北师大版初中九年级数学上册第一章特殊平行四边形2矩形的性质与判定第2课时矩形的判定课件

第一章特殊平行四边形2矩形的性质与判定第2课时矩形的判定基础过关全练知识点1

有一个角是直角的平行四边形是矩形1.如图,在▱ABCD中,E,F为BC上两点,且BE=CF,AF=DE.求

证:四边形ABCD是矩形.

证明∵BE=CF,∴BE+EF=CF+EF,即BF=CE.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=DC.又∵AF=DE,∴△ABF≌△DCE(SSS).∴∠B=∠C.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD.∴∠B+∠C=180°.∴∠B=∠C=90°.∴平行四边形ABCD是矩形(矩形的定义).知识点2对角线相等的平行四边形是矩形2.(2024辽宁沈阳实验学校期中)如图,四边形ABCD的对角线

互相平分,要使它成为矩形,那么下列选项中可以添加的条件

是

(

)A.AB=BC

B.AC⊥BDC.∠BAD=∠BCD

D.AC=BDD解析∵四边形ABCD的对角线互相平分,∴四边形ABCD是平行四边形,结合选项可知,若添加AC=BD,

则根据矩形判定定理:对角线相等的平行四边形是矩形,可以

判定四边形ABCD是矩形,故选D.3.(2024福建诏安期中)如图,四边形ABCD的对角线相交于点

O,AB=CD,AB∥CD.若四边形AEBO是菱形.求证:四边形

ABCD是矩形.

证明∵四边形AEBO是菱形,∴OA=OB,∵AB=CD,AB∥CD,

∴四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC=

AC,OD=OB=

BD,∴AC=BD,∴平行四边形ABCD是矩形.知识点3有三个角是直角的四边形是矩形4.(2024辽宁沈阳于洪期中)在数学活动课上,老师让同学们

判断一个由四根木条组成的四边形是不是矩形,下面是一个

学习小组拟定的方案,其中正确的方案是

(

)A.测量四边形的三个角是不是直角B.测量四边形的两组对边是否相等C.测量四边形的对角线是否互相平分D.测量四边形的其中一组邻边是否相等A解析

A.若四边形的三个角是直角,则能判定该四边形是矩

形,符合题意;B.若四边形的两组对边相等,则能判定该四边

形是平行四边形,不符合题意;C.若四边形的对角线相互平

分,则能判定该四边形是平行四边形,不符合题意;D.由四边

形的其中一组邻边相等,不能判定形状,不符合题意.故选A.5.(2024广东深圳月考)如图,四边形ABCD中,AC和BD是对角

线,依据图中的标注,下列四边形不一定为矩形的是

(

)

D解析

A.∵AB=CD=3,AD=BC=4,∴四边形ABCD是平行四边

形,∵AB=3,BC=4,AC=5,∴AB2+BC2=AC2,∴∠ABC=90°,∴四

边形ABCD是矩形;B.∵四边形的对角线互相平分且相等,∴四边形ABCD是矩

形;C.∵∠A=∠B=∠C=∠D=90°,∴四边形ABCD是矩形;D.由AD∥BC,不能判定四边形ABCD是矩形.故选D.6.(2024陕西渭南临渭期中)如图,在▱ABCD中,CE⊥AB,AF⊥

CD.垂足分别为E,F,求证:四边形AECF是矩形.

证明∵CE⊥AB,AF⊥CD,∴∠AEC=∠AFC=∠AFD=90°,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,∴∠FAE=∠AFD=90°,∴∠AEC=∠AFC=∠FAE=90°,∴四边形AECF是矩形.能力提升全练7.(易错题)(2024广东揭阳期中,15,★★☆)如图,在平行四边

形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,动点E以每秒1个单位

长度的速度从点A出发沿AC方向运动,同时点F以每秒1个单

位长度的速度从点C出发沿CA方向运动,若AC=12,BD=8,则

经过

秒时,四边形BEDF是矩形.2或10解析设运动的时间为t秒,∴AE=CF=t,则OE=OF=6-t或OE=OF=t-6,∵四边形ABCD是平行四边形,AC=12,BD=8,∴OA=OC=

AC=6,OB=OD=

BD=4,∴四边形BEDF是平行四边形,∴当EF=BD时,四边形BEDF是矩形.即6-t=4或t-6=4,∴t=2或t=10,∴经过2秒或10秒时,四边形BEDF是矩形,故答案为2或10.8.(2024河南郑州二中期中,19,★★☆)如图,已知四边形

ABCD是平行四边形,CE∥BD交AD的延长线于点E,CE=AC.(1)求证:四边形ABCD是矩形.(2)若AB=4,AD=3,求四边形BCED的周长.

解析

(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AE∥BC,∵CE∥BD,∴四边形BCED是平行四边形,∴CE=

BD.∵CE=AC,∴AC=BD.∴平行四边形ABCD是矩形.(2)∵AB=4,AD=3,∴BC=AD=3,在Rt△DAB中,BD=

=

=5.∵四边形BCED是平行四边形,∴四边形BCED的周长为2(BC

+BD)=2×(3+5)=16.9.(2023四川内江中考,18,★★☆)如图,在△ABC中,D是BC的

中点,E是AD的中点,过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F.(1)求证:FA=BD.(2)连接BF,若AB=AC,求证:四边形ADBF是矩形.

证明

(1)∵AF∥BC,∴∠AFE=∠DCE,∠FAE=∠CDE,∵E

为AD的中点,∴AE=DE,∴△AEF≌△DEC(AAS),∴AF=DC,

∵D为BC的中点,∴BD=CD,∴AF=BD.(2)∵AF=BD,AF∥BD,∴四边形ADBF是平行四边形,∵AB=

AC,D为BC的中点,∴AD⊥BC,∴∠ADB=90°,∴四边形ADBF是矩形.10.(2023新疆中考,18,★★☆)如图,AD和BC相交于点O,∠ABO=∠DCO=90°,OB=OC,E、F分别是AO、DO的中点.(1)求证:OE=OF.(2)当∠A=30°时,求证:四边形BECF是矩形.

证明

(1)∵∠ABO=∠DCO=90°,∴AB∥CD,∴∠A=∠D,在△AOB与△DOC中,

∴△AOB≌△DOC(AAS),∴AO=DO,∵E、F分别是AO、DO的中点,∴OE=

OA,OF=

OD,∴OE=OF.(2)∵OB=OC,OE=OF,∴四边形BECF是平行四边形,∵∠A=30°,∴OB=

OA=OE,∴BC=EF,∴四边形BECF是矩形.素养探究全练11.(创新意识)(新考法·实际操作与矩形判定)(2023浙江丽水

中考)某数学兴趣小组,准备将一张三角形纸片(如图)进行如

下操作,并进行猜想和证明.(1)用三角板分别取AB,AC的中点D,E,连接DE,画AF⊥DE于点F.(2)将(1)中所画的三块图形经过旋转或平移拼出一个四边形

(无缝隙无重叠),并用三角板画出示意图.(3)请判断(2)中所拼的四边形的形状,并说明理由.解析

(1)如图①.

(2)如图②.(3)矩形.理由如下:如图,

∵∠MDB+∠BDE=180°,∠DEC+∠NEC=180°,∴点M、D、E、N在同一条直线上,∵D、E分别是AB、AC

的中点,∴DE为△