培养学生科学探究能力引领学生发展理性思维

一、教材分析本节课是探究“函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象与性质”的第一课时，其内容主要是研究参数A，ω，φ的变化对函数y＝Asin（ωx＋φ）图象的影响。教材先从简谐运动的实例引入，然后通过传感器和计算机描绘小球的运动图象，再从正弦函数y＝sinx与函数y＝Asin（ωx＋φ）之间的关系引出对函数y＝Asin（ωx＋φ）图象的探究。整节课通过三个例题从不同变量A、ω、φ分析对函数y＝Asin（ωx＋φ）图象的影响，在本课时仅讨论的是当φ=0的情况。二、学情分析学生在学习本课之前已经学习了三角函数的图象与性质的有关内容；已经习得了“数形结合”思想，并积累了用“数形结合”思想研究函数的经验，也了解了一般函数图象的变换情况；已经具备了通过观察图象得出结论的能力。三、教学目标1.学生分别探究A、ω对函数y＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0）图象的影响情况。2.学生能利用“数形结合”思想，据图归纳总结A、ω变化引起函数y＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0）图象的变化规律。3.在学习过程中培养学生的科学探究能力，发展学生的理性思维。四、教学重难点教学重点：分别探究A、ω对函数y＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0）图象的影响情况。教学难点：能利用“数形结合”思想，据图归纳总结A、ω变化引起函数y＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0）图象的变化规律。五、教学过程（一）创设情境，提出问题师：在现实生活中，发生周期性变化的现象有很多。如图1，在简谐振动中，位移y与时间t之间的关系就是一种周期变化的实例，可以用函数y＝Asin（ωx＋φ）（其中A、ω和φ都是常数）表示位移与时间的关系。其实，简谐振动的位移与时间的关系图象可以用传感器和计算机描绘出（如图2所示）。师：同学们，通过观察图2可以发现，它与我们前面学过的正弦函数的曲线很相似。那么，函数y＝sinx与函数y＝Asin（ωx＋φ）之间存在哪些关系呢？今天这节课，我们就来探究函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象，并分析A、ω和φ变化对y＝Asin（ωx＋φ）图象的影响。（设计意图：创设生活中简谐振动的情境，从学生的生活经验入手，感悟自然界中周期性变化的现象可以用函数y＝Asin（ωx＋φ）模型进行刻画，建立数学模型。）（二）引导探究，发现规律师：当参数A，ω，φ取不同实数时，y＝Asin（ωx＋φ）就可以得到不同的表达形式，其函数图象也会随之发生变化。1.探究参数A对函数y＝Asin（ωx＋φ）图象的影响例1.在同一直角坐标系中画出y＝sinx，y＝2sinx，y＝sinx在［-π，π］上的图象，观察它们之间的关系，并说出这三个函数的周期、最大值、最小值、值域之间的关系。师：那么，如何作简图呢？生：可以先画出一个直角坐标系，然后找出这三个函数的五个关键点作简图。师：你的意思是利用“五点法”作函数图象，那怎么找这五个关键点呢？生：横坐标x分别是-π，-π，0，π和π，代入各函数求出对应的纵坐标，这样五个关键点就找出来了。师：请同学们快速分别找出各函数的五点坐标，并比较这五点坐标的异同。生1：函数y＝sinx的关键五点坐标分别是（-π，0），（-π，-1），（0，0），（π，1），（π，0）。生2：函数y＝2sinx的关键五点坐标分别是（-π，0），（-π，-2），（0，0），（π，2），（π，0）。生3：函数y＝sinx的关键五点坐标分别是（-π，0），（-π，-），（0，0），（π，），（π，0）。师：这三个函数的关键五点坐标都找出来了，它们有什么异同呢？生：它们对应关键点的横坐标相同，但纵坐标不同。师：请同学们根据这三个函数的五点坐标，在同一直角坐标系中分别画出这三个函数（如图3）。师：请同学们根据图3，说出三个函数的周期分别是多少？生：y＝sinx的周期是2π，y＝2sinx的周期是2π，y＝sinx的周期是2π。师：请同学们再根据画出的函数图象，说出三个函数的最大值、最小值和值域分别是多少。生：y＝sinx的最大值是1，最小值是-1，值域是［-1，1］；y＝2sinx的最大值是2，最小值是-2，值域是［-2，2］；y＝sinx的最大值是，最小值是-，值域是［-，］。师：那么，这三个函数的周期、最大值、最小值和值域之间有什么关系呢？生：y＝sinx图象上每一点的坐标是（x，sinx），而y＝2sinx图象上每一点的坐标是（x，2sinx）。通过对比发现，这两个函数图象上对应点的横坐标不变，y＝2sinx图象上点的纵坐标变成y＝sinx图象上对应点的纵坐标的2倍。因此，由y＝sinx变成y＝2sinx的过程中，函数周期没有变，最大值和最小值变为原来的2倍，值域也由原来的［-1，1］变成了［-2，2］，这就说明，A决定振动幅度的大小，也就是函数的最大值、最小值和值域。同理，由y＝sinx变成y＝sinx的过程中，横坐标不变，纵坐标变为原来的，改变的是最大值、最小值和值域，周期没有变。师：通过对例1的研究，你能得出哪些结论呢？生：函数y＝Asin（ωx＋φ）中的参数A决定了振动的幅度，也就是函数的最大值、最小值和值域。2.探究参数ω对函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象的影响例2.在同一直角坐标系中画出y＝sinx，y＝sin2x，y＝sinx在［-2π，2π］上的图象，观察它们之间的关系，并说出这三个函数的周期、最大值、最小值、值域之间的关系。师：我们还是结合图象来研究，先根据三个函数的关键五点坐标，画出它们在同一直角坐标系中的函数图象（如图4）。师：根据图4，谁来说一说这三个函数的周期、最大值、最小值、值域之间的关系？生：据图4可知，y＝sin2x的图象可以由y＝sinx图象上的每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的得到。因此，y＝sin2x的最大值、最小值和值域都与y＝sinx相同，但周期变为原来的，也就是=π。y＝sinx的图象可以由y＝sinx图象上的每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍得到。y＝sinx的最大值、最小值和值域都与y＝sinx相同，但周期变为原来的2倍。师：你的思路清晰，也完全正确。谁能把他的话归纳一下呢？生：函数y＝Asin（ωx＋φ）中的参数ω决定了振动的周期，也就是函数的周期等于。不同的正弦函数可以通过变化得到。3.进一步巩固不同函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象的相互变化例3.做出函数y＝3sinx在长度为一个周期上的闭区间的简图，并说明y＝3sinx图象是由函数y＝sinx的图象经过怎样的变化而得到的。学生根据列表找出函数y＝3sinx在图像上的五个关键点，然后进行描点、连线，作出函数y＝3sinx在x∈［0，π］的大致图象（如图5）。师：谁能用数学的语言描述一下函数y＝sinx的图象经过怎样的变化得到函数y＝3sinx的图象？学生汇报。教师小结：可以先考虑变化横坐标，横坐标变为原来的，然后横坐标保持不变，把纵坐标变为原来的3倍。（三）巩固练习1.利用“五点法”作下列函数在一个周期闭区间上的简图。（1）y＝sinx（2）y＝sinx（3）y＝2sinx2.用数学语言说一说上面每个函数的图象由y＝sinx的图象经过怎样的变化得到的。（四）课堂小结师：通过本节课的探究学习，你有哪些新的收获和感受？请与大家分享一下。六、课例反思本节课主要是引导学生借助函数图象研究A、ω对函数y=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0）的图象、周期、最值和值域的影响等。同时，引导学生据图科学分析函