZCDA=__________.

A

D

11.如图所示，P在NAOB的平分线上,在利用角平分线性质推证PD=PE时，必须满足的

条件是_____________________.

A

12.如图所示，NB=/C,AB=AC,BD=DC,则要证明AD是NBAC的线.需

要通过来证明.如果在已知条件中增加NB与NC互补后，就可以通过

来证明.因为此时BD与DC已经分别是的距离.

D

13.如图所示，C为NDAB内一点，CD_LAD于D,CB1.AB于B,且CD=CB,则点C

在.

14.如图所示，在RfZXACB中，ZC=90°,AD平分/BAC交BC于点D.

(1)若BC=8,BD=5,则点D到AB的距离是.

(2)若BD:DC=3：2,点D到AB的距离为6,则BC的长为.

15.(1)：OP平分/AOB,点P在射线0C上，PDJLOA于D,PE_LOB于E,二

(依据：角平分线上的点到这个角两边的距离相等).

(2)VPD10A,PE±OB,PD=PE,；.0P平分/AOB(依据：).

三.解答题

16.已知：如图，在R/4ABC中，ZC=90°,D是AC上一点，DE_LAB于E,且DE=

DC.

(1)求证：BD平分NABC；

(2)若/A=36°,求/DBC的度数.

17.如图：^ABC中，AD是/BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，且NEDF+

ZBAF=180°.

(1)求证：DE=DF；

(2)若把最后一个条件改为：AE>AF,且/AED+NAFD=180°,那么结论还成立吗？

18.如图，Z1=Z2,AE_LOB于E,BD±OA于D,AE与BD相交于点C.求证：AC=

BC.

19.如图所示，某铁路MN与公路PQ相交于点0,且夹角为90°,其仓库G在A区，到

公路和铁路距离相等，且到铁路图上距离为1cm.

(1)在图上标出仓库G的位置.(比例尺为1：10000,用尺规作图)

(2)求出仓库G到铁路的实际距离.

3

四.探究题

20.有位同学发现了“角平分线”的另一种尺规作法，其方法为:

(1)如图所示，以0为圆心，任意长为半径画弧交OM、ON于点A、B；

(2)以O为圆心，不等于(1)中的半径长为半径画弧交OM、ON于点C、D；

(3)连接AD、BC相交于点E；

(4)作射线OE,则OE为NMON的平分线.

你认为他这种作法对吗？试说明理由.

试题答案

选择题

1.B2.A3.B4.A5.D6.C7.B8.D

填空题

9.3cm10.40°,50°11.PD1OA,PE1OB

12.角平分，全等，角平分线的性质，点D到AB、AC两边

13.ZDAB的角平分线上

14.(1)3(2)15

15.(1)