高考数学一轮复习小题多维练(新高考专用)第30练空间向量的应用(原卷版+解析)

专题09空间向量与立体几何第30练空间向量的应用1．(2023·广西南宁·一模（理））在正方体中O为面的中心，为面的中心.若E为中点，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．2．(2023·河南·汝州市第一高级中学模拟（文））在正方体中，E，F分别为棱AD，的中点，则异面直线EF与所成角的余弦值为（

）．A． B． C． D．3．(2023·辽宁丹东·模拟）在三棱锥中，平面ABC，，是正三角形，M，N分别是AB，PC的中点，则直线MN，PB所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．4．(2023·福建泉州·模拟）在正方体中，E，F，G分别是，的中点，则（

）A．平面 B．平面C．平面 D．平面5．(2023·陕西商洛·二模（文））在正方体中，点P是底面的中心，则直线与所成角的余弦值为___________.6．(2023·内蒙古赤峰·模拟（理））在正方体中，点、分别为棱、的中点，则异面直线与所成角的余弦值为_____.7．(2023·新疆乌鲁木齐·模拟（理））如图，在正方体中，直线和平面所成角的正弦值是____；1．(2023·湖南衡阳·二模）设、是空间中两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列说法正确的是（

）A．若，，，则B．若，，，则C．若，，，则D．若，，，，则2．如图，矩形ABCD是圆柱的轴截面，，，点E在上底面圆周上，且，则异面直线AE与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．3．如图，在三棱锥中，平面ABC，是边长为2的正三角形，，E，F分别为MA，MC的中点，则异面直线BE与AF所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．4．(2023·北京·首都师范大学附属中学三模）如图，在正方体中，为棱上的动点，为棱的中点，则下列选项正确的是（

）A．直线与直线相交B．当为棱上的中点时，则点在平面的射影是点C．存在点，使得直线与直线所成角为D．三棱锥的体积为定值5．(2023·湖北·鄂南高中模拟）已知正方体的棱长为.以为坐标原点，以为轴正半轴，为轴正半轴，为轴正半轴建立空间直角坐标系，动点满足直线与所成夹角为的最大值为（

）A． B． C．1 D．26．(2023·青海·模拟（理））手工课可以提高学生的动手能力、反应能力、创造力，使学生在德、智、体、美、劳各方面得到全面发展，某小学生在一次手工课上制作了一座漂亮的房子模型，它可近似地看成是一个直三棱柱和一个长方体的组合图形，其直观图如图所示，，，P，Q，M，N分别是棱AB，，，的中点，则异面直线PQ与MN所成角的余弦值是______．7．(2023·北京市第十二中学三模）在棱长为1的正方体中，点P是对角线的动点（点P与不重合），则下列结论正确的有___________.①存在点P，使得平面平面；②存在点P，使得平面；③分别是在平面，平面上的正投影图形的面积，对任意的点P都有；④对任意的点P，的面积都不等于.8．(2023·浙江·赫威斯育才高中模拟）如图，在四棱锥中，，分别是，的中点，底面，，，，若平面平面，则二面角的正弦值是_________.9．(2023·吉林长春·模拟（理））现有四棱锥（如图），底面ABCD是矩形，平面ABCD.，，点E，F分别在棱AB，BC上.当空间四边形PEFD的周长最小时，异面直线PE与DF所成角的余弦值为___________.1．(2023·浙江·杭州高级中学模拟）如图，已知矩形的对角线交于点，将沿翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得，则的取值范围是（

）A． B．C． D．2．(2023·陕西·交大附中模拟（理））在矩形中，，，沿对角线将矩形折成一个大小为的二面角，若，则下列结论中正确结论的个数为（

）①四面体外接球的表面积为②点与点之间的距离为③四面体的体积为④异面直线与所成的角为A． B． C． D．3．(2023·河南·模拟（文））在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上､下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的曲池，它的高为2，，，，均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2，对应的圆心角为90°，则图中异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．4．（多选题）在棱长为1的正方体中，分别为线段上的动点（均不与点重合），则下列说法正确的是（

）A．存在使得平面B．存在使得C．当平面时，三棱锥与体积之和最大值为D．记与平面所成的角分别为，则5．（多选题）(2023·辽宁·鞍山一中模拟）如图，已知二面角的棱上有不同两点和，若，，，，则（

）A．直线和直线为异面直线B．若，则四面体体积的最大值为2C．若，，，，，，则二面角的大小为D．若二面角的大小为，，，，则过、、、四点的球的表面积为6．（多选题）(2023·山东济南·二模）在棱长为1的正方体中，E，F，G分别为线段，CD，CB上的动点（E，F，G均不与点C重合），则下列说法正确的是（

）A．存在点E，F，G，使得平面EFGB．存在点E，F，G，使得C．当平面EFG时，三棱锥与C-EFG体积之和的最大值为D．记CE，CF，CG与平面EFG所成的角分别为，，，则7．(2023·湖南·长沙市明德中学二模）如图，在三棱锥中，，，分别为棱的中点，为三棱锥外接球的球心，则球的体积为________；平面截球所得截面的周长为________．8．(2023·广东·模拟）已知正四面体内接于半径为的球中，在平面内有一动点，且满足，则的最小值是___________；直线与直线所成角的取值范围为___________.专题09空间向量与立体几何第30练空间向量的应用1．(2023·广西南宁·一模（理））在正方体中O为面的中心，为面的中心.若E为中点，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．答案：B【解析】设正方体的边长为，建立如图所示空间直角坐标系，，，设异面直线与所成角为，则.故选：B2．(2023·河南·汝州市第一高级中学模拟（文））在正方体中，E，F分别为棱AD，的中点，则异面直线EF与所成角的余弦值为（

）．A． B． C． D．答案：A【解析】如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则，∴，∴，即异面直线EF与所成角的余弦值为.故选：A.3．(2023·辽宁丹东·模拟）在三棱锥中，平面ABC，，是正三角形，M，N分别是AB，PC的中点，则直线MN，PB所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．答案：D【解析】如图，以AC的中点O为坐标原点建立空间直角坐标系，设则，则直线MN，PB所成角的余弦值为故选：D．4．(2023·福建泉州·模拟）在正方体中，E，F，G分别是，的中点，则（

）A．平面 B．平面C．平面 D．平面答案：A【解析】解：取、、的中点分别记为、、，连接、、、，根据正方体的性质可得面即为平面，对于A：如图，，平面，平面，所以平面，故A正确；对于B：如图，在平面中，，则平面，所以B错误；对于C、D：如图，平面，因为过平面外一点作（）仅能作一条垂线垂直该平面，故C、D错误；其中平面可按如下证明：如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为，则，，，，，所以，，，所以，，即，，又，平面，所以平面；故选：A5．(2023·陕西商洛·二模（文））在正方体中，点P是底面的中心，则直线与所成角的余弦值为___________.答案：【解析】如图，以为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则，，，，设直线与所成角为，则故答案为：6．(2023·内蒙古赤峰·模拟（理））在正方体中，点、分别为棱、的中点，则异面直线与所成角的余弦值为_____.答案：【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，设该正方体的棱长为，，，异面直线与所成角的余弦值：，故答案为：7．(2023·新疆乌鲁木齐·模拟（理））如图，在正方体中，直线和平面所成角的正弦值是____；答案：【解析】设正方体的边长为，建立如图所示空间直角坐标系，则，，设平面的法向量为，则，故可设.设直线和平面所成角为，则.故选：1．(2023·湖南衡阳·二模）设、是空间中两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列说法正确的是（

）A．若，，，则B．若，，，则C．若，，，则D．若，，，，则答案：A【解析】对于A选项，设直线、的方向向量分别为、，因为，，则平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，因为，则，故，A对；对于B选项，若，，，则、平行或异面，B错；对于C选项，若，，，则、的位置关系不确定，C错；对于D选项，若，，，，则、平行或相交，D错.故选：A.2．如图，矩形ABCD是圆柱的轴截面，，，点E在上底面圆周上，且，则异面直线AE与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．答案：B【解析】根据题意可以为坐标原点，，所在直线分别为y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，故，，故，故异面直线AE与所成角的余弦值为，故选：B.3．如图，在三棱锥中，平面ABC，是边长为2的正三角形，，E，F分别为MA，MC的中点，则异面直线BE与AF所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．答案：B【解析】解法一：设H为MF的中点，连接EH，BH，如图，∵E是MA的中点，∴，.∴是异面直线BE与AF所成的角或其补角.∵平面ABC，∴，，∵，，∴，∴.∵F为MC的中点，∴，，又，∴在中，，，∴，∴异面直线BE与AF所成角的余弦值为，解法二：以A为坐标原点，AC，AM所在直线分别为y，z轴建立空间直角坐标系如图所示，易知，，，，所以，，则，∴异面直线BE与AF所成角的余弦值为，故选：B.4．(2023·北京·首都师范大学附属中学三模）如图，在正方体中，为棱上的动点，为棱的中点，则下列选项正确的是（

）A．直线与直线相交B．当为棱上的中点时，则点在平面的射影是点C．存在点，使得直线与直线所成角为D．三棱锥的体积为定值答案：D【解析】A：由题意知，，平面，平面所以平面，又平面，所以与不相交，故A错误；B：连接，如图，当点为的中点时，，又，所以，若点在平面的射影为，则平面，垂足为，所以，设正方体的棱长为2，则，在中，，所以，即不成立，故B错误；C：建立如图空间直角坐标系，连接，则，所以异面直线与所成角为直线与所成角，设正方体的棱长为2，若存在点使得与所成角为，则，所以，所以，又，得，解得，不符合题意，故不存在点使得与所成角为，故C错误；D：如图，由等体积法可知，又，为定值，所以为定值，所以三棱锥的体积为定值，故D正确.故选：D.5．(2023·湖北·鄂南高中模拟）已知正方体的棱长为.以为坐标原点，以为轴正半轴，为轴正半轴，为轴正半轴建立空间直角坐标系，动点满足直线与所成夹角为的最大值为（

）A． B． C．1 D．2答案：D【解析】正方体的棱长为,可得，,点，则，由动点满足直线与所成夹角为可得，整理得由，可得，当时取等号，即最大值为2，故选：D6．(2023·青海·模拟（理））手工课可以提高学生的动手能力、反应能力、创造力，使学生在德、智、体、美、劳各方面得到全面发展，某小学生在一次手工课上制作了一座漂亮的房子模型，它可近似地看成是一个直三棱柱和一个长方体的组合图形，其直观图如图所示，，，P，Q，M，N分别是棱AB，，，的中点，则异面直线PQ与MN所成角的余弦值是______．答案：【解析】如图，以为原点建立空间直角坐标系，因为，，所以可得，所以，所以，所以异面直线PQ与MN所成角的余弦值是.故答案为：.7．(2023·北京市第十二中学三模）在棱长为1的正方体中，点P是对角线的动点（点P与不重合），则下列结论正确的有___________.①存在点P，使得平面平面；②存在点P，使得平面；③分别是在平面，平面上的正投影图形的面积，对任意的点P都有；④对任意的点P，的面积都不等于.答案：①②④【解析】对于①，如图，因为，所以平面平面，当直线交平面于点时，有平面平面，故①正确；对于②，如图，设正方体的棱长为2，则，，则，有，，所以，，又平面，所以平面，当直线交平面于点时，有平面，故②正确；对于③，因为设（其中），则△在平面的正投影面积为，又△在平面上的正投影图形的面积与在平面的正投影图形面积相等，所以，若，则，解得或，因为，所以，故存在点，使得；故③错误；对于④，由于固定不变，只要找上的点到的距离最短即可，取中点，连接，由②的分析可证得平面，由平面得；又平面，平面，所以，所以为直线与的公垂线，此时△的面积最小；因为在正方体中，易知，又，所以，因此，；所以对任意点，△的面积都不等于,故④正确.故答案为：①②④8．(2023·浙江·赫威斯育才高中模拟）如图，在四棱锥中，，分别是，的中点，底面，，，，若平面平面，则二面角的正弦值是_________.答案：【解析】设，则平面平面，由重心的性质可得，因为底面，，设，，建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，，，设平面，的法向量为，则，，所以，由图可知，二面角的平面角为钝角，所以二面角的余弦值为，正弦值为.故答案为：9．(2023·吉林长春·模拟（理））现有四棱锥（如图），底面ABCD是矩形，平面ABCD.，，点E，F分别在棱AB，BC上.当空间四边形PEFD的周长最小时，异面直线PE与DF所成角的余弦值为___________.答案：【解析】将沿旋转到平面内，如下图所示，设点关于对称的点为，线段与的交点为，此时空间四边形PEFD的周长最小，因为，所以，同理可得：，因为底面ABCD是矩形，所以，又因为平面ABCD，平面ABCD，所以，所以可以建立如下图所示的空间直角坐标系，，，异面直线PE与DF所成角的余弦值为：，故答案为：1．(2023·浙江·杭州高级中学模拟）如图，已知矩形的对角线交于点，将沿翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得，则的取值范围是（

）A． B．C． D．答案：A【解析】如图示,设处为沿翻折后的位置，以D为坐标原点，DA,DC分别为x,y轴，过点D作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，则，设，由于,故，而，由于,故，则，即；又由在翻折过程中存在某个位置，便得，不妨假设,则，即，即，当将翻折到如图位置时，位于平面ABCD内，不妨假设此时，设垂足为G,作AD的延长线，垂足为F,此时在x轴负半轴上方向上，DF的长最大，a取最小值，由于，故,所以,而,故，又,故为正三角形，则,而,故,则，故，，则，故的取值范围是，故选：A2．(2023·陕西·交大附中模拟（理））在矩形中，，，沿对角线将矩形折成一个大小为的二面角，若，则下列结论中正确结论的个数为（

）①四面体外接球的表面积为②点与点之间的距离为③四面体的体积为④异面直线与所成的角为A． B． C． D．答案：B【解析】对于①，取的中点，连接、，则，因为，所以，，所以，为四面体的外接球球心，球的表面积为，①对；对于②③④，过点在平面内作，垂足为点，过点作交于点，则二面角的平面角为，在中，，，，则，，，则，，，，，，平面，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴，平面内过点且垂直于的垂线为轴建立如下图所示的空间直角坐标系，因为，则、、、，，②错，，，③对，，，，故异面直线与所成角为，④错.故选：B.3．(2023·河南·模拟（文））在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上､下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的曲池，它的高为2，，，，均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2，对应的圆心角为90°，则图中异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．答案：A【解析】设上底面圆心为，下底面圆心为，连接以为原点，分别以所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系则则又异面直线所成角的范围为故异面直线与所成角的余弦值为故选：A4．（多选题）在棱长为1的正方体中，分别为线段上的动点（均不与点重合），则下列说法正确的是（

）A．存在使得平面B．存在使得C．当平面时，三棱锥与体积之和最大值为D．记与平面所成的角分别为，则答案：AC【解析】如图，以点为原点建立空间直角坐标系，设，对于A，因为平面，平面，所以，又因，所以平面，又平面，所以，当时，，此时，要使平面EFG，只需即可，，则，则，即，当时，，故存在点E，F，G，使得平面EFG，故A正确；对于B，，则，要使，只需要即可，，，，则，故，因为，所以，所以，所以不存在点E，F，G，使得，故B错误；对于C，因为平面EFG，所以，，则，则，所以，要使最大，则，此时，所以三棱锥与体积之和最大值为，故C正确；对于D，由上可知，，则，因为，所以到平面的距离满足，所以，所以，，，所以，所以，故D错误.故选：AC.5．（多选题）(2023·辽宁·鞍山一中模拟）如图，已知二面角的棱上有不同两点和，若，，，，则（

）A．直线和直线为异面直线B．若，则四面体体积的最大值为2C．若，，，，，，则二面角的大小为D．若二面角的大小为，，，，则过、、、四点的球的表面积为答案：ACD【解析】对于A，由异面直线的定义知A正确；对于B，要求四面体体积的最大值，则面且，此时四面体体积的最大值：,故B不正确；对于C，在平面内过A作BD的平行线AE，且使得，连接，四边形是一个矩形，是二面角的一个平面角，且面AEC，所以面AEC，从而.在中，由余弦定理可知：所以.故C正确；对于D，因为二面角的大小为，，，，如下图，所以平面与平面所成角的大小为，，取的中点，的中点，为△△的外心，取的中点，连接，则所以是二面角的一个平面角，则，过作平面的垂线和过作平面的垂线，交于点，即为外接球球心，所以面，面，连接，，所以易证得：与全等，所以，所以在直角三角形，，，则过、、、四点的球的表面积为.故D正确.故选：ACD6．（多选题）(2023·山东济南·二模）在棱长为1的正方体中，E，F，G分别为线段，CD，CB上的动点（E，F，G均不与点C重合），则下列说法正确的是（

）A．存在点E，F，G，使得平面EFGB．存在点E，F，G，使得C．当平面EFG时，三棱锥与C-EFG体积之和的最大值为D．记CE，CF，CG与平面EFG所成的角分别为，，，则答案：ACD【解析】解：如图，以点为原点建立空间直角坐标系，设，对于A，因为平面，平面，所以，又因，所以平面，又平面，所以