中职高考数学一轮复习讲练测(全国适用)专题三十七双曲线(原卷版+解析)

专题三十七双曲线思维导图知识要点知识要点1．双曲线的定义平面内动点P与两个定点F1，F2(|2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程(a>0，b>0)(a>0，b>0)图形性质范围x≤-a或x≥a,y∈Rx∈R,y≤-a或y≥a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点

顶点A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y=x

y

=x

离心率e=,e∈(1,+∞)实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长|A线段B1B2叫做双曲线的虚轴,它的长|Ba叫做双曲线的实半轴长,b叫做双曲线的虚半轴长a，b，c的关系c2=a2+b2(c典例解析典例解析【例1】已知点F1(－3，0)和F2

【变式训练1】求平面内到点F1【例2】(1)求与椭圆共焦点且过点(5，－2)的双曲线的标准方程；(2)已知等轴双曲线经过点M(5，－4)，求双曲线的标准方程；(3)已知双曲线的焦距为2，离心率为，求双曲线的标准方程．【变式训练2】已知双曲线(a>0，b>0)和椭圆有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，求双曲线的方程．【例3】双曲线的渐近线方程为()A．y＝±xB．y＝±xC．y＝±xD．y＝±x【变式训练3】已知双曲线的右焦点为(，0)，则该双曲线的渐近线方程为______.【例4】若双曲线上的点P到点(5，0)的距离为15，则点P到点(－5，0)的距离为()A．7B．23C．5或25D．7或23【变式训练4】若双曲线上的一点P到它的右焦点的距离为8，则点P到它的左焦点的距离是()A．4B．12C．4或12D．6【例5】与双曲线有共同的渐近线，且经过点A(，2)的双曲线方程为()A.B．C.D.【变式训练5】与双曲线x2【例6】设F1，F2是双曲线的两个焦点，点P在双曲线上，且∠F1PF2＝60°，求△F1【变式训练6】设F1，F2是双曲线的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2A．4B．8C．24D．48高考链接高考链接1．(四川省2016年对口升学考试试题)若为双曲线方程，则m的取值范围是()A．(－∞，1)B．(2，＋∞)C．(1，2)D．(－∞，1)∪(2，＋∞)2．(四川省2018年对口升学考试试题)双曲线的渐近线方程是()A．y＝±xB．y＝±xC．y＝±xD．y＝±x3．(四川省2015年对口升学考试试题)已知双曲线(a>0，b>0)的左焦点为F(－2，0)，离心率为2，则a＝________.4．(四川省2019年对口升学考试试题)双曲线的离心率是________．同步精练同步精练选择题1．动点P到点M(1，0)及点N(3，0)的距离之差为2，则点P的轨迹是()A．双曲线B．双曲线的一支C．两条射线D．一条射线2．已知双曲线my2−xA．y＝±x B．y＝±xC．y＝±x D．y＝±3x3．已知等轴双曲线经过点M(5，－4)，则它的标准方程为()A.B.C.D.4．已知双曲线的离心率为2，则a的值为()A．2B.C.D．15．已知双曲线8kx2−k6．已知双曲线过点(4，)且渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的标准方程是________．7．以的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线方程为_______．已知焦点在x上的双曲线的焦距是实轴长的2倍，则该双曲线的渐近线方程是_______.求双曲线9y2－4x已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，焦距为6，离心率为3，求双曲线的标准方程．11．已知双曲线过点(4，)，且渐近线方程为y＝±x，求该双曲线的标准方程12．求与双曲线共渐近线且焦点在圆x2+13．已知双曲线关于纵坐标轴对称，且与圆x2专题三十七双曲线思维导图知识要点知识要点1．双曲线的定义平面内动点P与两个定点F1，F2(|2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程(a>0，b>0)(a>0，b>0)图形性质范围x≤-a或x≥a,y∈Rx∈R,y≤-a或y≥a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点

顶点A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y=x

y

=x

离心率e=,e∈(1,+∞)实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长|A线段B1B2叫做双曲线的虚轴,它的长|Ba叫做双曲线的实半轴长,b叫做双曲线的虚半轴长a，b，c的关系c2=a2+b2(c典例解析典例解析【例1】已知点F1(－3，0)和F2(3，0)，动点P到F1答案：解：由题设知点P的轨迹方程是焦点在x轴正半轴的双曲线的右支，设其方程为，(x＞0)(a＞0，b＞0)，由题设知c＝3，a＝2，b2∴点P的轨迹方程为(x＞0)．【思路点拨】由题设知点P的轨迹方程是焦点在x轴正半轴的双曲线的右支，设其方程为由题设知c＝3，a＝2，由此能求出点P的轨迹方程．【变式训练1】求平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于6的点P的轨迹方程．解：由双曲线的定义知，点P的轨迹为焦点在y轴的双曲线，方程为其中c＝4，2a＝6，∴a＝3，b2∴其方程为【例2】(1)求与椭圆共焦点且过点(5，－2)的双曲线的标准方程；答案：解：(1)由题意可设双曲线的标准方程为，半焦距为c.∵与椭圆共焦点，∴c2＝10－4＝6.又双曲线过点(5，－2)，∴联立解得∴双曲线的标准方程为【思路点拨】根据双曲线的定义及已知条件，设出简便的方程，代入数据求出所需方【例2】(2)已知等轴双曲线经过点M(5，－4)，求双曲线的标准方程；(3)已知双曲线的焦距为2，离心率为，求双曲线的标准方程．答案：解：(2)设对称轴在坐标轴上的等轴双曲线的方程为x2将点M(5，－4)，代入可得25－16＝λ，∴λ＝9，∴双曲线方程为x2−y由题知2c＝2，e＝⇒a＝1，b＝，这样的双曲线标准方程有两个，即为＝1或【思路点拨】根据双曲线的定义及已知条件，设出简便的方程，代入数据求出所需方【变式训练2】已知双曲线(a>0，b>0)和椭圆有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，求双曲线的方程．解：椭圆的焦点坐标为F1(，0)，F2(，0)，离心率为，由于双曲线与椭圆有相同的焦点，因此a2＋b2＝7.又双曲线的离心率∴∴a＝2，b2故双曲线的方程为【例3】双曲线的渐近线方程为(B)A．y＝±xB．y＝±xC．y＝±xD．y＝±x【思路点拨】双曲线的渐近线方程为整理得4y2＝5x2，解得y＝±x【变式训练3】已知双曲线的右焦点为(，0)，则该双曲线的渐近线方程为__2x±3y＝0______【提示】由题意得c＝，∴9＋a＝c2＝13，∴a＝4.即双曲线方程为∴双曲线的渐近线为2x±3y＝0.【例4】若双曲线上的点P到点(5，0)的距离为15，则点P到点(－5，0)的距离为(D)A．7B．23C．5或25D．7或23【思路点拨】先根据双曲线的标准方程，写出实轴长和焦点坐标，再根据双曲线的定义得到结果．【变式训练4】若双曲线上的一点P到它的右焦点的距离为8，则点P到它的左焦点的距离是(C)A．4B．12C．4或12D．6【提示】由题意知c＝＝4，设双曲线的左焦点为F1(－4，0)，右焦点为F2(4，0)，且|PF2|＝8.当P点在双曲线右支上时，|PF1|－|PF2|＝4，解得|PF1|＝12；当P点在双曲线左支上时，|PF2|－|P【例5】与双曲线有共同的渐近线，且经过点A(，2)的双曲线方程为(C)A.B．C.D.【思路点拨】由题意设所求的双曲线方程为，∵经过点A(，2)，∴，即λ＝－9，代入方程化简得【变式训练5】与双曲线x2−2y【提示】设与双曲线，有公共渐近线的双曲线方程为，将点(2，－2)代入，得k＝－(－2)2＝－2.∴双曲线的标准方程为【例6】设F1，F2是双曲线的两个焦点，点P在双曲线上，且∠F1PF2＝60°，求△F解：∵双曲线，∴a＝3，c＝5，则||PF1|－|PF2由余弦定理知|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1得|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|＝(|PF1|－|PF|PF1|·|PF2|＝64，S＝|PF1|·|PF【思路点拨】本题考查双曲线的定义和标准方程，余弦定理以及双曲线的简单性质的应用，求出PF1·PF2的值，是解题的关键．【变式训练6】设F1，F2是双曲线的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PA．4B．8C．24D．48【提示】由解得又|F1F2|＝10，可得△PF1F2是直角三角形，则S△PF1F2高考链接高考链接1．(四川省2016年对口升学考试试题)若为双曲线方程，则m的取值范围是(D)A．(－∞，1)B．(2，＋∞)C．(1，2)D．(－∞，1)∪(2，＋∞)【提示】由(2－m)(m－1)＜0可解得．2．(四川省2018年对口升学考试试题)双曲线的渐近线方程是(D)A．y＝±xB．y＝±xC．y＝±xD．y＝±x【提示】由渐近线方程y＝±x可得y＝±x.3．(四川省2015年对口升学考试试题)已知双曲线(a>0，b>0)的左焦点为F(－2，0)，离心率为2，则a＝___1_____.【提示】由题意知，c＝2，＝2，∴a＝1.4．(四川省2019年对口升学考试试题)双曲线的离心率是___2_____．【提示】由离心率e＝得e＝2.同步精练同步精练选择题1．动点P到点M(1，0)及点N(3，0)的距离之差为2，则点P的轨迹是(D)A．双曲线B．双曲线的一支C．两条射线D．一条射线【提示】∵|PM|－|PN|＝2＝|MN|，∴P在线段MN的延长线上．2．已知双曲线my2−x2A．y＝±x B．y＝±xC．y＝±x D．y＝±3x【提示】椭圆＋x2＝1中a2＝5，b2＝1，∴c2＝4，c＝2，∴my2−x2＝1(m∈R)变形为－x2＝1，∴＋1＝4，∴m＝，∴－3．已知等轴双曲线经过点M(5，－4)，则它的标准方程为(A)A.B.C.D.【提示】设对称轴在坐标轴上的等轴双曲线的方程为x2−4．已知双曲线的离心率为2，则a的值为(D)A．2B.C.D．1【提示】∵e2＝，解得a＝1.5．已知双曲线8kx2−k【提示】由已知，得＝9，解得k＝－1.6．已知双曲线过点(4，)且渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的标准方程是________．【提示】设双曲线方程为y2-＝λ，代入点(4，)，可得3－×16＝λ，∴λ＝－1，∴双曲线的标准方程是－y2＝1.7．以的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线方程为________．【提示】∵双曲线以的顶点为焦点，焦点为顶点，∴所求双曲线的焦点为(－3，0)，(3，0)，顶点为(-，0)，(，0)．设双曲线方程为(a＞b＞0)，由已知得a＝，c＝3，∴b2＝9－5＝4，∴双曲线方程为已知焦点在x上的双曲线的焦距是实轴长的2倍，则该双曲线的渐近线方程是__y＝±x_____.【提示】由条件可设所求双曲线的渐近线方程为y＝±x，由条件有c＝2a，即c2＝4a2＝a2＋b2，∴b2＝3a29．求双曲线9y2