2021-2022学年某中学江苏省某中学、如东某中学、靖江某中学、宜兴中学 高一数学第二学期期末经典试题含解析

2021-2022学年高一下数学期末模拟试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码

区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效;

在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中,

恰有一项是符合题目要求的

A

1.在AAHC中，角A,8,C所对的边分别为a,b,C,若tan(B+C)=tan,,

且a=2,则AABC的面积的最大值为()

32

2.已知函数丁=出2和'=85在区间1上都是减函数，那么区间1可以是()

TT

3.同时具有性质：“①最小正周期是万；②图象关于直线工=二对称；③在［二,乃］

上是单调递增函数''的一个函数可以是()

XTC57r

A.y=cos(-+—)B.=sin(2x4-^-)

2o

7171

C.y=cos(2x-y)D.y=sin(2x--)

4.函数f(x)=log3(2-x)的定义域是()

A.［2,+oo)B.(2,+oo)C.(-oo,2)D.(-oo,

5.设尸是AABC内任意一点，5.叱表示AABC的面积，记

4=沁，4=2/=沁，定义〃p)=(4/，4),已知

JAABC3AAsc

=G是AABC的重心，则()

A.点。在AG钻内B.点。在AGBC内

C.点。在AG。内D.点。与G点重合

6.y=2sin（；x+?）的周期为（）

A.nB.2"C.3万D.4]

7.己知向量3=（1,2）,6=（3,加），mwR,贝！1“加=6”是“乙//（7+5）”的（）

A.充分必要条件B,充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

8.如图是一名篮球运动员在最近6场比赛中所得分数的茎叶图，则下列关于该运动员

所得分数的说法错误的是（）

08

1335

201

A.中位数为14B.众数为13C.平均数为15D.方差为19

9.设小ABC的内角A,8,C所对的边分别为”,。,（；,若2以达35亩4=5山。，则AASC

的形状一定是（）

A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形

10.从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的

概率为

A.0.6B.0.5C.0.4D.0.3

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11.中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正

方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多

面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图

2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正

方体的棱长为1.则该半正多面体的所有棱长和为.

图2

12.已知sin(i-x)=j则sin2x的值为

13.某公司租地建仓库，每月土地占用费%（万元）与仓库到车站的距离（公里）成

反比.而每月库存货物的运费力（万元）与仓库到车站的距离（公里）成正比.如果在距

车站10公里处建仓库，这两项费用y和%分别为2万元和8万元，由于地理位置原因.

仓库距离车站不超过4公里.那么要使这两项费用之和最小，最少的费用为万元.

14.无限循环小数0.036化成最简分数为

15.设a>0,角a的终边经过点P（-3a,4a）,那么sina+2cosa的值等于.

16.已知函数y=/（x）（xeR）的图象如图所示，则不等式4（幻<0的解集为.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步

骤。

17.已知等差数列｛4｝的前〃项和为S“，且％+邑=20,$5=50.

（1）求数列｛4｝的通项公式；

（2）请确定3998是否是数列｛"“｝中的项？

18.如图，在△ABC中，已知点。在边8c上，AD±AC,AAOC的面积是AAHC

3

面积的一倍，且48=30，A£）=3.

4

8DC

(1)求sinNBA。；

(2)求边8c的长.

19.记S“为数列｛a,,｝的前〃项和，且满足S“=4a”-6.

(1)求数列｛4｝的通项公式；

,,(2｝11187

(2)记2=10g47%,求满足等式匚厂+工厂+…+丁丁=菽的正整数”的值•

八3)b｝b2帅③b.h88

20.某同学假期社会实践活动选定的课题是“节约用水研究”.为此他购买了电子节水阀，

3

并记录了家庭未使用电子节水阀20天的日用水量数据(单位：m)和使用了电子节

水阀20天的日用水量数据，并利用所学的《统计学》知识得到了未使用电子节水阀20

天的日平均用水量为0.48n?，使用了电子节水阀20天的日用水量数据的频率分布直

方图如下图：

(1)试估计该家庭使用电子节水阀后，日用水量小于0.35m'的概率；

(2)估计该家庭使用电子节水阀后，一年能节省多少水？(一年按365天计算，

同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表.)

21.在如图所示的直角梯形A8CO中，

AD//BC,ABLAD,AB=AD=1,BC=2,求该梯形绕上底边所在直线旋转

一周所形成几何体的表面积和体积.

AD

BC

参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，

恰有一项是符合题目要求的

1、A

【解析】

A

由tan（3+C）=-tanA以及tan（B+C）=tan,,结合二倍角的正切公式，可得

tan'=6,根据三角形的内角的范围可得4=与，由余弦定理以及基本不等式可得

4

bc<-,再根据面积公式可得答案.

3

【详解】

A

因为tan（3+C）=tan,,且3+C=7i-A,

c2tanA—.

所以tan（8+C）=-tan4=----------=tan—>0,

1-tan2—2

2

所以tan弓=G,则A=.

乙J

27r

由于。=2为定值，由余弦定理得4=/+c、2-20ccosyBP4=/?2+c2+bc-

一4

根据基本不等式得4=〃4-c2+hc>2hc+hc=3hc，即6c«一,

3

当且仅当/?=c时，等号成立.

诉Ec17•014石也

加以S=—pcsinA<—x—x——=——・

“ABRCr22323

故选：A

【点睛】

本题考查了二倍角的正切公式，考查了余弦定理，考查了基本不等式，考查了三角形的

面积公式，属于中档题.

2、B

【解析】

分别根据丫=出2和〉=（^5的单调减区间即可得出答案.

【详解】

j[3兀

因为丁=5山和〉=85的单调减区间分别是2k7T+-,^+2k7T和

[2Rr,%+2br],所以选择B

【点睛】

本题考查三角函数的单调性，意在考查学生对三角函数图像与性质掌握情况.

3、D

【解析】

利用正弦函数、余弦函数的图象和性质，逐一检验，可得结论.

【详解】

2)

A,对于y=cos(彳+上)，它的周期为1-4小故不满足条件.

262

B,对于y=sin(2xH------),在区间兀上，2xH------G[—,----],故该函数在

6L6」626

区间—，冗上不是单调递增函数，故不满足条件.

6

7T7T|

C,对于y=cos(2%-^)，当x=]时，函数y=]，不是最值，故不满足②它的图象

7T

关于直线x=§对称，故不满足条件.

JT27r7i

D,对于y=sin(2x—二)，它的周期为?=兀，当*=丁时，函数y=L是函数的最大

623

rr

值，满足它的图象关于直线*=上对称；且在区间—57r.兀1.,2x-TT-e[—37r,\\TT

3L6J626

故该函数在区间—，万上是单调递增函数，满足条件.

6_

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了正弦函数、余弦函数的图象和性质，属于中档题.

4、C

【解析】

试题分析：利用对数函数的性质求解.

解：函数f(x)=log3(1-X)的定义域满足：1-x>0,

解得X<1.

函数f(x)=log3(1-X)的定义域是(-00,1).

故选c.

考点：对数函数的定义域.

5、A

【解析】

解：由已知得，f(P)=(ki,入2,入3)中的三个坐标分别为P分AABC所得三个三角

形的高与^ABC的高的比值，

Vf(Q)=(1/2,1/3,1/6)

•••P离线段AB的距离最近，故点Q在△GAB内

由分析知，应选A.

6、D

【解析】

根据正弦型函数最小正周期的结论即可得到结果.

【详解】

T=女~=4兀

函数的最小正周期1

2

故选：D

【点睛】

_2兀

本题考查正弦型函数周期的求解问题，关键是明确正弦型函数的最小正周期T=同.

7、A

【解析】

先由题意，得到2+5=(4,机+2),再由充分条件与必要条件的概念，即可得出结果.

【详解】

因为。=(1,2),b=,所以a+B=(4,〃?+2),

若m=6,则a+B=(4,8)=4。，所以a//(a+6)；

若2//(£+可,则加+2-8=0,所以加=6；

综上，“，%=6”是“£//(d+方卜的充要条件.

故选：A

【点睛】

本题主要考查向量共线的坐标表示，以及命题的充要条件的判定，熟记充分条件与必要

条件的概念，以及向量共线的坐标表示即可，属于常考题型.

8、D

【解析】

从题设中所提供的茎叶图可知六个数分别是8,13,13,15,20,21,所以其中位数是

13+158+13+13+15+20+21

14,众数是13,平均数三=15,方差是

26

49+4+4+0+25+3659

6=T应选答案D

9、C

【解析】

将角C用角A角B表示出来，和差公式化简得到答案.

【详解】

△A3C的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,

2cosBsinA=sinCn2cosBsinA=sin(A+3)=sinAcosB+cosAsin3

cosBsinA-cosAsin3=0=sin(A-B)-Q

角A,B,C为△ABC的内角

故答案选C

【点睛】

本题考查了三角函数和差公式，意在考查学生的计算能力.

10、D

【解析】

分析：分别求出事件“2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务”的总可能及事

件“选中的2人都是女同学”的总可能，代入概率公式可求得概率.

详解：设2名男同学为4,&,3名女同学为

从以上5名同学中任选2人总共有

44，A4，A耳，A鸟，4综，4/，旦鸟,四鸟,鸟与共io种可能,

选中的2人都是女同学的情况共有用6.4名,外名共三种可能

则选中的2人都是女同学的概率为P=二=0.3,

故选D.

点睛：应用古典概型求某事件的步骤：第一步，判断本试验的结果是否为等可能事

件，设出事件A;第二步，分别求出基本事件的总数〃与所求事件A中所包含的

基本事件个数机；第三步，利用公式P(A)=%求出事件A的概率.

n

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11、48(V2-1)

【解析】

取半正多面体的截面正八边形A3CDEFG”,设半正多面体的棱长为x,过&C分别

作于"，CN工AD于N,可知=AM=CN=ND="x,

2

AM+MN+ND=42X+X=\＞可求出半正多面体的棱长及所有棱长和.

【详解】

取半正多面体的截面正八边形ABCOEFG”,由正方体的棱长为1,可知AD=1,易

知NBAQ=NCD4=45°，设半正多面体的棱长为x,过分别作，AD于

历

M,CN工AD于■N,则BM=AM=CN=NO=Jx,

2

AM+MN+ND=/2x+x=\＞解得犬=啦-1，故该半正多面体的所有棱长和为

48（V2-1）.

【点睛】

本题考查了空间几何体的结构，考查了空间想象能力与计算求解能力，属于中档题.

7

12、

25

【解析】

利用二倍角的余弦函数公式求出COS的值，再利用诱导公式化简，将

I2)

cos仁-2xJ的值代入计算即可求出值.

【详解】

解：,辿〉)=|，喉-2x)=>2si陪7卜1谭

贝Usin2x==cos2x——,

12)25

7

故答案为f.

【点睛】

此题考查了二倍角的余弦函数公式，以及诱导公式的作用，熟练掌握公式是解本题

的关键.

13、8.2

【解析】

设仓库与车站距离为x公里，可得出其、为关于x的函数关系式，然后利用双勾函数

的单调性求出y+%的最小值.

【详解】

20

设仓库与车站距离为x公里，由已知％=—，y2=0.8x,

x

20,

费用之和y=乂+必=0.8xH------,求中0<x<4,

x

20

由双勾函数的单调性可知，函数y=0.8工+工在区间(0,4］上单调递减，

所以，当x=4时，》取得最小值8.2万元，故答案为：8.2.

【点睛】

本题考查利用双勾函数求最值，解题的关键就是根据题意建立函数关系式，再利用基本

不等式求最值时，若等号取不到时，可利用相应的双勾函数的单调性来求解，考查分析

问题和解决问题的能力，属于中等题.

2

14、—

55

【解析】

利用无穷等比数列求和的方法即可.

【详解】

0.036=0.036+0.00036+0.0000036+...=°,°36==—

1-0.010.9955

2

故答案为：—

55

【点睛】

本题主要考查了无穷等比数列的求和问题，属于基础题型.

2

10A--

5

【解析】

试题分析:利用任意角三角函数定义求解.

解：角a的终边经过点P(-3a,4a),

.\x=-3a,y=4a,

..34a…-3a2

..sina+2cosa=——+2X------=—―・

5a5a5

故答案为-日.

5

考点：任意角的三角函数的定义.

16、(-1,0)11(1,3)

【解析】

根据函数图象以及不等式的等价关系即可.

【详解】

x>0x<0

解：不等式犷.(©〈O等价为，/、八或«

/U)>0

则l<x<3,或一1cx<0,

故不等式xf(x)<0的解集是(-1,0)U(1,3).

故答案为:(-1,O)U(1,3).

【点睛】

本题主要考查不等式的求解，根据不等式的等价性结合图象之间的关系是解决本题的关

键.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步

骤。

17、(1)=4〃—2(2)第1000项

【解析】

a,+(3a,+3c/)=20

(D由题意有:\'J，解方程组即得数列｛qJ的通项公式；(2)假设

5q+10J=50

3998是数列仅“｝中的项，有4〃—2=3998,得〃=1000,即可判断得解.

【详解】

解：(D设数列｛%｝的公差为“,

q+(34+34)=202

由题意有解得《q

5q+10d=50cl4

则数列伍“｝的通项公式为4=2+4(〃-1)=4〃—2.

(2)假设3998是数列｛%｝中的项，W4«-2=3998,得〃=1000,

故3998是数列｛4｝中的第1000项.

【点睛】

本题主要考查等差数列基本量的计算，考查某一项是否是等差数列中的项的判定，意在

考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.

18、(1)—；(2)4G

3

【解析】

3

(1)利用三角形面积公式得出和S»8c的表达式，由化简得

出sinN54c的值；

(2)由5皿/氏4。=逑结合N84C=NB4O+C,得出cos/A4O=述，在

323

△ABD中，利用余弦定理得出80=百，再由余弦定理得出cosNAO8=-X」，进

3

而得出cos/AOC=y3,由直角三角形的边角关系得出0c=36，最后由

3

3C=3。+Z)C得出8c的长.

【详解】

(1)因为AD_LAC，^ADC~^ABC9且A3=，AD=3

所以,x3xAC=3x』xACx3五xsinABAC

242

即还sin/8AC=l，所以sin/BAC=迪.

43

(2)由(1)知sinZR4C=sin(N3AD+e]=^,所以cos/84D=逑

I2J33

在AABO中，AB=36，AD=3,cosNBAO=^-

由余弦定理

BD-=AB2+AD2-2ABxADcosABAD=18+9—2x30x3x=3

3

所以8£>=JL

AD2+BD2-AB29+3-18_&

且cosZADB=

2ADxBD2x3x6—3

所以cosNA0C=-cosNA06=y^=a^=3,解得。。=3百.

3DCDC

所以BC=8。+DC=6+36=.即边BC的长为473.

【点睛】

本题主要考查了三角形面积公式以及余弦定理的应用，属于中档题.

MY-'

19、(1)a“=2x-；(2)〃=88

【解析】

(1)首先利用数列的递推关系式求出数列的通项公式；

(2)先求出仇=〃，再利用裂项相消法求出数列的和，解出〃即可.

【详解】

(1)由S“为数列｛a,,｝的前〃项和，且满足S,,=4a,-6.

当”=1时，E=4q-6,得q=2.

/、/、a”4