北师大版初中九年级数学上册第四章图形的相似5相似三角形判定定理的证明课件

第四章图形的相似*5相似三角形判定定理的证明基础过关全练知识点相似三角形判定定理的证明1.(新考向·尺规作图)(2024福建泉州期末)如图,在△ABC中,

∠A=2∠C.(1)作出∠BAC的平分线AE,交BC于点D.(要求:尺规作图,保

留作图痕迹,不写作法)(2)在(1)的条件下,求证:△ABD∽△CBA.解析

(1)如图.

(2)证明:∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=

∠BAC,∵∠BAC=2∠C,∴∠BAD=∠C,∵∠ABD=∠CBA,∴△ABD∽△CBA.2.(新独家原创)如图,AB∥CD,∠B=∠C=90°,AB=2,BC=8,CD

=4,P为BC上一个动点,若△ABP和△DCP相似,求BP的长.

解析设BP=x,则CP=BC-BP=8-x,①当△ABP∽△DCP时,

=

,即

=

,解得x=

,经检验,x=

是原方程的根;②当△ABP∽△PCD时,

=

,即

=

,解得x=4±2

.经检验,x=4±2

是原方程的根.综上所述,当BP=4±2

或

时,△ABP和△DCP相似.能力提升全练3.(2024湖南怀化期末,10,★★☆)如图,在正方形ABCD中,E是BC的中点,F是CD上一点,且CF=

CD.现有结论:①∠BAE=30°;②△ABE∽△ECF;③AE⊥EF;④△ADF∽△ECF.其中正确的结论为

(

)A.①②

B.②③

C.③④

D.②③④B解析∵四边形ABCD是正方形,E是BC的中点,∴AB=BC=2BE,∠B=∠C=90°,假设∠BAE=30°,则AE=2BE=AB,显然AB≠

AE,故①错误;∵CF=

CD,∴CF=

BC,∴BE=2CF,又∵AB=2CE,∴

=

,又∵∠B=∠C=90°,∴△ABE∽△ECF,故②正确;∵△ABE∽△ECF,∴∠BAE=∠CEF,∠AEB=∠EFC,∴∠AEB+∠CEF=90°,∴∠AEF=90°,∴AE⊥EF,故③正确;∵CF=

CD,∴DF=

CD=

AD,∴

=

,∵CF=

CE,∴

=

,∴

≠

,∴△ECF与△ADF不相似,故④错误.故选B.4.(教材变式·P102T4)(2024陕西西安莲湖期末,24,★★☆)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=10cm,BC=7cm,现有动点P从点A出发,沿线段AC向终点C运动,动点Q从点C出发,沿线段CB向终点B运动,连接PQ.如果点P的速度是2cm/s,点Q的速度是1cm/s,它们同时出发,当有一点到达终点时,两点都停止运动.

设运动时间为t(t>0)s.(1)当t为多少时,PQ的长度等于

cm?(2)当t为多少时,以C,P,Q为顶点的三角形与△ABC相似?解析

(1)由题意得CP=AC-AP=(10-2t)cm,CQ=tcm,在Rt△PCQ中,根据勾股定理,得PQ2=CP2+CQ2,当PQ=

cm时,(

)2=(10-2t)2+t2,解得t=1或t=7,∵0<t≤5,∴t=1,故当t为1时,PQ的长度等于

cm.(2)分两种情况:①当△CPQ∽△CAB时,

=

,∴

=

,解得t=

;②当△CPQ∽△CBA时,

=

,∴

=

,解得t=

.综上所述,当t为

或

时,以C,P,Q为顶点的三角形与△ABC相似.素养探究全练5.(推理能力)(手拉手模型)(2023湖北黄冈中考)【问题呈现】△CAB和△CDE都是直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,

CB=mCA,CE=mCD,连接AD,BE,探究AD,BE的位置关系.【问题探究】(1)如图1,当m=1时,直接写出AD,BE的位置关系:

.(2)如图2,当m≠1时,(1)中的结论是否成立?若成立,给出证明;

若不成立,说明理由.【拓展应用】(3)当m=

,AB=4

,DE=4时,将△CDE绕点C旋转,使A,D,E三点恰好在同一直线上,求BE的长.

解析

(1)如图,延长BE交AD于N,

当m=1时,DC=CE,CB=CA,∵∠ACB=∠DCE=90°,∴∠ACD=∠BCE,∴△ACD≌△BCE(SAS),∴∠DAC=∠CBE,∵∠CAB+∠ABE+∠CBE=90°,∴∠CAB+∠ABE+∠DAC=90°,∴∠ANB=90°,∴AD⊥BE,故答案为AD⊥BE.(2)(1)中的结论成立,理由如下:如图,延长BE交AD于N,

∵∠ACB=∠DCE=90°,∴∠ACD=∠BCE,又∵

=

=

,∴△DCA∽△ECB,∴∠DAC=∠CBE,∵∠CAB+∠ABE+∠CBE=90°,∴∠CAB+∠ABE+∠DAC=90°,∴∠ANB=90°,∴AD⊥BE.(3)如图,当点E在线段AD上时,连接BE,

∵△DCA∽△ECB,∴

=

=m=

,∴BE=

AD=

(4+AE),∵AD⊥BE,∴AB2=AE2+BE2,∴112=AE2+3(4+AE)2,∴AE=2或AE=-8(舍去),∴BE=6

.当点D在线段AE上时,连接BE,如图,

∵△DCA∽△ECB,∴

=