概率统计(第九章-方差分析)

第九章方差分析本章要点(1)方差分析的概念；(2)单因素试验的方差分析原理与方法；(3)双因素无重复试验的方差分析原理与方法；(4)双因素等重复试验的方差分析原理与方法。根本要求(1)理解方差分析的概念；了解方差分析的原理(2)掌握单因素试验的方差分析原理与方法；(3)了解双因素无重复试验的方差分析方法；(4)了解双因素等重复试验的方差分析方法。主要学习内容9.1单因素试验的方差分析9.2双因素无重复试验的方差分析9.3双因素等重复试验的方差分析9.1单因素试验的方差分析方差分析在科学实验或生产实践中,任何事物总是受很多因素影响的.例如,工业产品的质量受原料、机器、人工等因素的影响。农作物的产量受种子、肥料、土壤、水分、天气等因素的影响.利用试验数据,分析各个因素对该事物的影响是否显著,数理统计中所采用的一种有效方法就是方差分析.单因素试验的概念为了分析某一个因素A对所考察的随机变量ξ的影响,我们可以在试验时让其它因素保持不变,而只让因素A改变,这样的试验叫做单因素试验,因素A所处的状态叫做水平.单因素试验的方差分析原理设因素A有不同水平,各水平对应的总体服从正态分布,i=1,2,...,l;这里,我们假定各有相同的标准差σ,但各总体均值可能不同.例如,可以是用l种不同工艺生产的电灯泡的使用寿命,或者是l个不同品种的小麦的单位面积产量,等等.在水平进行ni次试验,i=1,2,...,l；我们假定所有的试验都是独立的.设得到样本观测值xij如下表:水平A1A2Al观察值因为在水平下的样本观测值与总体服从相同的分布,所以有,(i=1,2,...,l)

(9.1)我们的任务就是根据这l组观测值来检验因素A对试验结果的影响是否显著.如果因素A的影响不显著,那么所有样本观测值就可以看作是来自同一总体,因此要检验的原假设是；(9.2)令.当(9.2)成立时，各那么原假设(9.2)等价于.方差分析问题实质上是一个假设检验问题，下面探讨如何构造适宜的统计量.方差分析统计量的构造(1)定义组内平均值总平均值，总离差平方和，组间平方和误差平方和SA反映各组样本之间的差异程度，即由于因素A的不同水平所引起的系统差异；Se反映各种随机因素引起的试验误差.(2)几个重要结论我们可以导出如下结论：1)

;证明2)

SA与Se是相互独立的；3)

；4)

假设H0成立，那么，.总离差平方和分解式的证明即定义了现要证明：证明因为又因为所以(3)构造F统计量利用以上结论，定义:组间平均平方和；误差平均平方和考察统计量，它服从什么分布？因为，利用上面的结论及F分布的定义可知F～F(l-1,n-l)方差分析的方法如果因素A的各个水平对总体的影响差不多,那么组间平方和SA较小,因而F也较小;反之,如果因素A的各个水平对总体的影响显著不同,那么组间平方和SA较大,因而F也较大.由此可见,我们可以根据F值的大小来检验上述原假设H0.对于给定的显著性水平α,由F分布表5查得相应的分位数.如果由样本观测值计算得到的F的值大于，那么在水平α下拒绝原假设H0,即认为因素A的不同水平对总体有显著影响;如果F的值不大于,那么接受H0,即认为因素A的不同水平对总体无显著影响.通常分别取α=0.05和α=0.01,按F所满足的不同条件作出不同的判断：条

件显著性F≤F0.05不显著F0.05<F≤F0.01显著〔可用“*”表示〕F>F0.01高度显著〔可用“**”表示〕通常还根据计算结果，列出如下方差分析表：方差来源平方和自由度均方和F值临界值显著性组间误差SASel-1n-lF0.05F0.01

总和Sn-1

例1例2注：有时为了简化计算，可把全部观察值xij减去或加上一个常数C,并不影响离差平方和的计算结果.例1用四种不同的工艺生产电灯泡.从各种工艺生产的电灯泡中分别抽取样品，并测得样品的寿命〔小时〕如下：工艺A1A2A3A4观察值1620167017001750180015801600164017201460154016201500155016101680试检验这四种工艺生产的电灯泡寿命是否有显著差异.解为了化简计算，把全部观察值减去常数1500，再计算各离差平方和后可得方差分析表：方差来源平方和自由度均方和F值临界值显著性组间误差62820618803122094051574.06F0.05=3.49F0.01=5.95*

总和12470015

其中n1=5,n2=4,n3=3,n4=4,l=4,n=16.因为F=4.06介于F0.05(3，12)和F0.01(3，12)之间，故可认为不同工艺生产的电灯泡寿命是有显著差异的.第一种工艺生产的电灯泡平均寿命为1708小时，明显比其它工艺生产的电灯泡平均寿命大，故应采纳此工艺.例2对于高压电的电路网络,需要使用抗张强度较大而且均匀性较好的电缆.每一条电缆是由同样长度的导线12根合并而成.现在为了检验一批电缆所用导线的抗张强度是否来自同一正态总体,抽查了9条电缆的每一根导线的抗张强度,测试值〔kg〕如下表所示〔为了化简计算，全部测试值都减去了340〕电缆A1A2A3A4A5A6A7A8A9测试值5-13-5-2-10-6-50-32-7-5-11-13-88-3-12-12-105-6-12-100-10-15-12-2-8-50-4-1-5-11-124210-5-8-120-5-3-307150106520-1-10-210-5-4-10251-267-1021-427510-42-107510812-360526781511-7710781试检验这9条电缆的抗张强度是否有显著差异.解把9条电缆看作9个不同水平，同一条电缆中的12条导线的测试值可认为是在同一水平下作12次测试.此时，l=9,ni=12(i=1,2,…,l),n=108.计算得SA=1924.3,Se=2626.9再列出方差分析表：方差来源平方和自由度均方和F值临界值显著性组间误差1924.32626.9899240.5426.539.07F0.05=2.03F0.01=2.70**

总和4551.2107

因为F=9.07>2.70=F0.01(8,99),故可认为这9条电缆的抗张强度有显著差异.9.2双因素无重复试验的方差分析双因素试验的方差分析原理如果我们要同时考虑两个因素A与B对所考察的随机变量ξ是否有影响的问题，那么应讨论双因素试验的方差分析.设因素A有不同水平,因素B有不同水平，在它们的每一种搭配(Ai，Bj)下的总体服从正态分布,i=1,2,...,l;j=1,2,…,m.这里,我们假定各有相同的标准差σ,但各总体均值可能不同.所谓无重复试验就是因素A和B的每一种水平搭配(Ai，Bj)下仅取一个观察值xij.我们假定所有的试验都是独立的.全部样本观测值xij可用下表表示:因素B因素AB1B2BmA1A2…Al因为观测值与总体服从相同的分布,所以有,(i=1,2,...,l,j=1,2,…,m)

(9.24)我们的任务就是根据这些观测值来检验因素A和B对试验结果的影响是否显著.令显然有，，因此可表示为假设因素A或B的影响不显著，那么其各水平的效应为零.要检验的原假设可分别设为，

〔9.33〕，

〔9.34〕方差分析统计量的构造(1)定义第i行平均值第j列平均值总平均值，总离差平方和，因素A的离差平方和，因素B的离差平方和,误差平方和.SA与SB分别反映因素A和B的不同水平所引起的系统差异；而Se那么反映各种随机因素引起的试验误差.(2)几个重要结论我们可以导出如下结论：1)

;2)

SA、SB、Se是相互独立的；3)

；4)

假设H01成立，那么，5)

假设H02成立，那么.(3)构造F统计量利用以上结论，定义:因素A的平均平方和；因素B的平均平方和；误差平均平方和.考察统计量，利用上面的结论及F分布的定义可知当H01成立时，FA~F(l-1,(l-1)(m-1)),当H02成立时，FB~F(m-1,(l-1)(m-1)).方差分析的方法与单因素试验方差分析方法相仿，我们可以根据FA与FB的值的大小来检验上述原假设H01与H02。对于给定的显著性水平α,由F分布表查得相应的分位数.如果由样本观测值计算得到的F的值大于,那么在水平α下拒绝原假设,即认为该因素的不同水平对总体有显著影响;如果F的值不大于,那么接受原假设,即认为该因素的不同水平对总体无显著影响.通常分别取α=0.05和α=0.01,按F所满足的不同条件作出不同的判断：条

件显著性F≤F0.05不显著F0.05<F≤F0.01显著〔可用“*”表示〕F>F0.01高度显著〔可用“**”表示〕通常还根据计算结果，列出如下方差分析表：方差来源平方和自由度均方和F值临界值显著性因素ASAl-1FA0.05FA0.01

因素BSBm-1FB0.05FB0.01

误差Se(l-1)(m-1)

总和Slm-1

例3例4注：有时为了简化计算，可把全部观察值xij减去或加上一个常数C,并不影响离差平方和的计算结果.例3四个工人分别操作三台机器各一天，日产量如下表：机器工人B1B2B3A1A2A3A4504748536055525755424449试检验工人和机器对产品的产量是否有显著影响.解先计算出和，再计算出各离差平方和S=314,

SA=114,SB=158,

Se=42.然后可得方差分析表：方差来源平方和自由度均方和F值临界值显著性因素A〔工人〕1143385.43FA0.05=4.76FA0.01=9.78*因素B〔机器〕15827911.29FB0.05=5.14FB0.01=10.9**误差4267

总和31411

从上表可见，工人的操作技术对产量有显著影响，而机器的不同对产量有特别显著的影响.再从第1行均值大于其它行的均值，可认为工人A1操作技术显著地好.从第2行均值大于其它列的均值，可认为机器B2的产量特别显著地高.例4为了解3种不同配比的饲料对仔猪生长影响的差异,对3种不同品种的猪各选3头进行试验,分别测得其3个月体重增加量如下表所示.假定其体重增长量服从正态分布,且各种配比的方差相等.试分析不同饲料与不同品种对猪的长有无显著影响.品种饲料B1B2B3A1A2A3515352565758454947解先将全部数据减去50，再计算出各离差平方和S=162,

SA=26/3,

SB=150,

Se=10/3.然后可得方差分析表：方差来源平方和自由度均方和F值临界值显著性因素A〔饲料〕26/3213/35.2FA0.05=6.94FA0.01=18

因素B〔品种〕15027590FB0.05=6.94FB0.01=18**误差10/345/6

总和1628

从上表可见，FA=5.2<FA0.05=6.94,说明几种不同的饲料对猪体重的增加无显著影响，而FB=90>FB0.01=18,说明品种的差异对的猪的体重的增加的影响特别显著.9.3双因素等重复试验的方差分析交互作用的概念交互作用-------两个因素A与B的各个水平之间的不同搭配对试验结果的影响.例5某化工厂为了掌握不同的催化剂量〔毫升〕、不同的聚合时间〔小时〕和不同的聚合温度〔oC〕对合成橡胶生产中转化率〔%〕的影响规律，做了两批试验，结果如下:聚合时间催化剂量0.51

聚合温度催化剂量30502484.2089.3488.8394.252487.684.875.596.2从左上表可见，催化剂量对转化率的影响与聚合时间长短无关，聚合时间对转化率的影响也与催化剂量大小无关，从而催化剂量与聚合时间之间不存在交互作用.从右上表可见，当催化剂量为2毫升时，聚合温度低那么转化率就高；而当催化剂量为4毫升时，聚合温度高就转化率高。这说明催化剂量对转化率的影响与聚合温度有关，同理，聚合温度对转化率的影响也与催化剂量有关，从而催化剂量与聚合温度之间存在交互作用.考虑交互作用时的双因素等重复试验的方差分析原理因素A和因素B的交互作用记为或简记为I.为了分析这种交互作用，对于它们的每一种搭配(Ai，Bj)〔i=1,2,…l;j=1,2,…,m〕需要分别进行r≥2次重复试验，即共需进行lmr次试验.设搭配(Ai，Bj)下的总体服从正态分布,i=1,2,...,l;j=1,2,…,m.这里,我们假定各有相同的标准差σ,但各总体均值可能不同.我们假定所有的试验都是独立的.全部样本观测值xijk〔i=1,2,…l;j=1,2,…,m;k=1,2,…,r〕可用下表表示:因素B因素AB1B2BmA1………………Al…因为观测值xijk与总体服从相同的分布,所以有,(i=1,2,...,l,j=1,2,…,m;k=1,2,…,r)

(9.56)我们的任务就是根据这些观测值来检验因素A、B及其交互作用对试验结果的影响是否显著.我们仍沿用第二节的符号，再定义Ai和Bj对试验结果的交互效应为，(i=1,2,...,l,j=1,2,…,m)那么，(i=1,2,...,l,j=1,2,…,m)且易证.我们要检验因素A、B及其交互作用对试验结果的影响是否显著.相当于检验原假设：，(i=1,2,...,l,j=1,2,…,m)方差分析统计量的构造(1)定义总平均值，总离差平方和，因素A的离差平方和，因素B的离差平方和,交互作用的离差平方和.误差平方和.SA与SB分别反映因素A和B的不同水平所引起的系统差异；SI反映因素A和B的不同水平搭配所引起的系统差异；而Se那么反映各种随机因素引起的试验误差.(2)几个重要结论我们可以导出如下结论：1);2)SA、SB、SI、Se是相互独立的；3)；4)假设H01成立，那么,5)假设H02成立，那么.6)假设H03成立，那么.(3)构造F统计量利用以上结论，定义:因素A的均方和；因素B的均方和；交互作用均方和；误差均方和.考察统计量，利用上面的结论及F分布的定义可知当H01成立时，FA~F(l-1,lm(r-1)),

当H02成立时，FB~F(m-1,lm(r-1)).当H03成立时，FI~F((l-1)(m-1),lm(r-1)).方差分析的方法我们可以根据FA、FB与FI的值的大小来检验上述原假设H01、H02与H03。对于给定的显著性水平α,由F分布表查得相应的分位数.

通过比拟F的值与的大小，判断该因素的不同水平对总体有没有显著影响.通常分别取α=0.05和α=0.01,按F所满足的不同条件作出不同的判断：条

件显著性F≤F0.05不显著F0.05<F≤F0.01显著〔可用“*”表示〕F>F0.01高度显著〔可用“**”表示〕通常还根据计算结果，列出如下方差分析表：方差来源平方和自由度均方和F值临界值显著性因素ASAl-1FA0.05FA0.01

因素BSBm-1FB0.05FB0.01

交互作用ISI(l-1)(m-1)FI0.05FI0.01

误差Selm(r-1)

总和Slmr-1

例6例7注：有时为了简化计算，可把全部观察值xijk减去或加上一个常数C,并不影响离差平方和的计算结果.例6四个工人分别操作三台机器各两天，日产量如下表：机器工人B1B2B3A1A2A3A442，4546，5148，5342，4543，4946，5244，4953，5643，4852，5641，4445，47试检验工人、机器和交互作用对产品的产量是否有显著影响.解先计算出平均值如下表机器工人B1B2B3A1A2A3A443.548.550.543.546.049.046.554.545.554.042.546.045.050.546.548.046.549.047.0

再计算出各离差平方和S=454,

SA=99,

SB=28,

SI=213,

Se=114.然后可得方差分析表：方差来源平方和自由度均方和F值临界值显著性工人993333.47FA0.05=3.49

机器282141.47FB0.05=3.89

交互作用213635.53.74FI0.05=3.0FI0.01=4.82*误差114129.5

总和45423

从上表可见，工人的操作技术和机器各自对产量无显著影响，而两者的交互作用却对产量有显著的影响.由于和明显大于其它的值，故可认为工人A4操作机器B2和工人A2操作机器B3都十分得心应手，产量显著地高.例7一种火箭使用4种燃料和3种推进器作射程试验，每种燃料和每种推进器作了2次试验，得射程〔km〕如下表：推进器燃料B1B2B3A1A2A3A458.2，52.649.1，42.860.1，58.375.8，71.556.2，41.254.1，50.570.9，73.258.2，51.065.3，60.851.6，48.439.2，40.748.7，41.4试检验燃料、推进器及其交互作用对火箭的射程是否有显著影响.解计算出方差分析表：方差来源平方和自由度均方和F值临界值显著性燃料261.68387.234.42FA0.05=3.49FA0.01=5.95*推进器370.982185.499.39FB0.05=3.89FB0.01=6.93**交互作用1768.666294.7814.93FI0.05=3.0FI0.01=4.82**误差236.981219.75

总和2638.3023

结论：燃料对火箭射程的影响是显著的；推进器对火箭射程的影响是高度显著的；燃料与推进器的搭配对火箭射程的影响是高度显著的.

最好的搭配是A4与B1.方差分析的软件介绍方差分析的计算量相当大，人工计算太烦了.不过，请您不要灰心，只要能掌握一个计算机软件,必将事半功倍.麻烦的计算，让计算机搞定.

Microsoft

Excel

方差分析功能介绍Microsoft

Excel是一个十分通用的计算机软件，它含有方差分析的功能.方差分析(AnalysisofVariance,简称ANOVA)方法能判断各因素对试验指标的影响是否显著，并找出较好的水平组合.1.单因素方差分析假设要考虑一个因素对某项试验指标的影响是否显著,那么可通过对此因素的多个水平进行比拟,找到最优水平,这时可采用单因素方差分析方法.例8为提高合成纤维的抗拉强度,考虑合成纤维中棉花百分比这一因素A对其抗拉强度y的影响.选定因素A的5个水平:A1=15%,A2=20%,A3=25%,A4=30%,A5=35%.各水平重复试验