北师大版初中九年级数学上册第一章特殊平行四边形3正方形的性质与判定第2课时正方形的判定课件

第一章特殊平行四边形3正方形的性质与判定第2课时正方形的判定基础过关全练知识点3正方形的判定1.(2024福建漳州期中)下列说法正确的是

(

)A.有一组邻角相等的四边形是矩形B.对角线互相垂直的四边形是菱形C.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形D.有一组邻边相等的矩形是正方形D解析有一组邻角相等的平行四边形是矩形,故选项A错误;

对角线互相垂直的平行四边形是菱形,故选项B错误;对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形,故选项C错误;有一组邻边相等的矩形是正方形,故选项D正确.故选D.2.(2024福建三明三元期中)如图,在矩形ABCD中,对角线

AC、BD交于点O,添加下列一个条件,不能使矩形ABCD为正

方形的是(

)A.AC⊥BDB.AC平分∠BADC.AB=BCDD.△OCD是等边三角形解析∵有一组邻边相等的矩形是正方形,对角线互相垂直

的矩形是正方形,∴A、C不符合题意;∵AC平分∠BAD,∴∠BAC=∠CAD,∵四边形ABCD是矩形,∴∠BAD=∠ABC=90°,

∴∠DAC=∠BAC=45°,∴∠ACB=45°,∴AB=BC,∴矩形

ABCD为正方形,∴B不符合题意;∵添加△OCD是等边三角形,不能使矩形ABCD为正方形,∴D符合题意.故选D.3.(新独家原创)如图,P为矩形ABCD内一点,△PAB为正三角

形,连接PD、PC,∠CPD=150°,求证:四边形ABCD是正方形.

证明∵四边形ABCD是矩形,∴AD=BC,∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°,∵△PAB是正三角形,∴AP=BP,∠BAP=∠APB=60°,∴∠DAP=90°-60°=30°,同理,∠CBP=30°,∴∠DAP=∠CBP,

∴△PAD≌△PBC,∴PC=PD,∠APD=∠BPC,∴∠APD=

(360°-∠APB-∠CPD)=

(360°-60°-150°)=75°,∠CDP=∠DCP,∴∠CDP=

×(180°-150°)=15°,∴∠ADP=90°-15°=75°,∴∠APD=∠ADP,∴AP=AD,∵AP=AB,∴AD=AB,∴四边形ABCD是正方形.知识点4正方形的性质与判定综合4.(2023湖南双峰一模)如图,将正方形ABCD的各边AB,BC,

CD,DA顺次延长至E,F,G,H,且使BE=CF=DG=AH,则四边形

EFGH是

(

)A.平行四边形B.菱形C.矩形DD.正方形解析∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC=CD=DA,∠ABC=

∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°,∴∠FBE=∠GCF=∠HDG=∠EAH=90°,∵BE=CF=DG=AH,∴AB+BE=BC+CF=CD+DG=DA+AH,即AE=BF=CG=DH,在△FBE和△GCF中,∴△FBE≌△GCF(SAS),∴EF=FG,∠BFE=∠CGF,∵∠GCF=90°,∴∠CGF+∠GFC=90°,∴∠BFE+∠GFC=90°,即∠EFG=90°,同理可得FG=GH,GH=HE,HE=EF,∴EF=FG=GH=HE,∴四边形EFGH是菱形,又∵∠EFG=90°,∴四边形EFGH是正方形.故选D.5.(2024广东茂名信宜二中月考)如图,正方形ABCD的边长是

10cm,点E,F,G,H分别从点A,B,C,D出发,以2cm/s的速度同时

向点B,C,D,A运动.判断在运动的过程中,四边形EFGH的形

状,并说明理由.

解析四边形EFGH是正方形.理由如下:设运动时间为ts,∴AE=BF=CG=DH=2tcm,∵四边形ABCD是正方形,∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°,AB=BC

=CD=DA=10cm,∴BE=CF=DG=AH,∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG

(SAS),∴EH=EF=FG=HG,∴四边形EFGH是菱形,∵△AEH

≌△BFE,∴∠AEH=∠EFB,∵∠EFB+∠BEF=90°,∴∠AEH

+∠BEF=90°,∴∠HEF=90°,∴四边形EFGH是正方形.能力提升全练6.(2023河南洛阳第二外国语学校期中,10,★★★)如图,在正

方形ABCD中,点O是对角线AC,BD的交点,过点O作射线OM,

ON分别交BC,CD于点E,F,且∠EOF=90°,OC,EF交于点G.给

出下列结论:①△COE≌△DOF;②CF=BE;③四边形CEOF的

面积为正方形ABCD面积的

;④DF2+CF2=2OE2.其中正确的是

(

)AA.①②③④

B.①②③

C.①②④

D.③④解析①∵四边形ABCD是正方形,∴OC=OD,∠COD=90°,

∠ODC=∠OCB=45°,∵∠EOF=90°,∴∠COE=∠EOF-∠COF=90°-∠COF,∴∠COE=∠DOF,在△COE和△DOF中,

∴△COE≌△DOF(ASA),故①正确;②∵△COE≌△DOF,∴CE=DF,∵四边形ABCD为正方形,∴

BC=CD,∴BE=CF,故②正确;③由△COE≌△DOF可得四边形CEOF的面积与△OCD的面积相等,∴四边形CEOF的面积

为正方形ABCD面积的

,故③正确;④在Rt△EOF中,OE2+OF2=EF2,∵△COE≌△DOF,∴OE=OF,∴EF2=2OE2.在Rt△ECF中,CE2+CF2=EF2,∵CE=DF,∴DF2+CF2=2OE2,故④正确.综上所述,正确的是①②③④,故选A.7.(2023湖北十堰中考,20,★★☆)如图,▱ABCD的对角线AC,

BD交于点O,分别以点B,C为圆心,

AC,

BD的长为半径画弧,两弧交于点P,连接BP,CP.(1)试判断四边形BPCO的形状,并说明理由.(2)请说明当▱ABCD的对角线满足什么条件时,四边形BPCO是正方形?解析

(1)四边形BPCO为平行四边形.理由如下:∵四边形ABCD为平行四边形,∴OC=OA=

AC,OB=OD=

BD,根据作图可知,CP=

BD,BP=

AC,∴BP=OC,CP=OB,∴四边形BPCO为平行四边形.(2)当AC⊥BD,AC=BD时,四边形BPCO为正方形.∵AC⊥BD,∴∠BOC=90°,∴平行四边形BPCO为矩形,∵AC=BD,OB=

BD,OC=

AC,∴OB=OC,∴四边形BPCO为正方形.素养探究全练8.(创新意识)(新考向·新定义试题)(2023江苏盐城大丰期中)

我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为菱形或矩形的

“接近度”.(1)设菱形相邻两个内角的度数分别为m°,n°,若我们将菱形

的“接近度”定义为|m-n|.①当菱形的一个内角为75°时,“接近度”=

;②当菱形的“接近度”=

时,菱形为正方形.(2)设菱形相邻两个内角的度数分别为m°,n°,若我们将菱形的“接近度”定义为

(m≤n),则:①当菱形的一个内角为45°时,“接近度”=

;②当菱形的“接近度”=

时,菱形为正方形.(3)小军同学给出了如下矩形的“接近度”的定义:设矩形相

邻两边的长分别是a和b(a≤b),将矩形的“接近度”定义为

,于是

越小,矩形越接近正方形.你认为他的定义

(填“合理”或“不合理”),并说

明理由.解析

(1)①∵菱形的一个内角为75°,∴与它相邻的内角的

度数为105°.∴该菱形的“接近度”=|m-n|=|105-75|=30.故答

案为30.②当菱形的“接近度”等于0时,菱形是正方形.故答案为0.(2)①菱形的一个内角为45°,∴与它相邻的内角的度数为135°,∴该菱形的“接近度”=

=

.故答案为

.②当菱形的一个内角为90°时,菱形是正方形,即当菱形的

“接近度”=

=1时,菱形是正方形.故答案为1.(3)不合理.理由如下:当

=1时,a=b,矩形变为正方形,∴

越接近1,矩形越接近正方形,即只有矩形的“接近度”

越接近1,矩形才越接近正方形.微专题中点四边形中点四边形的形状与原四边形的两条对角线的数量关

系和位置关系有关:(1)两条对角线互相垂直的四边形的中点

四边形为矩形,如图1所示;(2)两条对角线相等的四边形的中

点四边形为菱形,如图2所示;(3)两条对角线相等且互相垂直

的四边形的中点四边形为正方形,如图3所示.

如图,点E、F、G、H分别是四边形ABCD边AB、

BC、CD、DA的中点.则下列说法:①若AC⊥BD,则四边形

EFGH为矩形;②若AC=BD,则四边形EFGH为菱形;③若四边

形EFGH是平行四边形,则AC与BD互相平分;④若四边形E-

FGH是正方形,则AC与BD互相垂直且相等.其中正确说法的

个数是

(

)例题CA.1

B.2

C.3

D.4解析∵点E、F、G、H分别是四边形ABCD边AB、BC、

CD、DA的中点,∴EF∥AC,EF=

AC,GH∥AC,GH=

AC,EH∥BD,EH=

BD,∴EF