广西崇左市大新县民族高级中学2023-2024学年高二下学期期末数学试题【含答案】

崇左市大新县民族高中2024年春季学期期末试题高二数学（本试卷满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡规定的位置上.2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号.3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．如果，那么复数为（

）A． B． C． D．2．若集合，，则（

）．A． B．C． D．3．已知，则下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．4．若直线与平面不垂直，那么在平面内与直线垂直的直线（

）A．只有一条 B．无数条C．是平面内的所有直线 D．不存在5．已知，，且∥，则（

）A． B． C． D．6．某厂去年的产值记为1，计划在今后五年内每年的产值比上年增长，则从今年起到第五年，这个厂的总产值为A． B． C． D．7．已知，则（

）A．28 B．30 C．56 D．728．已知随机变量，，则（

）A．0.5 B．0.4 C．0.3 D．0.2二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．下列图象中，表示函数关系的有（

）A． B．C． D．10．如图是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中，下列说法中正确的序号是（

）A．直线与直线相交；B．直线与直线平行；C．直线BM与直线是异面直线；D．直线与直线成角.11．已知曲线表示椭圆，则下列说法正确的是（

）A．的取值范围为B．若该椭圆的焦点在轴上，则C．若，则该椭圆的焦距为D．若椭圆的离心率为，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．两条平行直线＝与＝的距离是.13．不等式的解集为，则不等式的解集是．14．已知随机变量的分布列为，那么实数.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．在△中，已知，，，求边c和．16．如图，棱锥的底面是一个矩形，与交于，是棱锥的高，若，，，求棱锥的体积．17．一种卫星接收天线的轴截面如图所示.卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处.已知接收天线的口径（直径）为4.8m，深度为0.5m.

(1)试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标；(2)为了增强卫星波束的接收，拟将接收天线的口径增大为5.2m，求此时卫星波束反射聚集点的坐标.18．某校为了解学生对食堂的满意程度，做了一次问卷调查，对三个年级进行分层抽样，共抽取40名同学进行询问打分，将最终得分按，，，，，，分成6段，并得到如图所示的频率分布直方图.（1）求频率分布直方图中a的值，以及此次问卷调查分数的中位数；（2）若从打分区间在的同学中随机抽出两位同学，求抽出的两位同学中至少有一位同学来自打分区间的概率.19．已知数列，都是等差数列，公差分别为，，数列满足．（1）数列是否是等差数列？若是，证明你的结论；若不是，请说明理由．（2）若，的公差都等于2，，求数列的通项公式．

1．A【分析】直接计算得到答案.【详解】，故.故选：A.2．B【分析】根据集合的交集运算求解.【详解】因为，，所以.故选：B3．D【分析】由基本不等式以及作差法即可求解.【详解】由题意，则，即，由基本不等式得，又，即，所以.故选：D.4．B【解析】直线与平面不垂直，可以和平面内一条直线垂直，即可得答案.【详解】直线与平面不垂直,一定存在，使得成立，因此在平面内，与平行的所有直线都与直线垂直，因此有无数条直线在平面内与直线垂直.故选：B5．B【分析】根据已知条件分别求出、的坐标，利用空间向量共线的充要条件，即可求出结果．【详解】因为，，所以，，因为∥，所以，解得.故选：B．6．D【分析】利用等比数列的求和公式即得.【详解】依题意可得，从今年起到第五年这个厂的总产值为；.故选：D7．C【分析】由组合数性质求出，再用排列数公式求值.【详解】因为，所以由组合数性质得，，所以.故选：C.8．D【分析】根据正态分布的对称性结合题意求解即可.【详解】因为随机变量，所以，所以，解得，故．故选：D9．AD【分析】根据函数概念逐一判断即可.【详解】根据函数的概念知，对于定义域内任意x，都有唯一确定的y和它对应，由图象可看出，表示函数关系的有AD．BC项的对应关系中，均出现了一个x对应两个y值的情况，不符合函数的定义，不是函数．故选：AD.10．CD【分析】将正方体的平面展开图，复原为正方体，根据异面直线的定义，可判定A、B不正确；C正确；再结合异面直线所成的角的定义与求解，可判定D正确.【详解】如图所示，将正方体的平面展开图，复原为正方体，对于A中，直线与不同在任何一个平面内，否则四点共面，（矛盾），所以直线与为异面直线，所以A不正确；对于B中，直线与不同在任何一个平面内，否则四点共面，（矛盾），所以直线与为异面直线，所以B不正确；对于C中，平面平面，平面，平面，所以直线与不相交，连接，则，而与相交，所以与不平行，否则，不合题意，所以直线与是异面直线，所以C正确；对于D中，连接，则为正三角形，可得，又由，则为直线与直线所成的角，即直线与直线所成的角为，所以D正确.故选：CD.11．BC【分析】由方程表示椭圆可得判断A，再根据其它各项描述及椭圆的性质判断正误即可.【详解】由题意，A错；椭圆的焦点在y轴上，则，B对；若，则，故，该椭圆的焦距为，C对；若椭圆的离心率为，则或，可得或，D错.故选:BC.12．【解析】将直线＝化为，再根据平行线间距离公式即可求解.【详解】可将直线＝化为，所以两条平行直线间的距离为.故答案为：.【点睛】本题考查平行线间距离公式，属于基础题.13．或【分析】由题意可得，且为方程的两根，利用根与系数的关系可得，代入中化简可求得其解集.【详解】因为不等式的解集为，所以，且为方程的两根，所以，得，所以可化为，因为，所以，所以，解得，或，的解集是或．故答案为：或．14．3【分析】根据概率之和为1，即可求出结果.【详解】因为随机变量的分布列为，所以，因此.故答案为3【点睛】本题主要考查概率的性质，熟记概率性质即可，属于基础题型.15．，.【分析】由正弦定理求边c，再应用三角形面积公式求即可.【详解】由题设，，由正弦定理知：，故，∴，又，∴.16．．【分析】依题意可得，利用勾股定理求出，即可求出，再由锥体的体积公式计算可得.【详解】依题意平面，平面，所以，又，，，所以，所以，则，棱锥的底面面积为，所以棱锥的体积．17．(1)抛物线的标准方程为，焦点的坐标为；(2)【分析】（1）建立如图所示的直角坐标系，利用待定系数法进行求解即可；（2）利用待定系数法、代入法进行求解即可.【详解】（1）建立如图所示的直角坐标系，设抛物线的方程为：，把代入方程中，得，所以抛物线的标准方程为，焦点的坐标为；

（2）设抛物线的方程为，把代入方程中，得，所以焦点的坐标为：.18．（1），中位数为；（2）.【解析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积和为1，由求得a，然后利用中位数公式求解.（2）先分别得到打分区间在和打分区间在的同学的人数，然后利用古典概型的概率公式求解.【详解】（1）因为频率分布直方图中所有小矩形的面积和为1，所以，解得，所以中位数为；（2）打分区间在的同学共有人，分别记为，打分区间在的同学共有人，分别记为，从这6人中随机抽出两位同学，共有以下15种情况：，，，，；，，，；，，；，；其中，至少有一位同学来自打分区间共有14种情况：，，，；，，，；，，；，；所以至少有一位同学来自打分区间的概率为.【点睛】方法点睛：利用频率分布直方图：求概率根据频率分布直方图中所有小矩形的面积和为1求解；求中位数根据频率分布直方图中所有小矩形的面积和的对应点求解；求平均数根据频率分布直方图中各矩形横坐标