高考数学大题精做专题06数列中的最值问题(第二篇)(原卷版+解析)

备战2020年高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品第二篇数列与不等式专题06数列中的最值问题类型对应典例利用二次函数的最值求数列的最值典例1利用导数工具求数列的最值典例2借助基本初等函数的单调性求最值典例3利用函数的性质求数列的最值典例4利用数列的单调性求数列的最值典例5利用基本不等式求数列的最值典例6利用不等式恒成立求数列中的最值典例7【典例1】【2019年10月广东省广州市天河区一模】在等比数列中，公比，且满足，．（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，当取最大值时，求的值．【思路引导】（1）根据等比数列的性质化简，，联立即可解出答案（2）根据写出，求出，写出，再求出其前n项的和，判断即可。【典例2】【贵州省凯里市第一中学2019届高三下学期模拟考试】在等差数列中，已知.（I）求数列的通项公式；（II）记为数列的前项和，求的最小值.【思路引导】（1）根据等差数列的基本量运算，得到首项和公差，得到通项（2）根据（1）求出的等差数列，得到其前项和，表示出，然后找到其最小值，注意.【典例3】【2019届高三第一次全国大联考】已知数列对任意满足．（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，求使得成立的正整数的最小值．【思路引导】（1）由，可得，两式相减可得，然后再验证是否满足上式即可得到结论．（2）根据（1）中的通项公式求出，然后根据题意得到不等式，最后根据函数的单调性求出不等式的解集后可得所求．【典例4】【河北省衡水市衡水中学2019届高三下学期六调】已知为公差不等于零的等差数列，为的前项和，且为常数列.（1）求；（2）.设，仅当时，最大，求.【思路引导】（1）将等差数列的通项和求和全部用基本量表示，然后对整理，令的系数和常数项为，得到答案.（2）表示出通项，然后化成反比例函数平移的形式，根据对称中心，得到公差的范围，然后根据，得到的值，再求出的通项.【典例5】【宁夏银川一中2019届高三第四次月考】已知数列，，，且满足（且）（1）求证：为等差数列；（2）令，设数列的前项和为，求的最大值.【思路引导】(1)将式子变形得到，故得到数列是公差为2的等差数列；（2）通过第一问的结论，以及累加法的应用得到，代入表达式得到，设，，将此式和0比即可得到最大项.【典例6】已知等差数列中，公差，其前项和为，且满足：．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）通过公式构造一个新的数列．若也是等差数列，求非零常数；（Ⅲ）求的最大值．【典例7】【天津市南开区2019届高三第二学期模拟考试（二】已知数列的前项和，数列满足.（Ⅰ）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；（Ⅱ）设，数列的前项和为，求满足的的最大值.【思路引导】(Ⅰ)利用，整理可得数列是首项和公差均为1的等差数列，求出的通项公式可得数列的通项公式；(Ⅱ)由(Ⅰ)可得，利用裂项相消法求得，解不等式可得结果.【针对训练】1.【晋冀鲁豫中原名校2019届高三第三次联考】已知正项等比数列的前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）令，记数列的前项和为，求及的最大值.2.【辽宁省大连市瓦房店市高级中学2019-2020学年高三上学期10月月考】已知数列中，，，且，（1）求；（2）若，，当为何值时，取最小值？并求出最小值.3.已知函数（为常数，且），且数列是首项为，公差为的等差数列．（1）求证：数列是等比数列；（2）若，当时，求数列的前项和的最小值.4.【安徽省黄山市2019-2020学年上学期高中毕业班第一次质量检测】已知等比数列中，，，且，.（1）求的通项公式；（2）设，若前的前项和，求的最大值.5.【2020届广东省深圳市高三上学期第二次教学质量检测数学】记数列的前n项和为，且.递增的等比数列满足，，，记数列的前n项和为.（1）求数列与的通项公式；（2）求满足的最大正整数n的值.6.【浙江省温州九校2019届高三第一次联考数学试题】已知数列中，，（1）令，求证：数列是等比数列；（2）令，当取得最大值时，求的值.7.【2020届湖南省长沙市雅礼中学高三第5次月考】已知首项为的等比数列的前项和为，且，，成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）对于数列，若存在一个区间，均有，则称为数列的“容值区间”.设，试求数列的“容值区间”长度的最小值.8.【江苏省盐城市盐城中学2019-2020学年高三11月月考】已知正项数列的前项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）若，数列的前项和为，求的取值范围.备战2020年高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品第二篇数列与不等式专题06数列中的最值问题类型对应典例利用二次函数的最值求数列的最值典例1利用导数工具求数列的最值典例2借助基本初等函数的单调性求最值典例3利用函数的性质求数列的最值典例4利用数列的单调性求数列的最值典例5利用基本不等式求数列的最值典例6利用不等式恒成立求数列中的最值典例7【典例1】【2019年10月广东省广州市天河区一模】在等比数列中，公比，且满足，．（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，当取最大值时，求的值．【思路引导】（1）根据等比数列的性质化简，，联立即可解出答案（2）根据写出，求出，写出，再求出其前n项的和，判断即可。解：（1），可得，由，即，①，由，可得，，可得，即，②由①②解得舍去），，则；（2），可得，，则，可得或9时，取最大值18．则的值为8或9．【典例2】【贵州省凯里市第一中学2019届高三下学期模拟考试】在等差数列中，已知.（I）求数列的通项公式；（II）记为数列的前项和，求的最小值.【思路引导】（1）根据等差数列的基本量运算，得到首项和公差，得到通项（2）根据（1）求出的等差数列，得到其前项和，表示出，然后找到其最小值，注意.解：(Ⅰ)由得，由，得，即数列的通项公式为.(Ⅱ)由(Ⅰ)得，，，令，,当；当则在上单调递减，在上单调递增，又，当或时，，取到最小值，即的最小值为.【典例3】【2019届高三第一次全国大联考】已知数列对任意满足．（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，求使得成立的正整数的最小值．【思路引导】（1）由，可得，两式相减可得，然后再验证是否满足上式即可得到结论．（2）根据（1）中的通项公式求出，然后根据题意得到不等式，最后根据函数的单调性求出不等式的解集后可得所求．解：（1）因为①，所以②，①②两式相减，得，所以③．又当时，得，不满足上式．所以数列的通项公式为．（2）由（1）知，，所以不成立，当时，，由，得．令，则为增函数，又．因此要使成立，只需，故使成立的正整数的最小值为7．【典例4】【河北省衡水市衡水中学2019届高三下学期六调】已知为公差不等于零的等差数列，为的前项和，且为常数列.（1）求；（2）.设，仅当时，最大，求.【思路引导】（1）将等差数列的通项和求和全部用基本量表示，然后对整理，令的系数和常数项为，得到答案.（2）表示出通项，然后化成反比例函数平移的形式，根据对称中心，得到公差的范围，然后根据，得到的值，再求出的通项.解：（1）设首项为，公差为，则整理得：对任意的恒成立，只须解得：.（2）由题意可知，数列的对称中心为因为仅当时，最大，所以，解得，又因，所以,【典例5】【宁夏银川一中2019届高三第四次月考】已知数列，，，且满足（且）（1）求证：为等差数列；（2）令，设数列的前项和为，求的最大值.【思路引导】(1)将式子变形得到，故得到数列是公差为2的等差数列；（2）通过第一问的结论，以及累加法的应用得到，代入表达式得到，设，，将此式和0比即可得到最大项.解：（1），则.所以是公差为2的等差数列.（2）.当满足.则.∴，∴，设，∴，∴∴当时，，即，当时，，即，∴，则的最大值为【典例6】已知等差数列中，公差，其前项和为，且满足：．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）通过公式构造一个新的数列．若也是等差数列，求非零常数；（Ⅲ）求的最大值．解：(1)∵数列{an}是等差数列．∴a2＋a3＝a1＋a4＝14，由，解得或．∵公差d>0，∴a2＝5，a3＝9．∴d＝a3－a2＝4，a1＝a2－d＝1．∴．(2)∵Sn＝na1＋n(n－1)d＝n＋2n(n－1)＝2n2－n，∴．∵数列{bn}是等差数列，∴2b2＝b1＋b3，∴2·＝＋，解得(c＝0舍去)．∴．显然{bn}成等差数列，符合题意，∴．(3)由（2）可得，当且仅当，即时等号成立．∴f(n)的最大值为．【典例7】【天津市南开区2019届高三第二学期模拟考试（二】已知数列的前项和，数列满足.（Ⅰ）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；（Ⅱ）设，数列的前项和为，求满足的的最大值.【思路引导】(Ⅰ)利用，整理可得数列是首项和公差均为1的等差数列，求出的通项公式可得数列的通项公式；(Ⅱ)由(Ⅰ)可得，利用裂项相消法求得，解不等式可得结果.解：(Ⅰ)，当时，，，

化为，，即当时,，

令,可得,即.又,数列是首项和公差均为1的等差数列.

于是，.

(Ⅱ)由(Ⅰ)可得,,可得，，因为是自然数，所以的最大值为4.【针对训练】1.【晋冀鲁豫中原名校2019届高三第三次联考】已知正项等比数列的前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）令，记数列的前项和为，求及的最大值.【思路引导】（1）利用基本元的思想将已知转化为的形式，由此求得，进而求得数列的通项公式.（2）先求得的表达式，根据等差数列前项和公式求得，再利用二次函数的性质求得的最大值.解：（1）设数列的公比为，若，有，，而，故，则，解得.故数列的通项公式为.（2）由，则.由二次函数的对称轴为，故当或15时有最大值，其最大值为.2.【辽宁省大连市瓦房店市高级中学2019-2020学年高三上学期10月月考】已知数列中，，，且，（1）求；（2）若，，当为何值时，取最小值？并求出最小值.【思路引导】（1）由，得，两式作差得，由，计算得，满足，得等比数列，即可求出；（2）由（1）得，满足，得是等差数列，计算出即可.解：（1）在数列中，①，②①-②得：，.且，在①式中，令，得，，即，是以为首项，以2为公比的等比数列，.（2）由（1）知，，且，且，所以是以为首项，以为公差的等差数列，.时，最小，最小值为.3.已知函数（为常数，且），且数列是首项为，公差为的等差数列．（1）求证：数列是等比数列；（2）若，当时，求数列的前项和的最小值.【思路引导】（1）由题意得出，利用对数运算得出，然后计算出为非零常数，利用等比数列的定义可证明出数列是等比数列；（2）求出和，利用分组求和法得出，然后分析数列为单调递增数列，可得出该数列的最小值为，由此可得出结果；解：（1）证明：由题意，即，得，且，．常数且，为非零常数，数列是以为首项，为公比的等比数列；（2）当时，，，..，数列是递增数列，因而最小值为；4.【安徽省黄山市2019-2020学年上学期高中毕业班第一次质量检测】已知等比数列中，，，且，.（1）求的通项公式；（2）设，若前的前项和，求的最大值.【思路引导】(1)由是等比数列，令可列出方程求出，代入等比数列通项公式即可；（2）表示出的通项公式，由错位相减法可求得，代入已知不等式即可得解.解：（1）由是等比数列，令可得或（舍去），故.（2）由题，所以又两式相减得易知单调递增，且，故的最大值为.5.【2020届广东省深圳市高三上学期第二次教学质量检测数学】记数列的前n项和为，且.递增的等比数列满足，，，记数列的前n项和为.（1）求数列与的通项公式；（2）求满足的最大正整数n的值.【思路引导】（1）当时，解得；时，利用得到；再计算得到答案.（2）计算，，故，则，计算得到答案.解：（1）当时，，解得；当时，，，两式相减，可得，故，故，.则，，记数列的公比为q，则，则或，而数列递增，故舍去，故.（2）依题意，，而，故，则，因为，且，，故满足的最大正整数n的值为6.6.【浙江省温州九校2019届高三第一次联考数学试题】已知数列中，，（1）令，求证：数列是等比数列；（2）令，当取得最大值时，求的值.【思路引导】（1）由题可得两式相减，得，即，求出，即可得证；（2）由（1）可知，即，通过累加可得则，而，令，讨论的符号可得的最大值，进而得到.解：（1）两式相减，得∴即：∴数列是以2为首项，2为公比的等比数列（2）由（1）可知，即也满足上式令，则，∴最大，即7.【2020届湖南省长沙市雅礼中学高三第5次月考】已知首项为的等比数列的前项和为，且，，成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）对于数列，若存在一个区间，均有，则称为数列的“容值区间”.设，试求数列的“容值区间”长度的最小值.【思路引导】（1）根据，求出公比，即可得解；（2）对项数分奇偶讨论的取值范围，即可得到区间长度的最小值.解：（1）由题意可知：，即，∴，即公比又，∴.（2）由（1）可知.当为偶数时，易知随增大而增大，∴，根据勾型函数性质，此时.当为奇数时，易知随增大而减小，∴，根据勾型函数性质，此时.又，∴.故数列的“容