2024河南中考数学专题复习第六章 第二节 点、直线与圆的位置关系 课件

一题串讲重难点2河南9年真题子母题31考点精讲第二节点、直线与圆的位置关系

课标要求1.探索并了解点与圆的位置关系；(2022年版课标将“了解”调整为“掌握”)2.了解直线和圆的位置关系，掌握切线的概念；3.*探索并证明切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等；4.*能用尺规作图：过圆外一点作圆的切线．(2022年版课标新增)命题点切线的判定与性质(9年6考)

考情及趋势分析考情分析年份题号题型分值已知条件背景结合知识点202314填空题3两条相等的线段长/切线的判定与性质，全等，相似202222解答题10锐角三角函数值，圆的半径，一条线段长滚铁环(1)切线的性质，平行线的性质或余角、补角或四边形的内角和证明两角之和为90°；(2)利用三角函数(或相似)求线段长202120解答题9圆的半径，一条线段长“石磨原理”跨物理学科“连杆”(1)切线的性质，余角，证明角度的数量关系；(2)利用三角函数和勾股定理考情分析年份题号题型分值已知条件背景结合知识点202020解答题9两条互相垂直的线段，一对等线段“三分角器”的原理与使用方法的材料阅读补充已知和求证的形式，结合切线的性质，全等201819(1)解答题3两条互相垂直的线段特殊四边形动态探究切线的性质，余角，等边对等角证明线段相等201718解答题9两条线段长等腰三角形，边为直径作圆(1)切线的性质，平行线的性质，全等证明线段相等；(2)利用勾股定理求线段长【考情总结】1.均考查切线的性质，且2020～2022年结合实物背景，抽离圆模型；2.涉及知识点有：切线的性质、锐角三角函数、勾股定理、全等三角形证明等；3.常考设问有：证明角度关系，线段相等和求线段长；求线段长时若已知条件只有线段长则考虑用相似解题，若有锐角三角函数和线段长则考虑用相似或锐角三角函数解题；4.仅2023年在填空题考查，其余年份在解答题考查，2023年未考查圆的解答题．∗切线长定理点与圆的位置关系切线的性质与判定切线长三角形的内切圆直线与圆的位置关系点在圆外点在圆上点在圆内相离相切相交性质定理判定定理判定方法定义圆心O性质角度关系点、直线与圆的位置关系考点精讲点与圆的位置关系(设圆的半径为r，平面内任意一点到圆心的距离为d)如图①点在圆外⇔d________r，如点A点在圆上⇔d________r，如点B

点在圆内⇔d________r，如点C图①>＝<直线与圆的位置关系(设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d)位置关系相离相切相交d与r的关系d________rd________rd________r交点的个数没有公共点有且只有一个公共点有两个公共点示意图>＝<切线的性质与判定性质定理：圆的切线________于过切点的半径(或直径)判定定理：经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线判定方法1.直线与圆有公共点：“有公共点，连半径，证垂直”：若已知直线经过圆上一点，则连接这点和圆心得到半径，再证所作半径与这条直线垂直；2.直线与圆公共点未知：“公共点未知，作垂直，证半径”：若已知条件中不确定与圆是否有公共点，则过圆心作直线的垂线段，再证明垂线段的长等于半径的长切线长：如图②，过圆外一点P有两条直线PA，PB分别与⊙O相切，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长图②垂直*切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，这两条切线长________，这一点和圆心的连线________,两条切线的夹角．如图②，PA，PB为⊙O的切线，A，B为切点，那么PA＝________，∠APO＝________＝________∠APB三角形的内切圆定义：与三角形各边都相切的圆圆心O：内心(三角形的内切圆圆心或三角形三个内角的_________的交点)性质：三角形的内心到三角形的________的距离相等角度关系：如图③，∠BOC＝90°＋

∠BAC图②图③相等平分PB∠BPO角平分线三条边一题串讲重难点基础知识巩固例1如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，连接AC，BC，OM⊥AB于点O，交AC于点D，连接MC，且MC＝MD.求证：MC为⊙O的切线．例1题图证明：如图，连接OC，∵OM⊥AB，∴∠AOD＝90°，∴∠A＋∠ADO＝90°.∵MC＝MD，∴∠MDC＝∠MCD.∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO.∵∠ADO＝∠MDC，∴∠ACO＋∠MCD＝90°，即∠MCO＝90°，∵OC为⊙O的半径，∴MC为⊙O的切线．例1题图满分技法1.当图中有90°角时：(1)利用等角代换证得垂直；(2)利用平行线证得垂直；(3)利用三角形全等证得垂直；2.当图中没有90°角时，需要构造：(1)若图中有已知直径，则利用直径所对的圆周角是90°，构造直角；(2)若图中有等腰三角形，则利用等腰三角形“三线合一”的性质构造直角．例2如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，直线CD与⊙O相切于点C，过点A作直线CD的垂线，交直线CD于点D，AD与⊙O交于点E，连接EC，AC，CB.(1)求证：∠DAC＝∠CAB；例2题图(1)证明：如图，连接CO，∵CD与⊙O相切于点C，∴∠OCD＝90°，∵AD⊥CD，∴CO∥AD，∴∠DAC＝∠ACO，∵AO＝CO，∴∠CAB＝∠ACO，∴∠DAC＝∠CAB；(2)若AB＝9，sin∠CAB＝

，求AD的长；(2)解：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°＝∠ADC，∵AB＝9，sin∠CAB＝

，∴BC＝3，在Rt△ACB中，根据勾股定理得，AC＝＝6，∵∠DAC＝∠CAB，∴△DCA∽△CBA，∴＝

，即

＝

，∴AD＝8；例2题图(3)若AD＝4，DE＝1，求CD的长；(3)解：∵四边形ABCE是⊙O的内接四边形，∴∠ABC＋∠AEC＝180°，∵∠AEC＋∠CED＝180°，∴∠ABC＝∠CED，∵AB是⊙O的直径，由(2)得△ADC∽△ACB，∴∠ACD＝∠ABC，∴∠CED＝∠ACD，例2题图∵∠CDE＝∠ADC，∴△CDE∽△ADC，∴

＝

，∴CD2＝DE·DA＝4，∴CD＝2(负值已舍去)；例2题图(4)若∠CAB＝30°，AB＝4，求△AEC的面积．(4)解：如图，连接OC，OE，OE交AC于点F，由(1)得∠DAC＝∠CAB＝30°，例2题图∴∠EAO＝60°，∵OA＝OE，∴△EAO为等边三角形，由(1)得AD∥OC，∴∠AOC＝120°，∴∠EOC＝60°，∵OE＝OC，∴△OEC为等边三角形，∴四边形AOCE为菱形，∴OE⊥AC，AC＝2AF，EF＝OF，F∵AB＝4，∴AO＝2，在Rt△AFO中，AF＝AO·cos∠CAB＝，OF＝AO·sin∠CAB＝1，∴AC＝2，EF＝1，∴S△AEC＝

AC·EF＝.例2题图F重难考法突破与切线性质有关的计算(9年5考)例3如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上一点(不与点A，B重合)，连接AC，BC.过点B作⊙O的切线交AC的延长线于点D，∠BAC的平分线交BC于点E，交BD于点F.(1)请用无刻度的直尺和圆规作出∠BAC的平分线；(要求：不写作法，保留作图痕迹)(1)解：如解图①，AF即为所求；例3题解图①例3题图(2)求证：BE＝BF；(2)证明：∵BD为⊙O的切线，∴∠ABD＝90°，∵∠ABC＋∠BAC＝90°，∠BAC＋∠D＝90°，∴∠D＝∠ABC，∵AF平分∠BAC，∴∠DAF＝∠BAE，∵∠BFE＝∠D＋∠DAF，∠BEF＝∠BAE＋∠ABE，∴∠BFE＝∠BEF，∴BE＝BF；例3题解图①(3)若AC＝2CE＝6，求BF的长；(3)解：∵∠ABF＝∠ACE，∠BAF＝∠CAE，∴△ABF∽△ACE，∴

＝

，即

＝

，∴AB＝2BF，设BF＝x，则AB＝2x，BE＝x，在Rt△ABC中，∵AB＝2x，AC＝6，BC＝3＋x，∴62＋(x＋3)2＝(2x)2，整理得x2－2x－15＝0，解得x1＝5，x2＝－3(舍去)，∴BF＝5；例3题解图①(4)若∠BAC的平分线交半圆O于点P，AB＝6，当四边形OCPB为菱形时，求BD的长．(4)解：如解图②，连接OP，∵四边形OCPB为菱形，∴OB＝BP，∵OP＝OB，∴△OBP为等边三角形，∴∠OBP＝60°，∵OC∥BP，∴∠COB＝180°－∠OBP＝120°，∴∠CAB＝

∠COB＝60°，在Rt△ABD中，BD＝AB·tan∠CAB＝6.例3题解图②例3题图河南9年真题子母题切线的判定与性质9年6考命题点1.(2023河南14题3分)如图，PA与⊙O相切于点A，PO交⊙O于点B，点C在PA上，且CB＝CA.若OA＝5，PA＝12，则CA的长为________．第1题图

一题多解法思路点拨：第1题解法一：连接OC，证明△OAC≌△OBC，在Rt△OAP和Rt△BCP中结合勾股定理求解；解法二：连接OC，证明△OAC≌△OBC，结合△BCP∽△AOP，解出BC的长；解法三：连接OC，证明△OAC≌△OBC，结合勾股定理解出OP，根据锐角三角函数sinP解出BC的长．第1题图2.如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交AC边于点D，过点C作CF∥AB，与过点B的切线交于点F，连接BD.(1)求证：BD＝BF；第2题图(1)证明：∵BF是⊙O的切线，∴∠ABF＝90°.∵CF∥AB，∴∠F＝90°，∠ABC＝∠FCB，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠BDC＝90°，∴∠F＝∠BDC＝90°.(2分)∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ACB＝∠FCB.(3分)在△BCD和△BCF中，

，∴△BCD≌△BCF(AAS)，∴BD＝BF；(6分)第2题图(2)若AB＝10，CD＝4，求BC的长．第2题图(2)解：∵AB＝AC，AB＝10，∴AC＝10.∵CD＝4，∴AD＝AC－CD＝6.(7分)在Rt△ADB中，由勾股定理得BD＝＝＝8，(8分)在Rt△BCD中，由勾股定理得BC＝＝＝4.即BC的长为4.(9分)3.如图，AB是⊙O的直径，DO⊥AB于点O，连接DA交⊙O于点C，过点C作⊙O的切线交DO于点E，连接BC交DO于点F.(1)求证：CE＝EF；第3题图(1)证明：如图，连接OC，∵CE是⊙O的切线，∴OC⊥CE，∴∠