2024河南中考数学专题复习第六章 第四节 圆的实际应用 课件

圆的实际应用第四节河南9年真题子母题1.(2023河南定心卷)停车楔(如图①)是一种固定汽车轮胎的装置，在大型货车于坡道停车时，放停车楔的作用尤为重要．如图②是轮胎和停车楔的示意图，当车停于水平地面上时，将停车楔B－

置于轮胎⊙O后方即可防止车辆倒退，此时

紧贴轮胎，①边AB与地面重合且与轮胎⊙O相切于点A．为了更好地研究这个停车楔与轮胎⊙O的关系，小明在示意图②上，连接CO并延长交⊙O于点D，连接AD后发现AD∥BC.(1)求证：∠D＋∠B＝90°；第1题图【关键句缩句】对①缩句：AB与圆O相切于点A.关联知识点：遇到切点，连接圆心，得垂直．结论：连接OA，可得OA⊥AB.(1)证明：如图，连接OA，AC，第1题图∵AB是⊙O的切线，∴∠OAB＝90°，∵CD为⊙O的直径，∴∠CAD＝90°，∴∠DAO＋∠OAC＝∠BAC＋∠OAC，∴∠DAO＝∠BAC，∵OD＝OA，∴∠D＝∠DAO，∴∠BAC＝∠D，(2分)∵BC∥AD，∴∠ACB＝∠CAD＝90°，∴∠BAC＋∠B＝180°－∠ACB＝90°，(3分)∵∠BAC＝∠D，∴∠D＋∠B＝90°；(4分)(2)小明通过查阅资料从停车楔的规格了解到，此停车楔的高度为15cm(点C到AB所在直线的距离)，支撑边BC与底边AB的夹角∠B＝60°，求轮胎的直径．(2)解：如图，过点C作CE⊥AB于点E，则CE＝15，由(1)得，∠B＋∠D＝90°，∠BAC＝∠D，∴∠BAC＝∠D＝90°－∠B＝90°－60°＝30°，∴∠AOC＝2∠D＝60°，∵OA＝OC，∴△OAC是等边三角形，(6分)，∴AC＝OA＝OC，第1题图∟E∵在Rt△ACE中，CE＝15，∠CAE＝30°，∴AC＝＝

＝30，∴CD＝2OC＝2AC＝60cm，∴轮胎的直径为60cm.(9分)第1题图∟E2.(2022河南22题10分)为弘扬民族传统体育文化，某校将传统游戏“滚铁环”列入了校运动会的比赛项目，滚铁环器材由铁环和推杆组成．小明对滚铁环的启动阶段进行了研究，如图，滚铁环时，①铁环⊙O与水平地面相切于点C，推杆AB与铅垂线AD的夹角为∠BAD，点O，A，B，C，D在同一平面内．②当推杆AB与铁环⊙O相切于点B时，手上的力量通过切点B传递到铁环上，会有较好的启动效果．(1)求证：∠BOC＋∠BAD＝90°；第2题图【关键句翻译】由①得：____________________________；由②得：____________________________；OC⊥CDOB⊥AB第2题图(1)证明：如图，过点B作BN∥AD，∴∠NBA＝∠BAD.∵CD与⊙O相切于点C，∴∠OCD＝90°.∵AD⊥CD，∴∠ADC＝90°，∴AD∥OC，∴BN∥OC，∴∠BOC＝∠NBO，(2分)∵AB与⊙O相切于点B，OB为半径，∴∠OBA＝90°，∴∠NBO＋∠NBA＝90°，∴∠BOC＋∠BAD＝90°；(4分)第2题图N(2)实践中发现，切点B只有在铁环上一定区域内时，才能保证铁环平稳启动．图中点B是该区域内最低位置，此时点A距地面的距离AD最小，测得cos∠BAD＝

.已知铁环③⊙O的半径为25cm，④推杆AB的长为75cm，求此时AD的长．第2题图由③得：____________________；由④得：____________________．OC＝OB＝25cmAB＝75cm【关键句翻译】(2)解：如图，过点B作EF∥CD，分别交AD，OC于点E，F，在Rt△ABE中，∵AB＝75，cos∠BAD＝

，∴AE＝45.(5分)第2题图NEF由(1)知，∠OBA＝90°，∴∠OBF＋∠ABE＝90°，∵∠BAD＋∠ABE＝90°，∴∠OBF＝∠BAD，∴cos∠OBF＝

.(7分)在Rt△OBF中，∵OB＝25，∴BF＝15，∴OF＝20.∵OC＝25，∴CF＝5.(9分)∵∠OCD＝∠ADC＝∠CFE＝90°，∴四边形CDEF为矩形，∴DE＝CF＝5，∴AD＝AE＋ED＝50cm.(10分)第2题图NEF3.(2021河南20题9分)在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”．小明受此启发设计了一个“双连杆机构”，设计图如图①，两个固定长度的“连杆”AP，BP的连接点P在⊙O上，当点P在⊙O上转动时，带动点A，B分别在射线OM，ON上滑动，OM⊥ON.①当AP与⊙O相切时，点B恰好落在⊙O上，如图②.请仅就图②的情形解答下列问题．(1)求证：∠PAO＝2∠PBO；第3题图【关键句翻译】由①得：_____________________________________；由②得：_____________________________________．连接OP，OP⊥AP，且点B为⊙O上一点OP＝OB＝5第3题图第3题图(1)证明：如图，连接OP，(1分)∵AP是⊙O的切线，∴OP⊥AP，∴∠OPA＝90°，∴∠PAO＋∠POA＝90°.∵OA⊥OB，∴∠POA＋∠1＝90°，∴∠PAO＝∠1.(3分)∵OP＝OB，∴∠OPB＝∠PBO，∴∠1＝2∠PBO，∴∠PAO＝2∠PBO；(5分)1(2)若②⊙O的半径为5，AP＝

，求BP的长．(2)解：如图，过点P作PC⊥NO，垂足为点C.(6分)第3题图1∟C在Rt△POA中，OP＝5，AP＝

，∴tan∠PAO＝

.∵∠1＝∠PAO，∴tan∠1＝

＝

.设PC＝3x，OC＝4x，则OP＝＝5x，∴x＝1，∴PC＝3，OC＝4，∴BC＝5＋4＝9.在Rt△PBC中，BP＝＝＝3.(9分)4.我们学习过利用尺规作图平分一个任意角，而“利用尺规作图三等分一个任意角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的，人们根据实际需要，发明了一种简易操作工具——三分角器．图①是它的示意图，其中①AB与半圆O的直径BC在同一直线上，且②AB的长度与半圆的半径相等；③DB与AC垂直于点B，DB足够长．使用方法如图②所示，若要把∠MEN三等分，只需适当放置三分角器，使④DB经过∠MEN的顶点E，点A落在边EM上，⑤半圆O与另一边EN恰好相切，切点为F，则EB，EO就把∠MEN三等分了．第4题图为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程．已知：如图②，点A，B，O，C在同一直线上，EB⊥AC，垂足为点B，________．求证：________．【关键句翻译】由①得：______________________；由②得：______________________；由③得：______________________；由④得：______________________；【关键句缩句】缩句：对⑤缩句：_______________________________________________；关联知识点：___________________________________________________；结论：_______________________________.A，B，O，C四点共线AB＝BO＝CODB⊥AC点E在BD上，点A在EM上EN与半圆O相切于点F遇到切点，连接圆心，得垂直连接OF，可得OF⊥EN第4题图解：已知：如图②，点A，B，O，C在同一直线上，EB⊥AC，垂足为点B，AB＝OB，EN切半圆O于点F.(2分)求证：∠1＝∠2＝∠3.(3